初中升高中之奥数总复习之二(祥解)-初中八年级之一奥数(祥解集)
八年级（上册）第11章 三角形全等－1
1、把两个全等的三角形，重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。
两个三角形能完全重合，这两个三角形叫全等三角形 用≌表示
1、三边对应相等的二个三角形全等（边边边，即SSS）
2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（边角边，即SAS）
3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（角边解）即ASA
4、两角和其中一个角的对应边对应相等的两个三角形全等 （角角边） 即AAS

两边但不是两边夹角的的二个三角形不一定全等。SSA
三个角都相等的两个三个形不一定全等 即AAA
5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
1、角平分线上的点到角两边的距离相等。
2、角的内部到两边距离相等的点都在角平分线上。
3、怎样作一个角的角平分线－作解内二个三角形全等。
三角形全等－2
例1）已知（如图）所示，ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC,交AB于点G，在GD的延长线上取点E,使DE=DC,连接AE、BD 求证 : (1)△AGE≌△DAB
过点E作EF∥BD,交BC于点F,连接AF,求∠AFE的度数。
解： （1）因为DG∥BC 所以△AGD也是等边三角形，则AG=AD
∠AGD= ∠GAD=60 °又∵ DE=DC ∴AD+DC=DE+GD=AB
即GE=AB,又AG=AD ∠AGD= ∠GAD=60
所以△AGE≌△DAB（SAS）

所以有∠ABD+ ∠DBC=60 °= ∠AEG+ ∠GEF,所以△AFE是等边三角形（等腰三角形，且有一个角是60 ° ），因而∠AFE=60°因△AGE≌△DAB，所以AE=DB; 因 BFGE是平行四边形.
∴BD=EF ∠ DBC=∠DEF ∠ AEG=∠ABD;
例2）如图所示，正方形ABCD的对角线
AC与BD相交于点O,且BE=CF,求证
∠ OEC=∠OFD
解：因为∠ EBC=∠DCF=45° BC=DC BE=FC 所以
△BCE≌△DCF (SAS) ∴ ∠BEC= ∠DFC. 又因为
∠ OEC=180°- ∠BEC =180 ° -∠DFC= ∠OFD
∴ ∠ OEC=∠OFD
三角形全等－3
例3）已知AD是三角形ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F,且AE=EF,求证：AC=BF.
解：作AD的延长线至H点，使AD=DH,
连接BH, ∵BD=DC(中点) ；AD=DH;
∠BDH=∠ADC ∴△BDH ≌ △ADC(SAS)
有AC=BH
所以∠BHD= ∠DAC又∠DAC
= ∠AFE(等边对等角)
∴ ∠ BHD=∠BFD
所以 BF=BH(等腰三角形)
∴AC=BH=BF
即 AC=BF 成立。
例4）如图所示， △ABC是等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使BD＝AE,求证CE=DE
解：在BE上取点F（或者过D点作AC的平行线，交BE于点F），
使BD=BF, 则△BDF是等边三角形， ∵ BD=BF =AE
∴BA+AF=AF+FE 即有AC=BA=FE
∠EAC=∠EFD (同旁内角相等) FD=BD=AE
∴ △EAC ≌ △EFD 所以CE=DE
三角形全等－4
例5）如图正方形ABCD的对角线AC与BD点交O, E为AC上的一点，连接BE,过A点作BE垂线，垂足为M，AM交BD于F。
求证： （1） OF=OE
(2)如果E点在AC延长线上，AM⊥EB 于点M,交DB的延长线于点F，其它条件不变，OF=OE 还成立吗？
解： （1） ∠AMB= ∠AOF=90°
∠BFM= ∠AFO(对顶角相等)，所以∠FBM= ∠FAO;
∵ ∠FBM= ∠FAO ,OB=OA ∠AOF=∠BOE=90
∴ △AOF ≌ △BOE 所以OF=OE

