桐城八中数学奥赛训练营
透析函数性质
函数的基本性质
1，  函数的奇偶性
（1）       函数的奇偶性的定义。
（2）       函数的奇偶性的判断与证明。
（3）       奇、偶函数图象的特征。
例1． 已知 （a、b为实数）且 ，则 的值是 （ ）
（1993年全国高中数学联赛试题）
（A） -5 （B）-3 （C） 3
（D） 随a、b取不同值而取不同值
奇函数
解：                              是奇函数的和，为奇函数，从而                                           即                                  ，                                                                 选（C）。
2，  函数的单调性
（1）       函数的单调性的定义。
（2）       函数的单调性的判断与证明。
复合函数的单调性
（3）       求函数的单调区间。
例2 如果不等式 x2－ ＜0
在区间 上恒成立，那么实数a
的取值范围是___________．
数形结合的思想
例3、解不等式
的一切实数m都成立，
求实数x的取值范围.
例4设关于x的一元二次不等式
对满足
析解：
为单调函数
解得
3.函数的周期性 (1)定义:设函数的定义域是D，若存在非零常数T，使得对任何x∈D，都有x+T ∈D且f(x+T)=f(x)，则函数f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期。定理:设函数的定义域是D，a,b为不相等的常数，若对任何x∈D，都有x+a∈D,x+b∈D,且f(x+a)=f(x+b)，则函数f(x)为周期函数，a-b为f(x)的一个周期。
(2)最小正周期:
(3)定理:若T是函数f(X)的一个周期,则nT也是函数f(x)的一个周期.(n为非零整数.)
4.函数图象的对称性
一·中心对称：
(1) 奇函数的图象关于原点对称；一般地，
如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,-y)，则曲线f(x,y)=0关于原点对称
（2）函数y=f(x)的图象关于点（a,b）对称的充要条件为：对函数定义域中的任意x均满足 2b-y=f(2a-x)
(3)函数的图象关于点(a,0)对称的充要条件为: f(x) =- f(2a-x) f(a+x)=- f(a-x)
(4)设函数f(x)对其定义域中的任意值x均满足f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图象关于点((a+b)/2,0)成中心对称.
二·轴对称： （1）偶函数的图象关于Y轴对称；一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,y)，则曲线f(x,y)=0关于Y轴对称
（2）设a是非零常数，如果对函数定义域中的任意值x均满足f(x)=f(2a-x) 　f(a+x)=f(a-x)
则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。
（３）设函数f(x)对其定义域中的任意值x均满足f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线x＝（a+b)/2对称.
一般地，如果方程f(x,y)=0满足
　f(x,y)= f(2a-x,y)， 则曲线f(x,y)=0关于直线x=a对称
函数图象的对称性与函数的周期性有着密切的内在联系，我们有下面的结论：
命题1：如果函数的图象关于直线x=a和直线x=b(a ≠b)对称，那么函数是以2(a-b)为周期的周期函数。
命题2：如果函数的图象关于点(a,0)和直线x=b (a ≠b)对称，那么函数是周期函数， 4(a-b)为函数的一个周期。
命题：如果函数的图象关于点(a,m)和直线x=b对称，那么函数是周期函数，4(a-b)为函数的一个周期。
命题3：如果函数y=f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，那么函数y=f(x)是周期函数，2(a-b)为函数的一个周期。(a>b)
命题：如果函数f(x)的图象关于两点(a,b)和(c,d)对称，那么：当a ≠ c，b=d时，f(x)是周期函数，2(a-c)为函数的一个周期。当a ≠ c， b≠d时，f(x)不是周期函数。
例5已知函数f ( x )，对任意实数x，有下面四个关系式成立：
（1）f ( x ) =－f (x+a)（a为非零常数）；
（2）f ( x ) = f (a－x)（a为非零常数）；
（3）f (a－x) = f (b－x)（a,b为常数且a2 + b2≠0）
（4）f (a－x) =－f (b－x)(a,b为常数且a2+b2≠0）
其中使f ( x )是周期函数的关系式是_______．
【解】考查（1），f ( x )=－f (x+a)说明“两个自变量相差a，则函数值互为相反数”，于是相差2a时，函数值相等：
f ( x )=－f (x+a) = f (x+2a)
∴ 等式（1）使f ( x )是周期函数，
且2a是周期；
考查（4），f (a－x) =－f (b－x)表明自变量相差a－b时，函数值互为相反数，于是相差2（a－b）时，函数值相等．故（4）同（1），能使 f ( x )为周期函数，且 2（a－b）是周期．
综上所述，应填（1），（3），（4）．
例6设f(x)是R上的奇函数，且f(x＋3)＝－f(x)，当0≤x≤   时，f(x)＝x，则f(2003)＝( )A.－1 B.0 C.1 D.2003
解：f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝－f(x＋3)
＝f(x)∴ f(x)的周期为6f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)
＝－f⑴＝－1选A
A
小结:
关于函数关系式f(a+x)= f(b x)所表示的函数性质,我们用下面的歌谣来帮助记忆:(f可念虎, X可念司)
f, x同号呈周期, 周期恰是a,b差;
f 同 x 异轴对称, f 异x 异有中心.
方程坐标和折半, 符号一定要小心.
双重对称周期现; 2 倍4 倍要分清.
f(a+x)= ±f(b±x)
高考题例例7. 已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是（   ）  (A)(0,1)   (B)(1,2)    (C)(0,2)   (D) [2,+∞)
B
2-ax>0恒成立
例8、设0 （1）求f(x);
（2）求证f(x)是奇函数；
（3）求证f(x)在R上的增函数；
解：（1）设t=logax(t∈R)则x=at(x>0)
于是                                                                   
    
