等腰三角形的性质
一、复习
1、什么叫轴对称图形和轴对称？
答：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。
2、轴对称与轴对称图形的联系和区别是什么？
对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成轴对称。这条直线就是对称轴。
二、复习
1、角是轴对称图形吗？对称轴是什么？性质有哪些？
答：是，对称轴是角平分线所在的直线
角平分线上的点到角两边的距离相等。
2、线段是轴对称图形吗？对称轴是什么？性质有哪些呢？
答：是，对称轴是它的垂直平分线，线段的垂直平分线到线段的两个端点的距离相等。
复习1、什么样的三角形叫做等腰三角形？
（有两边相等的三角形）
结合以下图形，指出等腰三角形的腰，底边，顶角，底角。
定义：两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两条边都叫做腰，
另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，
腰和底边的夹角叫做底角.
底边
做一做
现在请同学们将刚才所画的等腰三角形对折，
使两腰 AB、AC重叠在一起，折痕为AD，
你能发现什么现象呢？
等腰三角形是轴对称图形
∠B=∠C
等腰三角形两个底角相等
BD=CD，AD为底边上的中线
∠ADB=∠ADC ，AD为底边上的高线
∠BAD=∠CAD，AD为顶角平分线
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合
简称“三线合一”
性质定理：
等腰三角形的两个底角相等
（简写成“等边对等角”）。
几何书写：
∵AB=AC（已知）
∴B=C（等边对角）
∴AD⊥BC BD=CD（等腰三角形三线合一）
几何书写：
∵AB=AC （已知）
∠1=∠2 （已知）
推论1：
等腰三角形 顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线 互相重合。（三线合一）
1
2
·→ 画出任意一个等腰三角形的底角平分线、腰上的中线和高，看看它们是否重合？
“三线合一”应该对应等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高
为什么不一样?
填空：在△ABC中，AB＝AC， D 在BC上，
1、如果AD⊥BC，那么∠BAD = ∠______,
BD = ______
2、如果∠BAD= ∠CAD，那么AD⊥___, BD = ____
3、如果BD=CD,那么∠BAD =∠ _____， AD⊥___,
∠ADB =∠ _____=___°
D
CAD
CD
BC
CD
CAD
BC
ADC
90
同步练习1
１.等腰三角形是轴对称图形
２.等腰三角形两个底角相等，简写成“等边对等角”
３.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.简称“三线合一”
等腰三角形的三个性质
要记得哦!!
判断正误（口答）
如图，在△ABC中，
∵ AC＝BC，
∴ ∠ADC＝∠BDC.
(等边对等角)
C
A
B
D
同步练习2
练习：判断正误（口答）
“等边对等
角”只能在同
一个三角形中
使用．
(2) 如图，在△ABC中，
∵ AC＝BC，
∴ ∠ADC＝∠BEC.
“三线合一”是对等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高而言的
“等边对等角”必须在同一个等腰三角形中才成立
请注意哦！
1填空：（根据等腰三角形性质定理及推论） (1) ∵ AB=AC,
∴∠____=∠____ ;
(2) ∵AB=AC, AD⊥BC,
∴∠_____=∠______ ,
_____ =_____;
(3) ∵AB=AC, AD是中线，
∴_____⊥_____ ,
∠_____=∠_______;
(4) ∵AB=AC, AD是角平分线，
∴_____⊥_____ ,
_____=_____.
BAD CAD
BD CD
AD BC
BAD CAD
AD BC
BD CD
B C
课堂练习：
等腰三角形中，有一种特殊的情况．就是底边与腰相等．这时三角形三边都相等．
我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形
那么，等边三角形具有什么性质呢？
根据“等边对等角”可得：
2 在△ ABC中，若AB=BC=CA，
则 ∠A=______
∠B=______
∠C=______
3 、推论2：
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60 ° 。
课堂练习：
60 °
60 °
60 °
已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=80。求∠C和∠A的度数．
解:
（已知）
（等边对等角）
已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=80。求∠C和∠B的度数．
解:
结论:
在等腰三角形中,已知一个角,可以求另外两个角
同步练习3
∵ AB=AC，
∴ ∠C=∠B( 等边对等角)
∵ ∠A+∠B +∠C=180。（三角形内角和等于180。）
∠A=80。
∴ ∠B=∠C=50。

