第一章：轴对称及轴对称图形（复习课）
一、知识结构
轴对称及轴对称图形
线段
角
等腰三角形
等边三角形
等腰梯形
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二、知识点回顾：
1、轴对称：如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称。
2、轴对称图形：把一个图形沿一条直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。
3、轴对称图形和轴对称的区别与联系？
图形
对称点位置
对称轴条数
两个图形之间的对称关系
一个图形自身的对称特征
在两个图形上
在同一个图形上
一条
1.都沿某直线翻折后能够互相重合;
2.它们可以互相转化；如果把轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两个部分，那么两个部分就是关于这条对称轴成轴对称。
至少一条
4、轴对称的性质：
◆成轴对称的两个图形全等
◆如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
◆对称点的连线互相平行
◆对称线段所在直线互相平行或相交于对称轴上的一点
◆成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称
5、线段的对称性:
线段是轴对称图形，有2条对称轴，一条是线段的垂直平分线所在直线，一条是线段本身所在直线；
线段的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
线段的判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
集合定义：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。
6、角的对称性:
角是轴对称图形，角平分线所在直线是它的对称轴；
角平分线性质：角平分线上的点到角两端的距离相等；
判定：角的内部到角两端距离相等的点在角平分线上
集合定义：角平分线是到角两端距离相等的点的集合。
7、等腰三角形的对称性:
等腰三角形是轴对称图形有，1条,顶角平分线所在直线是它的对称轴.
性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上高互相重合。（简称“三线合一”）.
判定：等角对等边。
8、等边三角形的对称性:
等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴
性质：三条边相等，三个角都是60°
判定:3个角相等的三角形是等边三角形
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
有两个角等于60°的三角形是等腰三角形。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
9、等腰梯形的对称性
定义：一组对边平行，一组对边不平行，两腰相等的四边形为等腰梯形。
对称性:等腰梯形是轴对称图形,有1条对称轴,过两底中点的直线是它的对称轴；
性质:等腰梯形同一底上的两个角相等;
等腰梯形的对角线相等。
判定：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
三、重要的数学思想：
分类思想：主要用于等腰三角形；
方程思想：主要用于计算边和角；
化归思想：主要用于把梯形问题转化 为三角形来处理。
建模思想：主要用于建立等腰三角形 模型
四、几种常见辅助线作法：
等腰三角形：作顶角的平分线。
直角三角形：作斜边上的中线。
延长两腰
平移一腰
作梯形的高
平移底
平移对角线
梯形
五、巩固习题：
1、在等腰△ABC中，若∠A=80°，则∠B=_______.
2、在等腰△ABC中，若周长为8cm，且AB=3cm，则BC=_________.
3、如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，且AE平分∠BAC=80°若∠B=30 ° ,则∠C=_______.
E
D
C
B
A
4、如图，在△ABC中, ∠ACB=900,AB的中垂线交BC于E,垂足为D,∠CAE:∠EAB=3:1,则∠B=___ ．
5、如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若BC=20，则△AEG的周长为多少？
6.如图,△ABC和△CDE都是等边三角形,且点A,C,E在一条直线上.证:△MNC为等边三角形.
O
(1)说明AD=BE
(2)∠AOE=120° (3)CM=CN
(4)△CMN为正△
7.已知：在ΔABC中，D是BC上一点,DE⊥AC于E,DF⊥AB于F,且DE=DF.
线段AD与EF有何关系?并说明理由.
8.如图AC=BC,且AC⊥BC,D为AC上的一点,BD=2AE,AE⊥BE,
求证:BE平分∠ABC.
A
B
C
E
D
9.如图在△ABC中,CF⊥AB,BE⊥AC, M,N分别是BC与EF的中点, 试说明：MN⊥EF.
10、已知△ABC是等腰三角形，过△ABC的一个顶点的一条直线，把△ABC分成两个小三角形，如果这两个小三角形也是等腰三角形，问△ABC顶角的度数是多少？
梯形中常见辅助线
如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，
∠B＝70°，∠C＝40°，
求证:CD＝BC－AD.
延长两腰,将梯形转化成三角形.
平移一腰,梯形转化成:平行四边和三角形.
２.如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，
AB＝DC＝AD＝5，BC＝11，求梯形ABCD的面积．
作梯形的高,梯形转化成:长方形和直角三角形.
D
B
C
A
⒊如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC的中点，EF⊥AB于点F．
求证：S梯形ABCD=AB×EF．
平移底,梯形转化成:三角形.
F
E
D
B
C
A
⒋如图,等腰梯形ABCD中，AD∥BC, AC⊥BD， AD+BC=10，DE⊥BC于E，求DE的长．
C
E
平移对角线,将梯形转化成：
平行四边形、三角形.
5．在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，AB=1，DC=5，AC⊥BD，BE⊥CD，则梯形的面积= ．
6．如图,梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AD、BC的中点,∠B+∠C=90°，请说明EF= （BC-AD）．
小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？
∴售货员没搞错
∵
荧屏对角线大约为74厘米
思考