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高中必修5数学《简单的线性规划问题》ppt课件免费下载

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3.3.2简单的线性规划
问题
引例
某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天8h计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?
解决问题
(1)用不等式组表示问题中的限制条件:
设甲、乙两种产品分别生产x、y件,由已知条件可得二元一次不等式组:
某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天8h计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?
解决问题
(2)画出不等式组所表示的平面区域:
如图,图中的阴影部分的整点(坐标为整数的点)就代表所有可能的日生产安排。
解决问题
(3)提出新问题:
进一步,若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?
解决问题
(4)尝试解答:
设工厂获得的利润为z,则z = 2x + 3y,求z的最大值。
M(4,2)
解决问题
(5)获得结果:
每天生产甲产品4件,乙产品2件时,工厂可获得最大利润14万元
相关概念
y
x
4
8
4
3
o
把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数,因为它是关于变量x、y的一次解析式,又称线性目标函数。
满足线性约束的解
(x,y)叫做可行解。
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题。
一组关于变量x、y的一次不等式,称为线性约束条件。
由所有可行解组成的集合叫做可行域。
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。
可行域
可行解
最优解
例5、营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪,1kg食物A含有0.105kg碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元;而1食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg?
分析:将已知数据列成表格
解:设每天食用xkg食物A,ykg食物B,总成本为z,那么
目标函数为:z=28x+21y
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域
把目标函数z=28x+21y 变形为
x
y
o
5/7
5/7
6/7
3/7
3/7
6/7
它表示斜率为
随z变化的一组平行直线系
是直线在y轴上的截距,当截距最小时,z的值最小。
M
如图可见,当直线z=28x+21y 经过可行域上的点M时,截距最小,即z最小。
M点是两条直线的交点,解方程组
得M点的坐标为:
所以zmin=28x+21y=16
由此可知,每天食用食物A143g,食物B约571g,能够满足日常饮食要求,又使花费最低,最低成本为16元。
例6、在上一节例3中,各截得这两种钢板多少张可得所需A,B,C三种规格成品,且使所用钢板张数最少?
例3、要将两种大小不同的钢板截成A.B.C三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:
今需要A.B.C三种规格的成品分别为15,18,27块,用数学关系式和图形表示上述要求。
0
2
4
8
10
14
18
6
12
16
2
6
12
14
22
4
10
8
16
18
20
解:设需要截第一种钢板x张,第二种钢板y张,则
2x+y≥ 15
X+2y ≥18
X+3y ≥ 27
x ≥0,x∈N
y ≥0,y∈N
24
x=3,y=9;x=4,y=8
例7、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t;生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t,在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?
解:设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数,于是满足以下条件:
x
y
o
解:设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮,能够产生利润Z万元。目标函数为Z=x+0.5y,可行域如图:
把Z=x+0.5y变形为y=-2x+2z,它表示斜率为
-2,在y轴上的截距为2z的一组直线系。
x
y
o
由图可以看出,当直线经过可行域上的点M时,
截距2z最大,即z最大。
故生产甲种、乙种肥料各
2车皮,能够产生最大利润,
最大利润为3万元。
M
容易求得M点的坐标为
(2,2),则Zmin=3
解线性规划问题的步骤:
(2)移:在线性目标函数所表示的一组平行 线中,利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线;
(3)求:通过解方程组求出最优解;
(4)答:作出答案。
(1)画:画出线性约束条件所表示的可行域;
巩固练习
2.某厂拟生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为3000元、2000元,甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工,在每台A、B上加工1件甲所需工时分别为1h、2h,A、B两种设备每月有效使用台数分别为400h和500h。如何安排生产可使收入最大?
设每月生产甲产品x件,生产乙产品y件,每月收入为z,目标函数为Z=3x+2y,满足的条件是
Z= 3x+2y 变形为 它表示斜率为 的直线系,Z与这条直线的截距有关。
X
Y
O
400
200
250
500
当直线经过点M时,截距最大,Z最大。
M
解方程组
可得M(200,100)
Z 的最大值Z =
3x+2y=800
故生产甲产品200件,乙产品100件,收入最大,为80万元。
线形目标函数——目标函数是关于变量的一次解析式
目标函数——把要求的最大值的函数
线形规划——在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
可行解——满足线形约束条件的解叫做可行解
可行域——由所有可行解组成的集合
小结: