竞赛数学典型问题
的解决
第一节 函数方程
函数方程的解法是古老的分析问题之一.许多数学家都曾对函数方程进行过研究,可是至今还没有完整的理论及解法.一些简单的函数方程只需要以初等数学为工具, 在IMO中从七十年代以来,常有有关函数方程方面的问题.本节 简单介绍函数方程的常见解法和有关基本问题.
.基础知识
1.含有未知函数的等式称为函数方程.
如
等等.
2.在定义域内均满足函数方程的函数称为该
函数方程的解.
如
-------其解为一切偶函数.
3.寻找函数方程的解或证明函数方程无解的
过程称为解函数方程.
4.有关函数方程问题大致分为三类：
(3)确定函数表达式(解函数方程)．
(2)确定函数性质；
(1)确定函数值；
二.函数方程及有关问题的解法
关于解函数方程及有关问题的解法,理论上
没有完整的一般方法.但 归纳起来还是有一些
常用的解法是可以借鉴的.
1.定义法
此方法是通过配方、凑项等手法, 使函数方
程变形为关于“自变量”原象的表达式,然后以x
代替“自变量”,即得函数表达式.
例1
已知

求
解
∵
∴
说明：
解得的函数必须注明定义域,必须检验
是否为函数方程的解.
但为了简便,常省略.
例2
2.换元法与方程组法
此方法是通过换元,得到新的函数方程,最后
通过解函数方程组求出原函数方程的解.
设
适合等式
则
的值域
是　　　．
(2005年江西省高中数学联赛)
解
解
由①②③解得
例4
设函数
满足
且对任意
都有
则
．
(200４年全国高中数学联赛)
解
、
由①、②得
3.赋值法
赋值法(和代换法)是确定函数方程的函数性质的基本方法, 在函数定义区域内赋予变量一个或几个特殊值,使方程化繁为简,达到解决问题的目的.
解
②＋③－④得
解
令
得
若
令
得
代入原函数方程知该函数不是
原方程的解.
若
同理可解得
知该函数是原方程的解.
代入原式
所以,
4.递归法
对定义在自然数集上的函数,若已知初始值
及递推关系,则可利用递归关系解决问题.
解
可得
又
故对负整数n,有
取
解
取
可得
又,易知
故对负整数n,有
解
依题意
两式相减得
于是
∴
5.数学归纳法
数学归纳法对解决定义在自然数集上的函数
是十分重要的方法.
解
因1是
时,
值域中最小的数,命题成立.
设命题对自然数
成立,则
时,
由假设有
条件得
于是由
由整数的离散性得
再用假设有
即
时命题成立.
因此,对任意自然数
有
再令
则
又
故
这说明
是严格递增函数.
对任意
有
又
是严格递增，
故
即
综上,对每一个
的值,等式
都成立.
6.反证法
对正面直接证明有困难的命题,可以考虑用
反证法.
解
则对任意实数
设题设函数存在．
若有
则有
由①知
这表示
是实数集R到R的单射.
又,在①中令
得
得
③
④
在②中令
分别在①②中令
⑤
得
由此及
是单射得
⑤＋⑥得
矛盾.
故满足题设的函数不存在.
⑥
④
③
①
②
由③④及
是单射得
7.函数迭代法
证明
对
设
则
因
且
严格递增,
所以
①
又由于
故由①得
所以
即
于是
所以
即
进而
另一方面,由①得
即
于是
①
又由于
故由①得
综上,
得证.
8.不动点法
解
先证:1是
的不动点.
对任意
因
有
故
特别地,存在
使
因
所以
若
是
的不动点,
则有
于是有
即
所以
是
的不
动点;
所以
也是
不动点.
的
若
有不动点
则
及
都是
对任意
的不动点.
不妨设
则
矛盾.
故1是
唯一的不动点.
由条件(1),
对任意
有
即
为
的不动点.
于是
所以
9.柯西法

解
(1)当自变量取自然数时,
由数学归纳法得

②

于是
③
(2)当自变量取整数时,
④
又
⑤
⑥
故
由③④⑤知
(3)当自变量取有理数时,
设
由②有
由⑥有
即
⑦
(4)当自变量取实数时,
对任意
存在
使得

所以
本例中的函数方程由数学家柯西首先研究,
故称为柯西方程,其解法称为柯西方法.
该解法
十分典型,解法分若干步逼近最后的结果,
其中
每一步都成为后面推理的基础, 故可形象地称
为“爬坡式”推理.

柯西方程也是一个重要的方程, 许多方程可
通过代换转化为柯西方程.
解
设
由条件得
即
亦即
令
则
由柯西方程知
所以
作业
谢谢!