从三角形内角和谈起
奥数辅导
三角形的内角和等于180°(也称一个平角)是三角形的一个基本性质．从它出发可引出下面两个事实：
(1)三角形的外角等于此三角形中与它不相邻的两个内角和．
(2)n边形的内角和等于(n-2)×180°．
例1 如图1－37所示．平面上六个点A，B， C，D，E，F构成一个封闭折线图形．求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F．
解: 在△PAB，△RCD，△QEF中，
∠A+∠B+∠APB=180°， ①
∠C+∠D+∠CRD=180°， ②
∠E+∠F+∠EQF=180°． ③
　　又在△PQR中
∠QPR+∠PRQ+∠PQR=180°．④
　　又 ∠APB=∠QPR，∠CRD=∠PRQ，
∠EQF=∠PQR(对顶角相等)．
　　①+②+③-④得
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
例2 求如图2所示,图形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小．
D
C
B
E
A
O
图2
解法1 连接BE．
在△COD中， ∠C+∠D+∠COD=180°． ①
在△ABE中， ∠A+∠ABE+∠AEB=180°． ②
　　由①+②得 (∠A+∠C+∠D)+∠COD+∠ABE+∠AEB=360°． ③
　　又 ∠ABE=∠ABO(即为∠B)+∠OBE，
∠AEB=∠AEO(即为∠E)+∠OEB．
　故③式可化 (∠A+∠B+∠C+∠D+∠E)
+(∠COD+∠OBE+∠OEB)=360°．④
　　由于 ∠COD=∠BOE(对顶角相等)，
　　在△BOE中 ,∠COD+∠OBE+∠OEB
=∠BOE+∠OBE+∠OEB =180°．
　　由④得 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
解法2 如果我们注意到三角形外角的性质，结合图形(图1－39)会发现:
在△OCD中有∠1=∠C+∠D，
在△APE中∠2=∠A+∠E，
在△BOP中∠1+∠2+∠B=180°，
从而∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
例2 求如图1-39所示,图形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小．
例3 如图1－40所示．在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线交于D，且∠D=30°．求∠A的度数．
解 :由已知，∠D=30°．在△BCD中，
∠CBD+∠BCD=180°-30°=150°．①
　因为BD是∠ABC的平分线，所以∠CBD=1／2∠ABC, ②
　　又因为CD是∠ACE的平分线，所以∠ACD=1／2∠ACE,
　　从而∠BCD=∠ACB+1／2∠ACE
=∠ACB+1 ／2(∠A+∠ABC) ③
由①，②，③得
1／2∠ABC+∠ACB+1／2(∠A+∠ABC)=150°
　　即1／2∠A+∠ABC+∠ACB
=1／2∠A+∠ABC+∠ACB=150°
　　所以(∠A+∠ABC+∠ACB)-1／2A=150°,1／2∠A=180°-150°
　
　　所以 ∠A=60°．
例4 如图1-41所示．∠A=10°，∠ABC=90°，∠ACB=∠DCE，∠ADC=∠EDF，∠CED=∠FEG．
求∠F的度数．
解 :在△ABC中，∠A=10°，∠ABC=90°，
所以∠ACB＝80°．因为 ∠DCE=∠ACB=80°，
　 在△ACD中，∠DCE是它的一个外角，所以
∠DCE=∠A+∠ADC， 80°=10°+∠ADC，
　　所以 ∠ADC=70°，∠EDF=∠ADC=70°．
　　在△ADE中，∠EDF是它的一个外角，
所以 ∠EDF=∠A+∠AED， 70°=10°+∠AED，
　　所以 ∠AED=60°，∠FEG=∠AED=60°．
　　在△AEF中，∠FEG是它的一个外角，
所以 ∠FEG=∠A+∠F，
所以 ∠F=∠FEG-∠A=60°-10°=50°．
例5 如图1－42所示．△ABC的边BA延长线与外角∠ACE的平分线交D．
求证：∠BAC＞∠B．
证 明:∠BAC是△ACD的一个外角，因为∠BAC=∠1+∠D，所以2∠BAC=2∠1+2∠D=∠ACE+2∠D＞∠ACE①
(因为CD是∠ACE的平分线)．
又∠ACE是△ABC的一个外角，
所以 ∠ACE=∠B+∠BAC． ②
　　由②，③ 2∠BAC＞∠B+∠BAC，
　　所以 ∠BAC＞∠B．
例6. 如图,已知DO平分∠ADC,BO平分∠ABC,且∠A=27°, ∠O=33°,
求∠C的度数.
