高中数学竞赛系列讲座
——进位制
一、进位制
1、什么是进位制？
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。
进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。
比如：
满二进一，就是二进制； 满十进一，就是十进制；
满十二进一，就是十二进制； 满六十进一，就是六十进制
“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.
基数：
2、最常见的进位制是什么？除此之外还有哪些常见的进位制？请举例说明．
最常见的进位制应该是我们数学中的十进制,比如一般的数值计算，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.
古人有半斤八两之说，就是十六进制与十进制的转换.
比如时间和角度的单位用六十进位制, 计算“一打”数值时是12进制的。
电子计算机用的是二进制 。
式中1处在百位，第一个3所在十位，第二个3所在个位，5和9分别处在十分位和百分位。十进制数是逢十进一的。
我们最常用最熟悉的就是十进制数，它的数值部分是十个不同的数字符号0，1，2，3，4，5，6，7，8，9来表示的。
十进制：
例如133.59，它可用一个多项式来表示：
133.59=1*102+3*101+3*100 +5*10-1+9*10-2
实际上，十进制数只是计数法中的一种，但它不是唯一
记数法。除了十进制数，生产生活中还会遇到非十进制的
记数制。如时间：60秒为1分，60分为1小时，它是六十进
制的。两根筷子一双，两只手套为一副，它们是二进制的。
其它进制：
二进制、七进制、八进制、十二进制、
六十进制……
二进制只有0和1两个数字，七进制用0~6七个数字
十六进制有0~9十个数字及ABCDEF六个字母.
二进制：
八进制：
十六进制：
0 1
0，1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ，
A , B , C , D , E , F
K进制数的一般形式：
其中
注意：最高位不能是0
为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制一般不标注基数.
例如十进制的133.59，写成133.59(10)
七进制的13，写成13(7)；二进制的10，写成10(2)
3、十进制的构成
十进制由两个部分构成
例如：3721
其它进位制的数又是如何的呢？
(用10个数字来记数，称基数为10)
其它进制数化成十进制数公式
二、 二进制
二进制是用0、1两个数字来描述的．如11001
二进制的表示方法
区分的写法：11001（2）或者(11001)2
八进制呢？
如7342(8)
k进制呢？
anan-1an-2…a1(k)？
三、二进制与十进制的转换
1、二进制数转化为十进制数
例1：将二进制数110011(2)化成十进制数。
解：
根据进位制的定义可知
所以，110011（2）=51．
其它进制数化成十进制数公式
2、把其他进位制的数化为十进制数的公式是什么？
注意：
1.最后一步商为0，
2.将上式各步所得的余数从下到上排列，得到：
89=1011001（2）
（十进制化成二进制）：
5
2
2
2
1
2
0
1
0
余数
11
22
44
89
2
2
2
2
0
1
1
0
1
例1：把89化为五进制数。
3、十进制转换为其它进制
解：
根据除k取余法
以5作为除数，相应的除法算式为：
所以，89=324（5）
练习：
完成下列进位制之间的转化：
（1）10231（4）= （10）；
（2）235（7）= （10）；
（3）137（10）= （6）；
（4）1231（5）= （7）；
（5）213（4）= （3）；
（6）1010111（2）= （4）。
1．进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为k，即可称k进位制，简称k进制。k进制需要使用k个数字；
2．十进制与二进制之间转换的方法；
先把这个k进制数写成用各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果。
小结
将五进制数434化为二进制数．
[解析]　先将五进制数化为十进制数．
434(5)＝4×52＋3×51＋4×50＝119，
再将十进制数119化为二进制数．
则119＝1110111(2)
所以434(5)＝1110111(2)
十进制转换为二进制
把49化为二进制数
3
2
1
2
2
0
1
1
余数
6
12
24
49
2
2
2
0
0
1
0
注意：
1.最后一步商为0，
2.将上式各步所得的余数从下到上排列，得到：49=110001（2）