3.3.2简单线性规划问题
问题1:
某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,
每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h,
每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h,
该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和
12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所有
可能的日生产安排是什么?
把问题1的有关数据列表表示如下:
设甲,乙两种产品分别生产x,y件,
将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内
所有坐标为整数的点P(x,y),安排生产任务x,y
都是有意义的.
设甲,乙两种产品分别生产x,y件,由己知条件可得:
若生产1件甲种产品获利2万元,生产1 件乙
种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?
若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为:
当x,y在满足上述约束条件时,z的最大值为多少?
当点P在可允许的取值范围变化时,
当z变化的直线时，可以得到一组相互平行
M（4，2）
问题：求利润z=2x+3y的最大值.
象这样关于x,y一次不等式组的约束条件称为线性约束条件,线性约束条件有时也可以用一次方程表示
Z=2x+3y称为目标函数,(因这里
目标函数为关于x,y的一次解析式,又称为线性目标函数
在线性约束下求线性目标函数
的最值问题,统称为线性规划,
满足线性约束的解(x,y)叫做可行解,
所有可行解组成的集合叫做可行域
使目标函数取得最值的可行解叫做这个
问题的最优解
变式：若生产一件甲产品获利1万元，
生产一件乙产品获利3万元，采用哪种
生产安排利润最大？
N（2，3）
变式：求利润z=x+3y的最大值.
例5.营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg碳水化合物,0.07 kg的蛋白质, 0.14kg的脂肪,花费28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14 kg的蛋白质, 0.07kg的脂肪,花费21元.为了满足营养学家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg?
分析:将已知数据列成下表
0.07
0.14
0.105
0.14
0.07
0.105
解:设每天食用xkg食物A, ykg食物B, 总成本为z元. 那么x,y满足的约束条件是:
目标函数为z=28x+21y
二元一次不等式组①等价于
作出二元一次不等式组②所
表示的平面区域，即可行域.
解方程组
得M的坐标为
所以zmin=28x+21y=16.
答：每天食用食物A约为143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.
线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得.
解线性规划问题的步骤：
（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线
（3）求：通过解方程组求出最优解；
（4）答：作出答案。
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；
体验:
二、最优解一般在可行域的顶点处取得．
一、先定可行域和平移方向，再找最优解。
[练习1]解下列线性规划问题：
Zmin=-3
Zmax=3
3
5
1
A
B
(1.5,2.5)
(-2,-1)
Z max=17
Z min=-11
求z=3x+5y的最大值和最小值,使x、y满足约束条件
C
3x+5y=0
练习2
小 结
本节主要学习了线性约束下如何求目
标函数的最值问题
正确列出变量的不等关系式,准确作出
可行域是解决目标函数最值的关健

线性目标函数的最值一般都是在可行域
的顶点或边界取得.
把目标函数转化为某一直线,其斜率与
可行域边界所在直线斜率的大小关系一定要
弄清楚.
简单的线性规划问题（二）
一、复习概念
y
x
4
8
4
3
o
把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。
满足线性约束的解
（x，y）叫做可行解。
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。
一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条件
由所有可行解组成的集合叫做可行域。
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。
可行域
可行解
最优解
二.回顾解线性规划问题的步骤
（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线
中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线
（3）求：通过解方程组求出最优解；
（4）答：作出答案。
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；
例6.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示
今需A、B、C三种规格的成品分别15，18，27块，则使用钢板张数最少为多少？
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，共需要z张，
则目标函数为：z=x+y，且
二、例题
2x+y=15
x+2y=18
x+3y=27
作出可行域，如下图，
把z=x+y化为y=-x+z，
这是斜率为-1，在y轴上的截距为z的一组平行直线，
y=-x
M
如图可知，当直线y=-x+z经过可行域上的整点A(4，8)，
B(3，9)时，直线在y轴上的截距z最小
∴zmin=12
答：略。
B(3,9)
A(4,8)
二、例题
在可行域内找出最优解、线性规划整数解问题的一般方法是：
1.若区域“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；
（在包括边界的情况下）
2.若区域“顶点”不是整点或不包括边界时，应先求出该点坐标，并计算目标函数值Z，然后在可行域内适当放缩目标函数值，使它为整数，且与Z最接近，在这条对应的直线中，取可行域内整点，如果没有整点，继续放缩，直至取到整点为止。
3.在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即打网络、找整点、平移直线、找出整数最优解
例7.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t．现在库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料，列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
分析：列表
4
18
1
15
解：设计划生产x车皮甲种肥料、y车皮乙种肥料，则
例7.若生产1车皮甲种肥料的利润是1万元，生产1车皮乙种肥料的利润是0.5万元，那么如何安排生产才能够产生最大利润？
解：设计划生产x车皮甲种肥料、y车皮乙种肥料，
利润为z万元，则
目标函数为z=x+0.5y
作出可行域，如图
这是斜率为-2，在y轴上的截距为2z的一组平行直线，
y=-2x
如图可知，当直线y=-2x+2z经过可行域上的点M时，在y轴上的截距2z最大，即z最大
解方程组
得M的坐标为（2，2）
所以zmax=x+0.5y=3
答：生产甲、乙两种
肥料各2车皮，可获最大
利润3万元。
练习题
1、某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B上加工1件甲所需工时分别为1h、2h，加工1件乙所需工时分别为2h,1h.A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400h和500h。如何安排生产可使收入最大？
解： 设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为Z千元，目标函数为Z＝3x＋2y，满足的条件是
Z＝ 3x＋2y 变形为它表示斜率为 的直线系，Z与这条直线的截距有关。
X
Y
O
400
200
250
500
当直线经过点M时，截距最大，Z最大。
M
解方程组
可得M（200，100）
Z 的最大值Zmax ＝
3x＋2y＝800（千元）
故生产甲产品200件，
乙产品100件，收入最大，
为80万元。
小 结：
二元一次不等式表示平面区域
直线定界，特殊点定域
简单的线性规划
约束条件
目标函数
可行解
可行域
最优解
求解方法：画、移、求、答
作 业: 课本 P106 4
简单的线性规划问题（三）
复习回顾：
二元一次不等式表示平面区域
直线定界，特殊点定域
简单的线性规划
约束条件
目标函数
可行解
可行域
最优解
求解方法：画、移、求、答
例、要将两种大小不同规格的钢板截成A、 B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ：
今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。
解：设需截第一种钢板x张、第二种钢板y张，可得
2x+y=15
x+3y=27
x+2y=18
x+y =0
经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)且和原点距离最近的直线是x+y=12，它们是最优解.
答:(略)
作出一组平行直线z= x+y，
目标函数z=x+y
打网格线法
在可行域内打出网格线，
当直线经过点A时z=x+y=11.4,但它不是最优整数解，
将直线x+y=11.4继续向上平移,
2x+y=15
x+3y=27
x+2y=18
x+y =0
直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.
作出一组平行直线z = x+y，
目标函数
z = x+y
当直线经过点A时z=x+y=11.4,但它不是最优整数解.作直线x+y=12
x+y=12
解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)
调整优值法
1. 线性规划的讨论范围：教材中讨论了两个变量的线性规划问题，这类问题可以用图解法来求最优解，但涉及更多变量的线性规划问题不能用图解法来解；
2. 求线性规划问题的最优整数解时，常 用打网格线和调整优值的方法，这要求作图必须精确，线性目标函数对应的直线斜率与其他直线的斜率关系要把握准确
15
练习:
课后练习