(2) 只要求证△AOF ≌ △BOE 就可以了。
三角形全等－5
例6）已知△ABC中，∠ A=2∠B ;
CD是 ∠ACB平分线，
求证：BC=AC+AD
解：在BC上取点E，使得 CE=AC, 因为CD是∠ACB平分线，所以有 ∠ACB= ∠DCE∴△ACD ≌ △CDE即DE=AD, ∠DEC= ∠A 又因为∠DEC= ∠ B+∠BDE=2 ∠B.所以有∠B= ∠BDE 即BE=ED(等角对等边)
所以BC=EC+BE=AC+AD 求证成立。
方法二：将CA延长至E,使EA=AD 也可以。
例7） D、E分别是等边三角形ABC边上的点，且AD=CE,BD与AE交于P点这，BQ⊥AE于点Q。
求证：PQ＝1/2×PB
解：因为AD=CE; ∠BAC= ∠C ; AB=AC
所以△AEC ≌ △ABD 因而有 ∠ABP= ∠EAC
∵ ∠BPQ= ∠ABP+ ∠BAP= ∠ BAP+∠PAD=60 °
∴在直角三角形中， ∠PQB=90 °- ∠PBQ=30°
所以PQ=1/2PB
三角形全等－6
例8）在直角梯形ABCD中， ∠ABC=90°,AD∥BC, AB=BC,E是AB的中点，CE⊥BD （1）求证 BE=AD; (2) 求证：MA＝MD （3）DB=DC
证明
（1） 因为 ∠ABC=90°，所以∠ABC=90 °
又CE ⊥ BD ∴ ∠BEC+ ∠EBC=90 °
∠BEC+ ∠BCE=90 °
∴ ∠EBD= ∠BCE 在△ABD与 △BCE中，
AB=BC; ∠BAD= ∠ABC=90 °
∠ABD= ∠BCE
所以△ABD ≌ △BCE（ASA）
∴BE=AD

因为 AB=BE ∠ABC=90 °
所以∠ BAC =∠BCA=45 °
∠CAD= ∠ACB=45 °(内错角相等) ；
又因为 △EAD是等腰直角梯形，
所以∠ADE=45°= ∠CAD
所以AM=MD(等角对等边)

（3）因为 ∠ EAC=∠CAD=45°;
AE=EB=AD; AC=AC
所以△AEC≌ △ADC (SAS)
即有 DC=EC 又因为BD=EC
所以有BD=DC
三角形全等－7 –奥1
例1）等腰梯形ABCD中，AD ∥ B C，AD＝AB＝CD＝2，
∠ C＝60 ° ，M是BC的中点。求证： （1）△ MDC是等边三解形。（2）MDC绕点M旋转，当MD′（即MD）与AB交于一点E，MC′（MC）同时与AD交于一点F时，点E、F和点A构成△ AEF，试探究△ AEF的周长是否存在最小值，如果不存在说理由，如果存在，请计出△AEF周长的最小值。

解： （1）过A、D分别作底
边上的垂线，可知BP＝QC＝1
PQ＝2 因此BC＝2AD，因而有
四边形ABMD 是棱形，所以有
BM＝MD＝MC（M是中点）＝DC（等腰梯形）
∴ △DMC等边三角形。

（2）因为∠EMF= ∠AMB=60 °
又 ∠AME+ ∠EMB=60° ∠AME+ ∠AMF=60 °
所以有 ∠ EMB= ∠AMF;
∠MAF =∠MBE=60°;BM=AM
所以有 △BME≌ △AMF
因而有 AF=BE EM=MF AF+AE=AE+BE=AB=2cm
又因∠EMF=60 ° EM=MF 所以△EFM是等边三角形，
即EF=MF,从运动可知，MF最短，是平行线AD与BC的距
离是 。
△AEF周长 AE+AF+EF=AB+EF=AB+MF,所以最短的距离为 2+
三 角形全等－7 –奥2
2．如图2，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，AD的延长线交BF于E，且E为垂足，则结论①AD=BF，②CF=CD，③AC+CD=AB，④BE=CF，⑤BF=2BE，其中正确的结论的个数是（ A ）