C
O
A
D
B
Q
H
G
解:由已知, ∠ABO=∠CBO, ∠ADO=∠CDO.
在⊿ABG和⊿ODG中,有∠A+∠ABG=∠O+∠ODG, ①
在⊿OBH和⊿CDH中,有
∠C+∠CDH=∠O+∠OBH , ②
①+② 得∠A+∠C=2∠O.
∴∠C=2×33°-27°=39°
例7.凸n边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，求n的值。
解：设该内角为x，
则（n-2）×180°=x+2570°，
得n=（x+2570°+360°）÷180°，
X=130°
此时n=17。
1．如图1－46所示．
求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小．
练一练
2．如图 1－47所示．求 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小．
3．如图1－48所示．求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的大小．
4．如图所示．△ABC中，AE是∠A的平分线，CD⊥AE于D．
求证：∠ACD＞∠B．
A
B
C
D
E
5.如图,在⊿ABC中, ∠ACB=90°
D,E都在线段AB中,AC=AD,BC=BE,
则∠DCE的大小是( )
A.60° B.45° C.30°D.随∠A的大小而变化
A
C
B
E
D
B
解:因为AC=AD, 所以∠ACD=∠ADC
又BC=BE, 故∠BCE=∠BEC
因为∠BEC+∠ADC+∠DCE=180°
从而∠BCE+∠ACD+∠DCE=180°
即∠ACB+2∠DCE=180° , 因为∠ACB=90°
所以∠DCE=45°
6.在⊿ABC中,若AB=2BC, ∠B=2∠A,则⊿ ABC是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
B
C
A
D
解:如图,AB＞BC,得∠ACB＞∠A.
作∠ACD=∠A,CD与AB交于点D,则AD=CD, ∠DCA=∠A,∠BDC=∠A+∠DCA=2∠A
又∠B=2∠A, ∴∠B=∠BDC ∴CB=CD
又AB=2BC, ∴CD=BC=1／2AB.
从而⊿ABC为直角三角形.
B
7. ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数等于（ ）
A.360°B.450°C.540°D.720°
A
B
C
D
E
F
M
N
C
提示:连结CD,BE.
G
8.如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=______.
1
2
3
4
5
6
360°
9.在一个多边形中，除了两个内角外，其内角之和为2002°，则这个多边形的边数为（ ）
A.12 B.12或13 C.14 D.14或15
解:设这个多边形为n边形，由题意得
2002°＜（n-2）×180°＜2002°+360°
又 n是自然数，∴n=14或15
D
10.设有一个凸多边形，除去一个内角外，其余n-1个内角的和为1993°，则n的值（ ）
A.12 B.13 C. 14 D.15
C
11.如图,BP平分∠ABC交CD于F,DP平分∠ADC交AB于E,AB与CG相交于G,如果∠A=42°, ∠C=38°,那么∠P的度数为_____________.
A
C
B
P
D
G
E
F
解:由对顶三角形的性质得
∠1+∠A=∠P+∠2 ①
2∠1+∠A=2∠2+∠C ②
①×2-②,得∠A=2∠P-∠C
∴∠P=(∠A+∠C) ÷2=40°
1
2
40°
12.一个凸多边形有且仅有4个内角是钝角,这样的多边形的边数最多是_____.
解:设这个凸多边形的边数为n,则其中4个内角为钝角,(n-4)个内角为直角或锐角.
∴(n-2) ×180°＜4×180°+(n-4) ×90°
∴n＜8,取n=7.
当n=7时,可以作4个170°的内角,其余3个内角分别为80°,80°,60°.
7
13.n边形的内角和加上一个外角的总和为1500°，则n=________.
由题意 得0°＜°1500°-(n-2) ×180°＜180°
解得 n=10 (∵n是自然数)
10