数学竞赛讲座
主要内容
数学竞赛的历史漫谈
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我国数学竞赛的发展
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小学数学竞赛例谈
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数学竞赛史漫谈
这位口吃者名叫丰坦那（Nicolo Fontana）, 1500年出生于意大利北部的布里西亚（Brescia）. 不幸的他, 幼年时正值法军入侵, 小小的丰坦那也难逃此劫, 父亲被杀, 他自己颚部被刀砍伤, 从此说话结结巴巴, 被称为塔塔利亚（Tartaglia）, 即口吃的人. 在母亲的抚养下, 丰坦那自学成才, 他教过学、写过书, 但人们知道他的名字更多的是因为他在几次数学竞赛中所赢得的胜利.
1530年, 在他的家乡, 一位名叫科拉（Colla）的教师向他提出挑战, 解答形如x3+3x=5之类的三次方程. 丰坦那获胜了, 一时间, 被传为佳话. 他的名字随着这次有记载的第一次数学竞赛, 被传扬开来, 并且被记入史册.
1535年2月22日, 神圣的米兰大教堂. 丰坦那在此公开迎战的是菲奥（Autonimo Fior）. 菲奥早已从恩师著名数学家费罗（Scipione del Ferro）那里学到关于三次方程的一些解题技巧. 而丰坦那通过自己的努力, 也终于在比赛前10天掌握了三次方程的解法, 使他得以从容迎战. 比赛一开始, 两人各给对方出30道题. 时间在一分一秒的流逝, 一个小时过去了, 两人都在继续埋头解题……当第二个小时还未结束时, 丰坦那已完成了全部解题工作, 他再次大获全胜！
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一、 口吃者的挑战
数学竞赛史漫谈
后来, 天才怪人卡丹（Girolamo Cardano）在做出决不泄密的承诺后, 丰坦那把三次方程的解法告诉了他. 不料, 卡丹在他1545年出版的著作《大法》（Ars Magna）第11章中公开了三次方程的求根公式（被称为卡丹公式）. 丰坦那闻讯非常气愤, 认为：“卡丹盗走了我准备放到自己著作中的珍珠. ”一怒之下, 他再赴米兰, 挑战卡丹. 卡丹却极力回避, 他派自己的学生费拉里（Lodovico Ferreri）迎战, 此人是四次方程解法的发现者. 但是, 丰坦那在7天内解出了对方给的大部分题目, 而费拉里用了5个月的时间只解对了1道题. 丰坦那再展雄风, 令世人惊叹不已.
没想到, 费拉里不但不认输, 反而诬陷丰坦那剽窃了费罗的研究成果, 气得这位口吃的人竟然说不出话来. 心乱如麻的丰坦那又得到一个可怕的消息：卡丹要杀死他！丰坦那不得不连夜逃离米兰. 1557年, 丰坦那离开了这个充满了成功和恐慌的世界.
十六、十七世纪, 不少数学家步这位可敬的口吃者的后尘, 纷纷向他人提出解答数学题目的挑战. 这种数学家们之间进行的挑战式的“数学竞赛”, 大概就是现代意义的数学竞赛的起源. 直至当代, 还有一些数学家以此为乐, 借以发展数学研究工作
数学竞赛史漫谈
这位男爵是匈牙利著名的数学家、物理学家, 他的名字是埃特沃斯（Lorand Eötvös）. 1891年, 他参与筹建了匈牙利数学物理协会, 并担任主席直至去世. 1894年, 正值男爵出任教育部长之际, 匈牙利数学物理协会组织举办了全国性的中学数学考试, 其实就是一次数学竞赛. 这使得竞赛从无组织的个人行为变为有组织的团体活动, 竞赛双方从数学家变为中学生, 匈牙利成为世界上最早开展此项活动的国家. 鉴于埃特沃斯男爵创造性的贡献, 这种竞赛也被称为埃特沃斯男爵的考试.
匈牙利的数学竞赛从此每年举办一次, 其间因为两次世界大战中断了6年, 又因为政治事件停办了1956年的一届. 每次竞赛都出3道难度适中的数学题, 限时4小时完成. 这项活动还是发现人才的重要途径, 包括匈牙利数学之父费叶（Fejer）、航天动力学的奠基人冯·卡曼（Von Karman）在内的一大批人才都曾经是这种数学竞赛的优胜者.
