§3.2　
一元二次不等式及其解法
第1课时　一元二次不等式的解法
1．一元二次不等式
只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式．
一
2
注意：理解一元二次不等式的概念
①可以这样理解：形如ax2＋bx＋c>(≥，<，≤)0(a≠0)的不等式，叫做一元二次不等式，其中a，b，c为常数．
②“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他的字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，哪一个是变量“未知数”，哪一些是“参数”就可以．
③“次数最高是2”，仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制．
2．一元二次不等式的解集
1．下列不等式：①x2>0；②－x2－2x≤15；③x3－5x＋6>0；④x2－y<0.其中一元二次不等式的个数为 (　　)
A．1　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
答案：B
2．不等式x2－2x＋1>0的解集是 (　　)
A．R
B．{x|x∈R，且x≠1}
C．{x|x>1}
D．{x|x<1}
答案：B
3．函数y＝x2－x－6的判别式Δ________0，该图象与x轴有________个交点，其交点横坐标为________，不等式x2－x－6>0的解集是________，不等式x2－x－6<0的解集是________．
答案：>　2　－2,3　(－∞，－2)∪(3，＋∞)　(－2,3)
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：

则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是________．
答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞)
5．解不等式－1解不等式②：
∵方程x2＋2x－3＝0的两根为x3＝－3，x4＝1，
∴不等式x2＋2x－3≤0的解集为{x|－3≤x≤1}．
故原不等式的解集为{x|x<－2或x>0}∩{x|－3≤x≤1}＝{x|－3≤x<－2或0[例1]　求下列一元二次不等式的解集：
(1)x2－5x>14；(2)－x2＋7x>6.
[解]　(1)先将14移到左边化为x2－5x－14>0.因为方程x2－5x－14＝0的两根分别为－2,7.结合二次函数图象易得不等式解集为{x|x<－2或x>7}．
(2)先将不等式化为x2－7x＋6<0，
因为方程x2－7x＋6＝0的两根为1,6.
所以利用图象可得不等式解集为{x|1[评析]　求解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，然后求出相应方程的根，结合图象，写出解集：大于号取两边(大于大根，小于小根)，小于号取中间(大于小根，小于大根)．
迁移变式1　解不等式－3x2＋6x>2.
[例2]　解下列关于x的不等式：
(1)x2－(a2＋a)x＋a3>0；
(2)ax2－(a＋1)x＋1<0.
[分析]　在(1)中，显然有两根a和a2，因而只需要以两根的大小作为分类标准即可；而在(2)中，首先它不一定是一元二次不等式，即使是也不一定有二次项系数大于零，因此应首先以二次项系数与零的大小为分类标准进行分类讨论，转化为标准形式后，还应考虑判别式与零的大小，再就是两根的大小关系．
[解]　(1)原不等式化为(x－a)(x－a2)>0
①当a2－a>0，即a>1或a<0时，原不等式的解为x>a2或x②当a2－a<0，即0a；
③当a2－a＝0，即a＝0或a＝1时，原不等式的解为x≠a.
[评析]　(1)解含有参数的一元二次型(ax2＋bx＋c>0)的不等式，首先要以二次项系数与零的大小作为分类标准进行分类讨论；其次转化为标准形式的一元二次不等式(即二次项系数大于零)后，再以判别式与零的大小作为分类标准进行分类讨论；如果两根的大小还不能确定，此时还需要以两根的大小作为分类标准再进行分类讨论．
(2)若对参数进行讨论，其结果应对参数分类叙述．为了叙述结果的简洁，可把其解的结构一样的相应参数合并在一起叙述．
(3)解这类问题容易出现的失误是未对二次项系数进行讨论，特别是未考虑它是否为零．
迁移变式2　若a∈R，解关于x的不等式ax2＋2x＋1<0.
[例3]　若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3[分析]　根据已知解集和一元二次不等式解的结构逆向推出a、b、c应满足的关系，进而求解不等式．
[评析]　若已知一元二次不等式的解，则由一元二次不等式解的结构可逆向推知，它的系数所满足的条件(即相应的一元二次方程的两根及二次项系数的正负性)，再利用韦达定理即可解决问题．
迁移变式3　已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1[例4]　汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.
试判断甲、乙两车有无超速现象，并根据所学数学知识给出判断的依据．
[分析]　由题目可获取以下主要信息：
①限速40 km/h；②刹车距离s甲>12 m，s乙>10 m；
③刹车距离s甲、s乙与车速关系确定．
解答本题可将刹车距离直接代入关系式分别得到一个关于x的一元二次不等式，解此不等式即可求出x的范围，即汽车刹车前的车速范围．
[解]　由题意，对于甲车，有0.1x＋0.01x2>12，
即x2＋10x－1200>0.
解得x>30或x<－40(舍去)．
这表明甲车的车速超过30 km/h，但根据题意刹车距离略超过12 m，由此估计甲车不会超过限速40 km/h.
对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，
即x2＋10x－2000>0.
解得x>40或x<－50(舍去)．
这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速．
[点评]　(1)实际应用问题是新课标下考查的重点，突出了应用能力的考查，在不等式应用题中常以函数模型出现，如一元二次不等式应用题常以二次函数为模型．解题时要弄清题意，准确找出其中不等关系再利用不等式解法求解．
(2)解不等式应用题，一般可按如下四步进行：
①阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等关系；
②引进数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)；
③解不等式(或求函数最值)；
④回扣实际问题．
迁移变式4　某企业上年度的年利润为200万元，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本，投入成本增加的比例为x(01．一元二次不等式的解题步骤可总结为：
首先化为标准形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a>0，然后解出相应的一元二次方程的根，再结合二次函数的图象便可得出解集．一般步骤为：一看(看二次项系数a的正负)；二算(计算判别式，判断相应方程根的情况并求根)；三写(写出不等式的解集)．
2．从函数观点看：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的值满足y>0时的自变量x组成的集合，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合，而一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，因此要加深理解“一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式”这三个“二次” 之间的内在联系．
3．一元一次不等式(组)和一元二次不等式(组)的解法是不等式的基础，因为很多不等式的求解最终都是转化为一元一次不等式(组)和一元二次不等式(组)进行．