A．4 B．3 C．2 D．1

2、解：在Rt△AEB中，∠ABE=180°－90°－22.5°=67.5°，
则∠FBC=67.5°－45°=22.5°
Rt△BCF中，∠F=67.5°,所以AF=AB，AC=BC，
从而△BCF≌△ACD（ASA），则①AD=BF

②CF=CD，③AC+CD=AC+CF=AF=AB，
⑤等腰三角形△ABF中，AE ⊥BF，则BF=2BE，

对于④因为△BCF和△AEB的三个角对应相等，
但是斜边AB与BF不相等，从而不全等，不会BE=CF，
三 角形全等－7 –奥2-1
3、如图3，在△ABC中，∠A=60°，BE ，CF分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，BE，CF相交于点D。
（1）求∠FDE的度数
（2）求证：DF=DE

解： （1） ∠FDE= ∠BDC(对顶角）
又因∠BDC
=180 ° - ∠DBC- ∠DCB
= 180 ° - (1/2)(∠ABC+ ∠ACB)
=180 °-(1/2) ×(180-60)
=120 °
即∠FDE=120 °

（2）在BC上取一点G，
使得BF=BG，
　　 △BDF ≌ △BDG(SAS)
FD=DG
所以∠5= ∠6 又因 ∠5= ∠8=60 °
所以有： ∠7=360 °- ∠5-∠6 - ∠8- ∠D=60 °
△DEC≌△DCG(ASA)
DG=DE
所以得 DF=DE
三 角形全等－7 –奥3
4．如图，点D是△ABC三条角平分线的交点，∠ABC=68°（1）求证：∠ADC=124°；（2）若AB+BD=AC，求∠ACB的度数．

解：（1）证明：∵∠ABC=68°，
∴∠BAC+∠ACB=180°-68°=112°， ∵AD，CD是角平分线， ∴∠DAC+∠ACD=1/2×112=56°
所以∠ADC=180°-∠DAC+∠ACD=180°-56°=124°

（2）
（方法一）
在AC上截取AE=AB，连接DE，
在△ABD和△AED中，
　　AB＝AE
　　∠ DAE＝ ∠ BAD（角平分线）
　　AD＝AD　　 ∴△ABD≌△AED，∴BD=ED，∴DE=EC
所以∠ ABD＝1/2 ×68 °= ∠ AED
又因DE=EC 则有∠ DEC＝ ∠ ECD
=1/2 × ∠ AED=17 °
∠ ACB=2 × ∠ AED=2 × 17 °=34 °

（方法二）
延长AB至E，使BE=BD
∴△AED≌△ADC
所以∠2= ∠3=17 °
∠ ACB=2 × ∠ 3=2 × 17 °=34 °
三 角形全等－7 –奥4
5．如图，在△ABC中AC＞BC，E、D分别是AC、BC上的点，且∠BAD=∠ABE，AE=BD．
求证：∠BAD=(1/2) ∠c
证明：作∠OBF=∠OAE交AD于F
∵∠BAD=∠ABE
∴OA=OB

又∠AOE=∠BOF
∴△AOE≌△BOF （ASA）
∴AE=BF
∵AE=BD
∴BF=BD
∴∠BDF=∠BFD
∵∠BDF=∠C+∠OAE
∠BFD=∠BOF+∠OBF
∴∠BOF=∠C
∵∠BOF=∠BAD+∠ABE=2∠BAD
∴∠BAD= =(1/2) ∠c
八年级（上册）第12章 轴对称－1
1、一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能重合，这个图形就叫轴对称图形。这条直线就叫对称轴。
2、过线段的中点，且垂直于线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
3、两个图形关于某条直线对应，对称轴是任何一对对应点的垂直平分线
4、轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点的垂直平分线。
5－1、线段垂直平分线上的点，到线段的两个端点的距离相等。
5－2、与一条直线距离相等的点，在这条直线的垂直平分线上。
例1）怎样作垂直平分线：在线段的两边分别作大于1/2的圆，相交的两点再连线，就是垂直平分线。
例2）怎样作角平分线：
例2）某设计师在方格纸中画了一部分，请完成余下部分，
作关于Y轴的对称图
作连同原形的绕圆点逆时针旋转图
第12章 轴对称－中考-基础－1
例1）在平面直角坐标系中，点A（2, 5）与点B，关于Y轴对称，则点B的坐标为（ ）
解：B点为 （－2，5）
例2）在平面直解坐标系xoy中，已知点A（2, 3）若将OA绕原点O逆时针旋转180度，到OA′，则点A′在平面直角坐标系中的位置是在（ ）象限。