二、 男爵的考试
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苏联人好像对匈牙利首创数学竞赛的说法不以为然, 他们自称在1886年的沙俄时期就有这种数学竞赛了, 比匈牙利还早8年. 不过, 苏联对于数学竞赛的贡献确实是有目共睹的. 1934年, 由列宁格勒大学主办的中学生数学奥林匹克, 首次把数学竞赛与源于公元前776年古希腊的奥林匹克体育运动的名字联系在一起. 由于二者的相似之处很多, 这个名字很自然的被接受下来. 1935年, 莫斯科大学也成功主办了中学生数学奥林匹克. 直至1962年全苏竞赛, 在苏联形成了校内竞赛、市级竞赛、省级竞赛、加盟共和国竞赛和全苏竞赛五级竞赛体系. 由于有了狄隆涅、柯尔莫哥罗夫等著名数学家的参与, 苏联的数学奥林匹克命题质量颇高, 有力的推动了数学竞赛活动的开展.
苏联对数学竞赛的命名, 逐渐被更多的国家和地区广泛采用. 数学奥林匹克也成为现代意义的数学竞赛的一种通用称谓. 数学奥林匹克首先在东欧各国蓬勃开展起来：1949年保加利亚, 1950年波兰, 1951年捷克斯洛伐克, ……
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在数学奥林匹克的历史进程中, 不能忘记罗马尼亚. 不仅是因为早在1902年, 他们就组织了全国性的数学竞赛, 成为开展此项活动最早的国家之一；更重要的是因为他们的罗曼（T·Roman）教授. 由于罗曼教授的适时倡议和积极活动, 终于在1956年, 开展数学奥林匹克较早的几个东欧国家正式决定举办国际中学生数学竞赛, 这就是国际数学奥林匹克（International Mathematical Olympiad, 简称IMO）.
1959年, 首届IMO在罗曼教授的祖国罗马尼亚的布拉索夫（Brasov）举行, 参赛的52名学生是：罗马尼亚、保加利亚、匈牙利、波兰、捷克斯洛伐克和民主德国的各8名队员, 以及苏联的4名队员. 此后, 南斯拉夫（1963年）、芬兰（1965年）、英国（1967年）等欧洲国家相继参加, 亚洲的蒙古（1964年）、北美洲的古巴（1971年）、非洲的阿尔及利亚（1977年）、南美洲的巴西（1979年）、大洋洲的澳大利亚（1981年）等其他各大洲的国家和地区相继加入, 美国（1974年）等“数学大国”也纷纷参赛, 使IMO逐步成为一个全球性的数学竞赛盛会. 根据逐渐形成的制度, IMO每年7月份举办一届, 东道国协商确定. 至今, 除了1980年因为东道国蒙古经济困难中断过1届以外, 已经举办了41届.
三、 教授的倡议
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IMO的参赛者都是应邀的, 接受邀请的国家组成代表队参加竞赛, 有正副领队各1名, 最多可以派出6名队员（1983年以前允许每个国家的代表队有8名队员）, 参赛队员必须是在校就读的中学生, 年龄不超过20周岁. 竞赛试题由各参赛国在4月底以前推荐给东道国组委会, 在由正领队组成的主试委员会上加以研究, 最后以民主协商的方式投票确定6道试题, 并统一正确答案和评分标准. IMO以英、法、德、俄四种语言为工作语言, 试题由各国领队翻译成本国文字. 竞赛分别在两天的上午进行, 每次3道题, 限时4.5小时, 每题7分, 共42分（起初采用过40分制）.
但是, IMO毕竟不同于奥林匹克体育运动, 其目的不是为了发现“世界上最优秀的数学家”. 因此, IMO的获奖名额较多, 通常以39分、34分和22分为限确定三个等级奖（分设金银铜牌）, 获奖人数不超过50%, 一、二、三等奖的人数比例约为1：2：3, 根据每届的具体情况略作调整. “对个别试题给出特别漂亮或有创新的解答”, 还要授予特别奖. 比赛结束后, 不排列各国的名次, 不颁发团体奖, 不过各国对自己的总分名次都心中有数.
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1956年, 中国科学院数学研究所所长、著名数学家、中国科技大学华罗庚教授撰文热情呼吁：“我们也要搞数学竞赛了！”在他的倡导下, 这一年, 分别在北京、天津、上海和武汉四大城市举办了高中数学竞赛. 当时, 华老亲任北京市竞赛委员会主任, 并组织命题工作. 华罗庚、傅种孙、陈建功、苏步青、段学复、江泽涵等著名数学家都为此作过专题报告. 1957年, 高中数学竞赛进一步发展到南京等城市. 正当活动欲推向全国之际, 经济困难、反右倾等天灾人祸接踵而至, 中国数学竞赛像一朵刚要绽放的鲜花, 遭受了风霜的打击.
