1. 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域
表示二元一次不等式组．
3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划
问题，并能加以解决．
二元一次不等式组与简单的线性规划问题
[理 要 点]
一、二元一次不等式表示平面区域
1．二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)， 边界直线．
不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面) 边界直线．
不含
包含
2．对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合 ；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合
Ax＋By＋C>0
Ax＋By＋C<0
3．可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的 来判断Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的区域．
正负
4．由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是
各个不等式所表示的平面区域的 ．
公共部分
二、线性规划中的基本概念
不等式(组)
一次
解析式
一次
(x，y)
最大值
最小值
最大值
最小值
集合
[究 疑 点]
1．可行解与最优解有何关系？最优解是否唯一？
提示：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．
2．点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的首要条件是什么？
提示：(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.
[题组自测]
1．如图所示的平面区域(阴影部分)满
足不等式 (　　)
A．x＋y－1<0
B．x＋y－1>0
C．x－y－1<0
D．x－y－1>0
答案： B
解：(1)先画出直线2x＋y－10＝0(画成虚线)．
取原点(0,0)，代入2x＋y－10，∵2×0＋0－10<0，
∴原点在2x＋y－10<0表示的平面区域内，
不等式2x＋y－10<0表示的区域如图(1)所示．
(2)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合，x＋y＋1≥0表示直线x＋y＋1＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合，所以不等式组表示的平面区域如图(2)所示．
(2)如图，△ABC中，A(0,1)，B(－2,2)，C(2,6)，写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组．
答案：(1)A
[归纳领悟]
二元一次不等式(组)表示平面区域的判定方法：
直线定界、特殊点定域．注意不等式是否可取等号，不可取等号时直线画成虚线，可取等号时直线画成实线．若直线不过原点，特殊点常选取原点.
答案：A
答案：5
[归纳领悟]
求目标函数的最值的一般步骤是：一画二移三求，其关键是准确作出可行域，准确理解z的几何意义，对于目标函数z＝ax＋by而言，当b>0时，在可行域内越向上平移直线ax＋by＝0，z的值越大；越向下平移直线ax＋by＝0，z的值越小．当b<0时，情况正好相反．
[题组自测]
1．一项装修工程需要木工和瓦工共同完成，请木工需付
工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，请工人的约束条件是______________．
2．(2010·四川高考)某加工厂用某原料由甲车间加工出A产
品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 (　　)
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
答案：B
3．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种
玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，所以利润w＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.
[归纳领悟]
线性规划实际应用问题的解决常见的错误点有：
(1)不能准确地理解题中条件的含义，如“不超过”、“至
少”等线性约束条件出现失误．
(2)最优解的找法由于作图不规范而不准确．
(3)最大解为“整点时”不会寻找“最优整点解”．处理此类
问题时．一是要规范作图，尤其是边界实虚要分清，二是寻找最优整点解时可记住“整点在整线上”(整线：形如x＝k或y＝k，k∈Z)．
一、把脉考情
从近两年的高考试题来看，二元一次不等式(组)表示的平面区域(的面积)、求目标函数的最值、线性规划的应用问题等是高考的热点，题型既有选择题，也有填空题，难度为中低档题；主要考查平面区域的画法、目标函数最值的求法，以及在取得最值时参数的取值范围．同时注重考查等价转化、数形结合思想．
预测2012年高考仍将以目标函数的最值、线性规划的综合运用为主要考查点，重点考查学生分析问题、解决问题的能力．
解析：画出可行域(如图中阴影部分)，
由图可知，当直线经过点A(1,1)时，z最大，最大值为2×1＋1＝3.
答案：C
解析：作出可行域如图所示．
作直线l0：x－2y＝0.
当把l0平移到l1位置时，此时过点A(1，－1)，z的值最大，且zmax＝1－2×(－1)＝3.
答案：B
3．(2010·陕西高考)铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨
铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
答案：15
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