1、等腰三角形是怎样定义的？
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形。
复习
①等腰三角形是轴对称图形。
③等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称为“三线合一”).
②等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”) 。
2、等腰三角形有哪些性质？
既是性质又是判定
O
A
B
如图，位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B。如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
问题情境 ：
19.4.2 等腰三角形的判定
学习目标：

1. 掌握等腰三角形的判定定理.
2、会综合运用等腰三角形的性质和判定进行有关的计算和证明。
3、理解勾股定理逆定理的证明方法。
重点
难点
重点
自学课本P89---90，并完成学案----自主学习
把“等腰三角形的两个底角相等”改写成“如果------那么-----”形式。
逆命题:
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.
如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形的两个底角相等.
它是真命题吗?
探究新知
● 操作一
做一做
你发现了什么结论？其他同学的结果与你的相同吗？

● 操作二
量一量，线段AB与AC的长度。
画△ABC.使∠B＝∠C＝30°
AB=AC
怎样用数学推理进行证明呢？
A
B
C
D
已知：如图,在ΔABC中，∠B=∠C。
求证：AB=AC
你还有其他证法吗?
证明:
作∠BAC的平分线AD
则∠1=∠2
在△BAD和△CAD中
如果一个三角形有两个角相等,那么这两
个角所对的边也相等
∠B=∠C
∠1=∠2
AD=AD (公共边)
∴ AB= AC (全等三角形的对应边相等)
∴ △BAD ≌ △CAD (AAS)
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
几何语言：
∵∠B =∠C (已知)
∴ AB=AC(等角对等边)
等腰三角形的判定定理：
(简写成“等角对等边”)。
注意：在同一个三角形中应用哟！
巩固练习：下列两个图形是否是等腰三角形？
试一试,我能行
例1：如图,上午10 时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°∠NBC=80°求从B处到灯塔C的距离
解：∵∠NBC=∠A+∠C
∴∠C=80°- 40°= 40°
∴ ∠C = ∠A
∴ BA=BC（等角对等边）
∵AB=20（12-10）=40
∴BC=40
答：B处到达灯塔C40海里
小试牛刀
大显身手
如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.
(1)、请你写出图中所有等腰三角形，并探究EF、BE、FC之间的关系；
∴∠2＝∠ABO ∠3＝∠ACO
若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？(1)中结论还成立吗？
解：
EF=BE+CF
理由：
∵ EF∥BC
∴∠1＝∠2 ∠3＝∠4
∵ BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB
∴∠1＝∠ABO ∠4＝∠ACO
∴BE＝OE CF=OF
∵ EF=EO+FO
∴EF＝BE+CF
我 能 行！
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理 ）
如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理 ）
若要证明下列定理，请你首先把它们写成
“已知…….求证…….”的形式
A
B
C
已知：如图， △ABC中，AC2 = AB2 + BC2
求证：△ABC是直角三角形
证明：
画Rt△A’B’C’
使∠B’=900，B’C’=BC，A’ B’=AB
由勾股定理得：A’C’2 =A’B’2 +B’C’2
= AB2 + BC2
= AC2
∴A’C’=AC
∴ △ A’ B’C’≌△ABC
(SSS)
∴∠B=∠B’ = 900
∴△ABC是直角三角形
A’
B’
C’
∟
∟
O
A
B
思考：如图，位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B。如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
课堂小结
今天你学到了什么?
2、用构造直角三角形证明了勾股定理的逆定理。
1、等腰三角形的判定定理：等角对等边。

3、会运用等腰三角形的性质和判定进行计算和 证明。
1、如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？说明理由。
2、如图，AB=AC,∠A=36°BD平分∠ABC交AC于点D.图中有哪些等腰三角形。选择一个说明理由。
反馈矫正
3． 如图，已知P、Q是△ABC的边BC上两点，并
且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的大小．
解：∵PQ=AP=AQ
∴ ∠PAQ=∠APQ=∠AQ= ∠C+∠QAC= 600
∵QC=AQ
∴ ∠C=∠QAC=300，
同理∠B=∠BAP=300
∴ ∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠QAC=30+60+30=1200
小结
有两边相等的三角形是等腰三角形
2.等边对等角
3. 三线合一
4.是轴对称图形
2.等角对等边
1.两边相等
1.两腰相等
运用等腰三角形的判定定理时，应注意在同一个三角形中.
练习
1、如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°。分别计算∠1、∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形。
2、如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？
3、如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB。
求证：OC=OD。
∠1=72°，∠2=36°
等腰三角形有：△ABC，△ABD， △BCD。
5、已知：如图，AD ∥BC，BD平分∠ABC。求证：AB=AD
证明：∵ AD ∥BC
∴∠ADB=∠DBC
∵ BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠DBC
∴∠ABD=∠ADB
∴AB=AD
4、已知：如图，CD是等腰直角三角形ABC斜边上的高，找出图中有哪些等腰直角三角形。
等腰直角三角形有： △ABC ，△ACD ，△BCD。
练习
做一做：设三角形三边长分别是下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形．如果是直角三角形，请指出哪条边所对的角是直角．
（1） 7， 24， 25；（2） 12， 35， 37；（3） 35， 91， 84．
根据勾股定理的逆定理可判断（1），（2），（3）都是直角三角形（最小两边平方和等于最大边的平方），其中最大边所对的角是直角。
练习
1． 说出定理“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题，并证明该逆命题为真命题．
逆命题：如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形。证明略
2． 如图，已知P、Q是△ABC的边BC上两点，并且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的大小．
解：∵PQ=AP=AQ∴ ∠PAQ= ∠APQ=
∠AQP= ∠C+ ∠QAC= 60度
∵QC=AQ∴ ∠C= ∠QAC=30度，
同理∠B= ∠BAP=30度
∴ ∠BAC= ∠BAP+ ∠PAQ+ ∠QAC=30+60+30=120度
1. 等腰三角形的识别

1).根据等腰三角形定义；
2).等角对等边
 小结
2.了解了等边三角形识别,等腰直角三角形的概念
2).顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形
等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角相等；
2.底边上的高、中线及顶角平分线三线合一
你怎样识别一个三角形是不是等腰三角形呢？