1962年, 经济形势略有好转. 华老的心愿依旧, 他再次出任北京市竞赛委员会主任, 恢复了北京市数学竞赛. 此后几年, 很多城市陆续开展了各种形式的数学竞赛. 闵嗣鹤、姜伯驹、段学复等众多著名数学家也为之添砖加瓦, 使数学竞赛呈现出一派欣欣向荣的景象. 岂料, 中国的数学竞赛好像天生就要于政治运动同呼吸、共命运. 1966年, “史无前例”的文化大革命席卷全国, 数学竞赛也被扣上“教育黑线的产物”的帽子. 梅开二度, 再遭重创.
四、华老的心愿
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1978年, “四人帮”被打倒了, 但华老的心愿仍未了. 时任中国科学院副院长、中国数学会理事长的华老已年近古稀, 他亲自担任全国竞赛委员会主任, 主持了规模空前的全国性的数学竞赛. 5月21日, 经过预赛、复赛的层层选拔, 来自北京、上海、天津、陕西、安徽、四川、辽宁和广东8省市的350名选手进行了两场共5小时的竞赛, 通过角逐评出57名优胜者. 次年, 参赛者由8省市迅速发展为29个省市区.
1980年, 第一届全国数学普及工作会议在大连召开, 会议决定将全国数学竞赛定名为“全国各省、市、自治区高中联合数学竞赛”. 1981年, 首届全国数学联赛在京举行. 此后, 每年10月份的第二个星期日上午举行一届. 1984年, 中国数学会普及工作委员会委托天津市数学会举办了一次初中数学邀请赛, 有14个省、直辖市、自治区参加. 这次活动的成功, 为以后举办的初中数学联赛摸索了很多经验. 11月, 在宁波召开的中国数学会第三次普及工作会议上, 一致通过了举办初中数学联赛的决定, 规定初中数学联赛在每年4月份的第一个星期日举行. 1992年中国数学会第七次普及工作会议上讨论并通过了《数学竞赛大纲（初审稿）》. 以后几经研讨和修改, 于1994年3月福州会议上通过了《初中数学竞赛大纲（修订稿）》. 这项赛事很好的坚持了“大众化、普及型、不超纲、不超前”的原则.
数学竞赛史漫谈
除此之外, 全国各地各级各类数学竞赛也如雨后春笋, 不断出现, 把数学竞赛活动搞得轰轰烈烈, 真可谓形式各异、百花齐放、争奇斗艳. 这些丰富多彩的竞赛活动对于在青少年中普及数学知识、改进和加强我国的中学数学教育教学工作、激发学生的学习兴趣、选拔和培养优秀的数学人才等方面都起到了积极的推动促进作用. 但是, 各类竞赛活动过多, 在客观上加重了师生的负担,命题质量也难以保证, 出现了良莠混杂的局面. 为此, 原国家教委和其它有关部门对数学竞赛活动进行了调整、规范和精简. 目前,比较具有影响力的全国性数学竞赛主要有三个,除了全国联赛之外, 还有“希望杯”全国数学邀请赛和全国初中数学竞赛. 前者始于1990年, 每年一届, 它是由中国科学技术学会普及部、中国优选法统筹法与经济数学研究会、华罗庚实验室等单位联合主办的一项面向初一、初二、高一、高二学生的竞赛活动; 后者由中国教育学会中学数学专业委员会主办, 于1998年4月举行了第一届竞赛, 以后每年4月举办一届.
数学竞赛史漫谈
为了在国际舞台上展示中国数学奥林匹克的成就, 我国于1985年首次派出2名队员参加了在芬兰举行的第26届国际数学奥林匹克, 获1枚铜牌. 1988年,中国数学奥林匹克委员会成立, 负责选拔和训练队员等与IMO有关的各项工作. 1989年第30届IMO在“数学王子”的故乡联邦德国的布伦瑞克（Braunschweig）举行,我国参赛的6名队员以4枚金牌、2枚银牌的优异成绩第一次获得冠军. 1990年第31届国际数学奥林匹克第一次在我国举办, 这也是第一次在亚洲国家举办, 在这次竞赛中, 我国6名选手夺得5枚金牌、1枚银牌, 总分第一, 遥遥领先于参赛的其他53个国家和地区（包括美苏在内）的选手. 我国选手解题方法之巧妙, 形式之美观, 令考官们拍案叫绝. 此后, 我国数学奥林匹克小将们不负众望, 屡获殊荣, 为国家和民族争了光, 成为中国数坛的曙光希望之所在.
