2.1.1 数列的概念
与简单表示法
(1)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为
(2)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。如果将“一尺之棰”视为一份，那么每日剩下的部分依次为
1、考察下面的问题
1740，1823，1960，1989，2072，…
问题创设
( 1 )三角形数
( 2 )正方形数
2、观察以下2个例子：
1
3
6
10
1
4
9
16
问题创设
一、数列的概念：
按一定次序排列的一列数叫做数列
思考1：拿“1，2，3”这三个数来排，能排出几个数列？
例如：三角形数 1，3，6，10，…
正方形数 1，4，9，16，…
1，2，3 2，1，3 3，1，2
1，3，2 2，3，1 3，2，1
注意：每个数列中的数都有特定的顺序，但不一定要有
特殊的规律.
一、数列的概念：
按一定次序排列的一列数叫做数列
注：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次
叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项.
我们常把数列的一般形式写成
a1，a2，a3，…，an，…. (n∈N*)
简记作{an} 。
例如：若用{an}来表示“2，1，3”这个数列，则a2=____；
1
思考2：能不能把数列“2，1，3”记为{2，1，3}？
不行，{2，1，3}是一个集合，集合中的元素是
没有顺序的
一、数列的概念：
按一定次序排列的一列数叫做数列
注：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次
叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项.
我们常把数列的一般形式写成
a1，a2，a3，…，an，…. (n∈N*)
简记作{an} 。
思考3：{an} 与an的意思一样吗？
{an}表示一个数列：a1，a2，a3，…，an，….
an表示数列{an}中的第n项
各项都相等的数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，
有些项小于它的前一项的数列
二、数列的分类：
1、以项数来分类：
（1）有穷数列：
（2）无穷数列：
2、以各项的大小关系来分类：
（1）递增数列：

（2）递减数列：

（3）常 数 列：
（4）摆动数列：
项数有限的数列
项数无限的数列
对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0)
对任意n∈N*，总有an+1从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
思考：观察下列数列的特点，用适当的数填空，并猜想
这些数列的第n项an是什么？
（1）1 ， ，9，16，25， ，49，… ；
（2）2，4， ，16，32， ，128，… ；
（3）1，-1，1 ， ，1，-1 ， ，-1，… ；
4
36
8
64
-1
1
三、数列的通项公式：
如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以
用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的
通项公式，简称通项。
例如：an=n2 就是数列1，4，9，16，…的一个通项公式
注意：①通项公式的主要作用是“知序号可求项”
如：数列{n2}的第11项是_______
②一些数列的通项公式不是唯一的；
如：数列1，-1，1，-1，…
③不是每一个数列都能写出它的通项公式。
如：1，24，8，3，19
121
例1、试写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别
是下列各数：
变题：4，6，8，10
变题：-3，-1，1，3
（1）2，4，6，8；
（2）1，3，5，7；
an=2n
an=2n+2
an=2n-1
an=2n-5
变题：5，55，555，5555
（4）9，99，999，9999；
（1）-2，2，-2，2；
（2）
（3）2，0，2，0；
拓展、试写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项
分别是下列各数：
练习：课本P31第1，4题
小结
观察法求通项公式：
（1)常见数列：正整数列；奇数列，偶数列，平方数列，三角形数列，
（2) 分数列：观察分子、分母的特点。
（3) 指数数列：观察底数、指数的特点。
（4) 各项符号一正一负：
例1、已知数列{an}的通项公式是an=-n2+4n-1，
（1）写出这个数列的前4项；
（2）你能判断出这个数列哪一项最大吗？为什么？
注意：an=-n2+4n-1可看成以n为自变量的一个函数
（2）∵an=-n2+4n-1= -(n-2)2+3
∴当n=2时，an取到最大值3
思考：上述数列的通项an=-n2+4n-1与函数f (x)= -x2+4x-1
有什么不同？
(3) -13是这个数列中的项吗？
递增数列：
递减数列：
对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0)
对任意n∈N*，总有an+1例2、已知数列{an}的通项公式为an=n2+n，其中n∈N*，
求证{an}是个递增数列。
证明：∵对任意n∈N*，an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)
=2n+2>0
∴{an}是个递增数列
五、数列与函数的关系：
从函数的观点看，数列可以看成以正整数集N*
（或它的有限子集{1，2，…，n}）为定义域的函数
an=f (n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，
所对应的一列函数值.
数列的其他表示方法：
如：数列2，4，6，…，2n，…
列表法，图象法
例4、下图中的三角形称为谢宾斯基三角形，在下图4个
三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前
4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标
系中画出它的图象.
（1）
（2）
（3）
（4）
思考：如果一个数列{an}的首项a1=1，从第2项起每一项
都等于它的前一项的2倍再加1，即
an=2an-1+1(n≥2)
则该数列的第5项是什么？
已知数列{an}的第1项（或前几项），且任意一项
an与前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式
来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式
练习：试写出数列1，3，6，10，…的一个递推公式。
解：∵a1=1
练习：写出下列数列{an}的前5项
（1）a1=5，an=an-1+3 (n≥2)；
（2）a1=2，an=2an-1 (n≥2)；
思考：你能否利用上面两题的条件求出数列{an}的
通项公式？
（1）5，8，11，14，17
（2）2，4，8，16，32
二.数列的分类：
1.以项数来分类：
（1）有穷数列：
（2）无穷数列：
2.以各项的大小关系来分类：
（1）递增数列：

（2）递减数列：

（3）常 数 列：
（4）摆动数列：
项数有限的数列
项数无限的数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项
的数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项
的数列
各项都相等的数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，
有些项小于它的前一项的数列
(an+1>an，n∈N*)
(an+1(an+1=an，n∈N*)