因此
（2）                                                                                                                

∴f(x)为奇函数
（3）设—∞∵0-x2
∴                                                                                                    
又∵a2-1<0, a>0
∴f(x2)-f(x1)>0即f(x2)>f(x1)
因此f(x)在R上为增函数
例9、定义在 R的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[0,+∞)的图象与f(x)的图象重合。设a>b>0，给出下列不等式：
① f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)    ② f(b)-f(-a)③  f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)   ④ f(a)-f(-b)其中成立的是（   ）
(A)①④     (B)②③     (C)①③     (D)②④
由函数的奇偶性可知：
f(-a)=-f(a)、f(-b)=-f(b)
g(-a)=g(a)、g(-b)=g(b)
而f(a)=g(a)、f(b)=g(b)
故选C
g(x)
f(x)
例10设函数f(x), 对任意x, y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，若x>0时，f(x)<0且f(1)=－2.（1）证明：f(x)是奇函数；（2）求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值.（3）当t>2时，不等式恒成立，求实数k的取值范围.
【思路分析】因为x∈R，由区间的特殊点，即x=0入手，是解题的出发点.
【略解】
（1）令x=y=0,则有 f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0.
再令y=－x，得f(0)=f(x)+f(－x),
∵f(0)=0, ∴f(－x)=－f(x),
∴f(x)是奇函数.
（2）设x1, x2∈R，且x1 < x2,则
f(x2)=f[x1 +(x2－ x1)]=f(x1)+f(x2－ x1),
∵x2> x1, ∴x2－ x1 >0.
由已知得 f(x2－ x1)<0,
∴f(x2)∴f(x)在[－3，3]上的最大值[f(x)]最大值=f(－3),最小值[f(x)]最小值=f(3).
又∵f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=－6, f(－3)=－f(3)=6.
故f(x)在[－3，3]上的最大值为6，最小值为－6.
（3）∵f(x)是R上的单调递减函数.又f(x)是奇函数.由

得

即, 恒成立
∴(k+1)2－8<0,∴－2∴－1－2 故使不等式恒成立的实数k的范围是（－1－2 ，2 －1）.
竞赛试题
例11．（第九届希望杯）f(x)是定义域为R的奇函数，方程f(x)=0的解集为M，且M中有有限个元素，则M（   ）
(A)可能是 Φ                (B)元素的个数是偶数
(C)元素的个数是奇数              
(D)元素的个数可以是奇数，也可以是偶数
5.（第十届希望杯）已知f(x)=2x-2-x-2，f(a)=0，则f(-a)的值为（   ）
(A) -a-4    (B)-2     (C)-4     (D)-2a
C
C
例12．（92全国联赛）设f(x)是定义在实数集上的函数，且满足下列关系：f(10+x)=f(10-x),f(20-x)=-f(20+x)。则f(x)是（   ） (A)偶函数，又是周期函数          (B)偶函数，但不是周期函数 (C)奇函数，又是周期函数          (D)奇函数，但不是周期函数
C
故f(-x)=f(40-x)=f[20+(20-x)]
=-f[20-(20-x)]=-f(x)
由f(10+x)=f(10-x),f(x)有对称轴x=10

由f(20-x)=-f(20+x),f(x)有对称中心(20,0)

故函数的周期为4(20-10).
例13.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)若f(0)＝2004，求f(2004)
解：因为f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)所以f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)两式相加得0＝f(x－1)＋f(x＋2)即：f(x＋3)＝－f(x)∴ f(x＋6)＝f(x)f(x)是以6为周期的周期函数2004＝6×334∴ f(2004)＝f(0)＝2004
例14.定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有f(x＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( )
A.150 B. C.152 D.
解：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x＝
于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.即有一个根就是3/2 ，其余100个根可分为50对，
每一对的两根关于x＝3/2 对称利用中点坐标公式，这100个根的和等于

×100＝150

B
例15．设
略解：
由其对称性，f(x)+f(1-x）=1
采用倒序相加法
可知原式=500
例16．(山东15) 已知                                             ，

则                                                             的

值等于 ．
故原式=（4×1+233）+（4×2+233）+…+(4×8+233)=2008
例17.已知(3x＋y)2001＋x2001＋4x＋y＝0，
求4x＋y的值.
所以 3x＋y＝－x 4x＋y＝0
更上一层楼
解：构造函数f(x)＝x2001＋x，
则, f(3x＋y)＋f(x)＝0
注意到f(x)是奇函数且为R上的增函数，
例18 (2005年·广东)对函数f(x),
当x∈(-∞,∞)时,f(2-x)=f(2+x),
f(7-x)=f(7+x),
在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0.
（1）试判断函数y= f(x)的奇偶性；
（2）试求方程f(x) =0在闭区间
[-2005,2005]上根的个数, 证明你的结论.
【解】（1）由已知得f（0）≠0，
∴f(x)不是奇函数，
又由f(2-x)=f(2+x)，
得函数y= f(x)的对称轴为x=2，
∴f(-1)=f(5)≠0，∴f(-1)≠f(1)，
∴f(x)不是偶函数.
故函数y＝ f(x)是非奇非偶函数；
从而可知函数y=f(x)在[0,2005]上有402个解，在上[－2005,0]有400个解，
所以函数y=f(x)在[－2005,2005]上有802个解.
(2)由f(4-x)=f(14-x) , f(x)=f(x+10)，
从而知y=f(x)的周期是10.
又f(1)=f(3)=0,
f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9 ) =0,
故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有两个解，
再 见