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高中数学必修5《一元二次不等式及其解法》ppt课件免费下载

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一元二次不等式及其解法
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的
二次函数、一元二次方程的联系.
3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不
等式,会设计求解的程序框图.
考察下面含未知数x的不等式15x2+30x-1>0 和 3x2+6x-1≤0.
这两个不等式有两个共同特点:
(1)含有一个未知数x;
(2)未知数的最高次数为2.
一般地,含有一个未知数,且未知数的最高
次数为2的整式不等式,
叫做一元二次不等式。
一元二次不等式的一般表达式为 ax2+bx+c>0 (a≠0),或ax2+bx+c<0 (a≠0)
其中a,b,c均为常数。
一元二次不等式一般表达式的左边,
恰是关于自变量x的二次函数f(x)的解析式,
即 f(x)=ax2+bx+c (a≠0),
一元二次不等式f(x)>0,或f(x)<0 (a≠0)的解集,
就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时
自变量x的取值的集合。
一元二次方程f(x)=0 (a≠0)的解集,
就是使二次函数f(x)为零时自变量x的取值的集合。
因此二次函数,一元二次方程,
一元二次不等式之间有非常密切的联系。
设f(x)=a(x-x1)(x-x2),(x1(1)当a>0时,f(x)≥0的解集是什么?
f(x)≤0的解集是什么?
(2)当a<0时,f(x)≥0的解集是什么?
f(x)≤0的解集是什么?
例1.解不等式:(1)x2-2x+3>0;
(2)x2-2x+3<0.
解:对于任意实数x,
x2-2x+3=(x-1)2+2>0,
因此不等式(1)的解集为实数集R,
不等式(2)无解,或说它的解集为空集.
通过以上两例,我们不难对一元二次不等式ax2+bx+c>0 (a>0)和ax2+bx+c<0 (a>0)解集的形式作一般性的分析。
设方程ax2+bx+c=0 (a>0)的判别式为△。
(1)当△>0时,二次方程ax2+bx+c=0有两个不等
的实数根x1,x2,(设x1考察这类二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象,
这时,函数的零点把x轴分成三个区间
(-∞,x1),(x1,x2),(x2,+∞),
不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪ (x2,+∞),不等式ax2+bx+c<0的解集是(x1,x2).
简单的说是:
大于在两边,小于在中间。
(2)当△=0时,通过配方得,
由图可知,ax2+bx+c>0的解集是 的全体实数,即
ax2+bx+c<0的解集是空集,即不等式无解。
(3)当△<0时,二次函数f(x)=ax2+bx+c的
图象在x轴上方,由此可知,不等式ax2+bx+c>0
的解集是实数集R,
不等式ax2+bx+c<0的解集是空集。
例2.解不等式1-x-4x2>0.
解:原不等式化为4x2+x-1<0,
因为△=12-4×4×(-1)>0,
方程4x2+x-1=0的根是
所以不等式的解集是
例3.解不等式x2+4x+4>0.
解:因为△=42-4×1×4=0,
原不等式化为(x+2)2>0,
所以不等式的解集是{x∈R| x≠-2}.
例4.解不等式-2x2+4x-3>0.
解:原不等式化为2x2-4x+3<0,
因为2x2-4x+3=2(x-1)2+1>0,
所以原不等式的解集是
解:由函数f(x)的解析式有意义得

解得
因此1≤x<3,所求函数的定义域是[1,3).
1.解下列不等式:
(1)-x2+5x-6>0;
(2)3x2+5x-2>0;
(3)3x2+5x-2≤0;
(4)9x2-6x+1>0;
(5)x2-4x+5>0.
R
解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R).
【思路点拨】 先求出二次方程的两根,但两根的大小不确定,因此要分类讨论,才能确定解集.
对系数中含有参数的一元二次不等式的求解,
一般需从三个方面考虑分类讨论:
(1)当二次项系数的符号不确定时,
按二次项系数的正、负分类,以确定
不等式解集形式(是在两根间,还是在两根外);
(2)当判别式Δ不确定时要按Δ>0,Δ=0,
Δ<0进行分类,以确定二次方程的根的个数;
(3)当方程的两根大小不确定时,
应按x1x2进行分类,
得出不同的解集.
2.若不等式ax2+bx+c>0的解集为,
求不等式bx2+2ax-c-3b<0的解集.
解下列不等式:
(1)(x2-1)(x2-4)≤0;
(2)(x2+3x+2)(x2-2x-3)≥0;
(3)(x2-x+1)(x2-x-6)(x-4)>0.
【思路点拨】 将每个不等式的
左边在实数范围内因式分解,
再把根标在数轴上,画波浪线.
在一元高次不等式的求解过程中,
应保持各因式中x的系数为正,
否则会改变不等号的方向.
3.解下列不等式:
(1)(x+1)(1-x)(x-2)>0;
(2)x(x-1)2(x+1)3(x+2)≥0.
【解析】 (1)原不等式等价于(x-1)(x-2)(x+1)<0.
各因式的根分别为1、2、-1,不等式解集为(-∞,-1)∪(1,2).
(2)如图所示.各因式的根分别为0、1、-1、-2,其中1为双重根,-1为3重根(1为偶次根,-1为奇次根),不等式的解集为[-2,-1]∪[0,+∞).
当a为何值时,不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解是全体实数?
一元二次不等式的解集与二次函数和二次方程之间的关系.
(1)从函数观点看(以二次项系数a>0的二次函数为例)
一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集,即二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的值满足y>0时自变量x组成的集合,即二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合,而一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标,因此要加深理解“一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式”这三个“二次”之间的内在联系.
(3)当一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为R时,意味着ax2+bx+c>0恒成立.由图象可知:关于这类恒成立问题只需考虑开口方向和判别式Δ即可,而不必利用最值转化的思路求解.
①二次项系数为字母时,要分等于零、大于零、小于零三类讨论.
②利用单调性解题时,抓住使单调性变化的参数值.
③对应方程的根无法判断大小时,要分类讨论.
④用不等式性质对不等式变形时,必须具备的变形条件.
⑤若判别式含参数,则在确定解的情况时需分Δ>0,Δ=0,
Δ<0三种情况进行讨论.
【错因】 2x+1的符号不能确定,同时约去不等号方向可能改变.另外,不等式两边取倒数,改变不符号方向也不一定是同解变形.
1.下列不等式:①x2>0;②-x2-x≤15;③ax2>2;④x3+5x-6>0;⑤mx2-5y<0;⑥ax2+bx+c>0.其中一定是一元二次不等式的个数为(  )
A.5    B.4
C.3 D.2
【答案】 D
【答案】 A
3.函数y=x2+4x-5的判别式Δ________0,该图象与x轴有________个交点,其交点横坐标为________,不等式x2+4x-5>0的解集是________,不等式x2+4x-5<0的解集是________.
【答案】 > 两 -5 1 (-∞,5)∪(1,+∞) (-5,1)