我国数学竞赛的发展
十余年来，我国中学数学竞赛活动蓬勃发展，其影响越来越大，特别是我国中学生在影响最大、水平最高的国际数学奥林匹克竞赛中，多次荣登榜首，成绩令世人瞩目，充分显示了中华民族的聪明才智和数学才能。了解国际赛史，熟悉国内赛况，认识数赛意义是必要的，也是有益的。
　　在“普及的基础上不断提高”的方针指引下，全国数学竞赛活动方兴未艾，特别是连续几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得了可喜的成绩，使广大中小学师生和数学工作者为之振奋，热忱不断高涨，数学竞赛活动进入一个新的阶段，为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《数学竞赛大纲》以适应当前形势的需要。
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一、 《数学竞赛大纲》
我国数学竞赛的发展
总纲：
　　本大纲是在国家教委制定的“全日制中学数学教学大纲”的精神和基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出；“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性”。具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。
　《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。在竞赛中对同样的知识内容的理解程度与灵活运用能力，特别是方法与技巧掌握的熟练程度，有更高的要求。而“课堂教学。为主，课外活动为辅”是必须遵循的原则。因此，本大纲所列的课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，这样才能加强基础，不断提高。
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一、 《数学竞赛大纲》
我国数学竞赛的发展
1、高中部分
全国高中数学联赛：全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试：全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：
平面几何
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点:旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
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二、 数学竞赛的内容与形式
我国数学竞赛的发展
代数
周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*
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我国数学竞赛的发展
3. 初等数论
同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题
圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
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二、 数学竞赛的内容与形式
我国数学竞赛的发展
2、初中部分
形式：全国初中数学竞赛分初赛和复赛两次，初赛和复赛均采用闭卷笔答形式。一些复杂的近似计算和估算，允许使用计算器。
初中数学竞赛初赛和复赛的命题以《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（7—9年级）的理念、内容和要求为基本依据，在能力上作适当拓展，着重考查学生对数学知识的理解和应用数学知识的能力。初赛试题的难度接近或略高于初中数学学业考试中较难部分试题的难度，并适当强调知识的覆盖面。复赛试题的难度略高于初赛试题的难度，不强调知识的覆盖面。
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二、 数学竞赛的内容与形式
我国数学竞赛的发展
1. 数 　　整数及进位制表示法，整除性及其判定。　　素数和合数，最大公约数与最小公倍数。　　奇数和偶数，奇偶性分析。　　带余除法和利用余数分类。　　完全平方数。　　因数分解的表示法，约数个数的计算。　　有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
2. 代数式　　综合除法、余式定理。　　因式分解。　　拆项、添项、配方、待定系数法。　　对称式和轮换对称式。　　整式、分式、根式的恒等变形。　　恒等式的证明。
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二、 数学竞赛的内容与形式
我国数学竞赛的发展
3. 方程和不等式　　含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布。　　含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法。　　含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法。　　含绝对值的一元一次不等式。　　简单的多元方程组。　　简单的不定方程(组)。
4. 函数　　y=|ax+b|， 及 的图象和性质。　　二次函数在给定区间上的最值，简单分式函数的最值。　　含字母系数的二次函数。
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二、 数学竞赛的内容与形式