解：A ′的坐标为（－2，－3） 因此
在第三象限。
例3）将点P向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到点P′（－1，3） ，则点P的坐标为（ ）

解：解这样的题要反推，反向变为
向下移1个单位，向右移2个单位。
即得P的坐标为（ 1，2 ）
或者也可这样理解：设点P（X，Y） 则有 x-2=-1 ; y+1=3,得
X＝1， Y＝2
轴对称－2
例1）在一条燃气管道L上修建一个泵站，分别向同一侧的A，B两镇供气，泵站修在什么地方，可使输气管线最短？
如图：
例2）在三角形ABC中，如图，AB=AC=12CM,BC=6CM;D为BC的中点，动点P从B点出发，以每妙1CMR 速度沿B A C的方向运动，设运动的时间为t,那么当t＝ 妙时，过点D P两点的直线，将△ABC的周长分为两部分，使其中一部分是另一部分的两倍。
解 :
（t =7和 t =17 即有两种可能）

当PA+AC+DC=2(BD+BP) 即(12-t)+12+3=2*(3+t) 得t=7

当DB+AB+AP=2(PC+CD) 即3+t=2*(24-t+3) 得t=17
轴对称－3
例3）在三角形ABC中，AB=AC=3CM; AB垂直平分线交AC于点N，三解形BCN的周长是5CM，则BC的长（ ）CM

解：N因是垂直平分线上的点，得AN＝BN
所以有 BN+NC＝3 又因BCN的周长是5CM,
所以有 BC＝5－3＝2CM
例4）已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE＝150° 则∠C的度数等于（ ）

解： ∠CDE＝150°
所以∠CDB=30°又因AB∥CD
所以∠ CDB＝∠DBA＝30 °
又因BE是角平分线，
所以∠DBA= ∠ DBC 即∠C＝180－30－30＝120 °
例5）在Rt △ABC中， ∠ BAC＝90 ° ， ∠ B＝60 ° ，
△ AB ′ C ′ 可以由ABC绕点A顺时针旋转90 ° 得到，连接CC ′ ，则∠ CC ′ B ′的度数是（ ）

解：因CA＝AC ′ 所以∠ CC ′ B＝45 °

所以∠ CC ′ B ′＝45 °－30 °＝15 °
轴对称－4
例6）三角形ABC的顶点坐标分别是A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果△ ABC绕C点按逆时针方向旋转90 ° ，
得到△ A ′ B ′ C ′ ，那么点A的对应点A ′的坐标是（ ）

解：从图中可以看出，
坐标是（－3，3）
3 等腰、等边三角形－1
1、等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）
2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的高、底边的中线相互重合。
3、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对边的也相等（等角对等边）
4、三条边都相等的三角形，叫等边三角形。
三个角都相等的三角形，也叫等边三角形。
有一个角是60度的等腰三角形，也叫等边三角形。
5、等边三角形，三个角都是60度。
6、在直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么它所对边等于斜边的一半。（怎样证明）
7、在不规则的三角形中，大边对大角，小边对小角；大角也对大边，小角对小边。
3 等腰、等边三角形－2
例1）已知三角形ABD 和三角形AEC是等边三角形，证明：BE=DC
解：因为△ABE≌ △ADC,所以BE=DC
例2）在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边也较大。怎样证明它。
解: 将△ABC对折叠，使边AC与AB重合，C点落在AB的D 点。利用三角形全等就可证明了。
例3）三角形ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，
使CE＝CD，求证：DB＝DE
解： ∠DBC= ∠CDE= ∠CED=30 °,所以三角形BED是等腰三角形
3 等腰、等边三角形－奥数-1
1、在平面直角坐标系中，等腰三角形△AOB的顶点与O重合，点A的坐标(m , n) ，底边AB的中线在第一、三象限的角平分线上，则点B的坐标是（ ）