70°,70°或40°,100°
30°,30°


1.等腰三角形一个角为40°,它的另外两个角为 ________________________
2.等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为_________________
同步练习4
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30。求∠１和∠ADC的度数．
解:
∵ AB=AC，D是BC边上的中点
∠ADC＝ 90。
∵ ∠BAC=180。-30。-30。=120 。
（三线合一）
1. 等腰三角形的底角可以是直角或钝角吗？为什么？
同步练习5
第97页 1
２.等腰三角形的底角可以是直角或钝角吗？为什么？
不能
建筑工人在盖房子时，用一块等腰三
角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系
重物的绳子正好经过三角板底边中点，就
说房梁是水平
的，你知道其中
反映了什么数学
原理?
情境创设
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30。求∠１和∠ADC的度数．
解:
∵ AB=AC，D是BC边上的中点
∠ADC＝ 90。
∵ ∠BAC=180。-30。-30。=120 。
（三线合一）
小结
2、等腰三角形的性质：
2）等腰三角形的底边上的中线,底边上的高
和顶角平分线、互相重合（简称“三线合一”）
1）等腰三角形的两底角相等（简写“等边对等角”）
3）等 边三角形的三个内角都相等，都等于90度
练习
课堂练习：
口答：
（1） 已知等腰三角形的一个底角为70 °,那么此 等腰三角形各内角的度数分别是 （ ）.
（2） 已知等腰三角形的顶角为70° ，那么此 等腰三角形各内角的度数分别是( ）。
70 °
70 °
（3） 已知等腰三角形的一个内角为70°，那么此 等腰三角形各内角的度数分别是（ ）。

等腰三角形的底边长为4cm，腰长为7cm，
则周长为　　　　；
等腰三角形的一边长为４，另一边长为７，则周长为　　　　　；
等腰三角形的两边为３cm、７cm，则周长
等腰三角形的周长为２１，其中一边长为９，则另两边的长　　　　　　　　　；
１8cm
15或１８
１７cm
9、３或６、６
８、８
其中一边长为５呢？

75°, 30°
70°,40°或55°,55°
1.等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为_______
⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为________________
⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为___________
35°,35°

４ 、等腰三角形一个外角为110° ，那它的三个内角为
５、等腰三角形一个外角为５０ °呢？
７０ ° ７０ ° ４０ °
或５５ ° ５５ ° ７０ °
例题
已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100° ，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC。求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数。
已知△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
A
B
C
D
解： ∵ AB=AC，（已知）
∴ ∠ABC=∠C (等角对等边)
∵ BD=BC=AD， （已知）
∴ ∠C=∠BDC (等角对等边)
∠A=∠ABD
设∠A=x°，则∠ABD= x°，
∠BDC=2 x°， ∠C=2 x°
X°
X°
2X°
2X°
根据题意得：x+2x+2x=180
X=36
即∠A=36°∠ABC =∠ACB=72°
⊿ABC是等腰三角形,分别以它的两腰为边向外作等边三角形⊿ADB和⊿ACE,已知∠DAE=∠DBC,求⊿ABC三个内角的度数.
如图,⊿ABC中,AB=AC, ∠BAD=30°,且AD =AE求∠EDC的度数.
关于撑伞的数学问题
已知：如图，AB=AC，DB=DC
问：AD与BC有什么关系？
猜想：AD垂直平分BC
证明: ∵AB=AC,
∴A在线段BC的垂直平分线上
∴AD垂直平分BC
A
B
C
D
∵ BD=CD
∴D在线段BC的垂直平分线上
解：解方程组得：Ｘ＝２，Ｙ＝１
当取腰长为２，则三角形三边２，２，１
（满足三角形三边要求）

当取腰长为１，则三角形三边１，１，２
（不满足三角形三边）
所以这个三角形的边为２，２，１