我国数学竞赛的发展
5. 几何　　三角形中的边角之间的不等关系。　　面积及等积变换。　　三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质。　　相似形的概念和性质。　　圆，四点共圆，圆幂定理。　　四种命题及其关系。
6. 逻辑推理问题　　抽屉原理及其简单应用。　　简单的组合问题。　　简单的逻辑推理问题，反证法。　　极端原理的简单应用。　　枚举法及其简单应用。
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二、 数学竞赛的内容与形式
我国数学竞赛的发展
3、小学部分
形式：目前全国性的小学数学竞赛主要有两个：一个是“华罗庚金杯”少年数学邀请赛；一个是小学数学奥林匹克邀请赛。   “华罗庚金杯”少年数学邀请赛是由共青团中央、中国少年报、中央电视台、中国科协青少年部主办的比赛。从1986年开始举办，每两年一届，从第九届起改为每年一届，参加对象是小学六年级和初七、八年级学生。命题基础是小学数学的范围。比赛分预赛、复赛、决赛一试、决赛二试和面试几个阶段进行。预赛题目由中央电视台播出。复赛在全国范围内统一命题，由各参赛城市具体组织进行。复赛中各城市按给定数额评出一、二、三等奖，一般是大城市一等奖四名，中、小城市一等奖三至二名。获得一等奖的选手再集中到一起进行决赛和面试，决出金牌、银牌和铜牌。 “华罗庚金杯”少年数学邀请赛是我国最重要的小学数学竞赛，不仅因为这个比赛是以我国杰出的数学家华罗庚教授的名字而命名的比赛，更因为参加比赛的选手有数百万之多，并且有预赛题目是由中央电视台播出和一等奖获得者将集中于某一城市决赛等特点，使这项比赛具有重大的影响，受到广大中、小学生、教师和家长的欢迎。
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二、 数学竞赛的内容与形式
我国数学竞赛的发展
小学数学奥林匹克邀请赛是由中国数学学会主办的全国性比赛。该比赛从1989年开始举办，每年进行。参赛对象是小学高年级学生。比赛于每年三、四月份举行，分初赛和决赛两个阶段进行，总决赛于每年八月初举行。全国统一命题，统一确定获奖的得分标准。与“华罗庚金杯”少年数学邀请赛相比，小学数学奥林匹克邀请赛除了每年举行以外，还有一个重要特点，就是全国统一确定获奖标准，获奖的难度较大，获奖面也较小。小学数学奥林匹克是迈向国际数学奥林匹克的第一步。
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二、 数学竞赛的内容与形式
我国数学竞赛的发展
内容：
（一）、计算问题
1、基本题；
2、运用运算性质及定律运算的问题；
3、巧算的问题（找规律，分数问题）；
4、估算。
（二）、应用题
1、平均问题；
2、行程问题；
3、工程问题；
4、分数问题；
5、会用线段、面积等相应方法解决应用问题。
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二、 数学竞赛的内容与形式
我国数学竞赛的发展
（三）、整数的有关问题
1、整除概念，数字整除特征；
2、奇偶数的性质；
3、带余数除法与十进制表示法；
4、质数与合数，最大公约数与最小公倍数；
5、整数的拆分。
（四）、几何初步知识
1、几何的计数与计算问题（数图形、求长度、面积
与体积的问题）；
2、几何形体的分、合、移、补的问题；
3、动手、动脑、操作、归纳问题。
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二、 数学竞赛的内容与形式
我国数学竞赛的发展
（五）、数字问题
1、填运算符号、字母等有关竖式与横式问题；
2、数阵图中找规律的问题；
3、数字串问题。
（六）、有关专题的内容及方法
1、分析推理问题；
2、包含与排除问题；
3、某些有规律排列的求和等问题；
4、数字游戏（双人对策等）及最好的对策等问题；
5、简单的抽屉原理问题；
6、简单的最大和最小问题。
（七）、其它
    系指较为灵活的，综合的一些问题，应注意到小学生的知识和思维特征所能达到的水平。
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二、 数学竞赛的内容与形式
我国数学竞赛的发展
小结
中小学数学竞赛以国际中学生数学奥林匹克竞赛为向导，在华罗庚教授等老一辈数学家的倡导下，从1956年起，开始举办中学数学竞赛，在北京、上海、福建、天津、南京、武汉、成都等省、市都恢复了中学数学竞赛，并举办了由京、津、沪、粤、川、辽、皖合办的高中数学联赛；1979年，我国大陆上的29个省、市、自治区全部举办了中学数学竞赛。此后，全国各地开展数学竞赛的热情有了空前的高涨。1980年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年10月中旬的第一个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”。同时，我国数学界也在积极准备派出选手参加国际数学奥林匹克的角逐。1985年，开始举办全国初中数学联赛；1986年，开始举办“华罗庚金杯”少年数学邀请赛；1991年，开始举办全国小学数学联赛。
现在，我国的高中数学竞赛分三级：每年10月中旬的全国联赛；次年一月的CMO（冬令营）；次年三月开始的国家集训队的训练与选拔。
　对我国中学影响较大的还有美国中学生数学竞赛。该赛也分三轮进行：美国中学数学竞赛（AHSME），考试形式是30道选择题，要求90分钟内完成；美国数学邀请赛（AIMS），考15道空题，答案均为不超过999的正整数，要求3个小时内完成；美国数学奥林匹克（USAMO），这是美国国内水平最高的数学赛活动，每次考5道题，3.5小时内完成。
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二、 数学竞赛的内容与形式
我国数学竞赛的发展
为使我国的数