A、（n , m） B、（－m , n）C、（m , －n）D、（－m , － n）

解：因为中线在角平分线上，即y=x
所以A、B两点的从标的和相等，只有A合符条件 x=(m+n)/2
y=(m+n)/2 即 y=x

选、A
2．如图，在△ABC中，∠ACB=100°，点D、E在AB上，且
BE=BC，AD=AC，则∠DCE的大小是 度．
解析： （解法一）：设∠ACE=x°，∠DCE=y°，∠BCD=z°， ∵BE=BC，AD=AC， ∴∠ADC=∠ACD=∠ACE+∠DCE=（x+y）°，
∠BEC=∠BCE=∠BCD+∠DCE=（y+z）°，
∴∠A=∠BEC-∠ACE=（y+z-x）°，∠B=∠ADC-∠BCD=（x+y-z）°， ∵在△ABC中，∠ACB=100°，∴∠A+∠B=180°-∠ACB=80°， ∴y+z-x+x+y-z=80，即2y=80，∴y=40，∴∠DCE=40°．故答案为：40°．

（解法二） BE=BC，AD=AC 得∠1+ ∠DCE= ∠4
∠2+ ∠DCE= ∠3
所以 ∠1+ ∠DCE+ ∠2+ ∠DCE= ∠3+ ∠4
即 2 ∠DCE+（100 ° - ∠DCE）=180 °- ∠DCE
2 ∠DCE =80 ° ∠DCE=40 °
八年级（上册）第13章 实数－慨念1
有理数（有限小数或无限循环小数）
实数：
无理数（无限不循环小数）
八年级（上册）第13章 实数－慨念2
1、如果一个正数X的平方等于a ,那么这个正数X叫做a的算
术平方根。记作X＝ ；a叫做被开方数，0的算术平方根是0. （习惯上将二次根号的2省略，即 ）
2、如果一个数X的平方等于a,那么这个数X就叫做a的平方根。
就是说，如果 ＝a 那么X叫做a平方根；即X＝±
3、求一个数的平方根运算，叫做开平方。平方与开平方是
互为逆运算。
4、正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方
根就是算术平方根。0的平方根是0；
5、因为任何一个数的平方都是正数，所以负数没有平方根。
1、如果一个数的立方等于a,那么这个数叫a的立方根，或者
三次方根。即 ，那第X叫做a的立方根。
2、求一个数的立方根运算，叫开立方，表示为X＝ 。
立方和开立方是互为逆运算。
3、正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，
0的立方根0.
1、a相反数是－a；
1、实数由：有理数（即有限小数和无限循环小数）和无理数（无限不循环小数）组成
实数－2
1、若a与b为倒数，则ab=1
相反数是它本身的数，只有0；倒数是它本身的数只有±1.
2、一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝纣值是0.
可以记作 ：
利用非负的性质求值：当两个（多个）非负的数的和等于0时，所有非负的数式子分别等于0。
实数－3
例1）一个数的绝对值是 ，求这个数？
解：因为 绝对值均为 ，所以这个数为
1、从有理数扩充到实数后，实数之间不仅可以加、减、乘、除（分母不为0）、乘方运算，
2、正数及0可以进行开平方运算，任意实数可以进开立方运算。
例2） （1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数；（3）带根号的数都是无理数；（4）所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来数轴上点都可以表示实数。
例3） （1）有没有最小的正整数（最小的正整数是1）；（2）有没有最小的自然数（最小的自然数是0）；
（3）有没有最大的负整数（最大的负整数是－1）
（4）有没有最小的无理数 （5）有没有最小的实数
（6）有没有绝对值最小的实数。
实数－4
例4）已知∣X ∣﹤2