数学竞赛中
的组合问题

（一）主要类型
1、组合计数问题
包括有限集合元素的计算、相应子集的计算、集合分拆方法数的计算等，表现为数值计算、组合恒等式或组合不等式的证明．知识基础是加法原理、乘法原理和排列组合公式；常用的方法有：代数恒等变形、二项式定理、数学归纳法、递推、组合分析、容斥原理等．
一、概论
（一）主要类型
1、组合计数问题包括：
①问题类型：
主要有：有限集合元素的计算、子集的计算、集合分拆的计算
②解题方法：
主要有：代数恒等变形、二项式定理、组合等式、递推、组合分析、容斥原理、数学归纳法。
一、概论
（一）主要类型
2、组合设计问题
其基本含义是，对有限集合，按照性质来作出安排，有时，只是证实具有性质的安排是否存在、或者验证作出的安排是否具有性质（称为存在性问题，又可分为肯定型、否定型和探究型）；有时，则需把具体安排（或具体性质）找出来（称为构造型问题）；进一步，还要找出较好的安排（称为最优化问题）．
一、概论
（一）主要类型
2、组合设计问题：对集合A，按照某种性质P来作出安排，包括
①问题类型
主要有：存在性问题，构造性问题，最优化问题．
②解题方法：
主要有：构造法、反证法、抽屉原理、染色方法、
递推方法
一、概论
（二） 发展特点
以组合计数、组合设计为基础，与数论、几何交叉，形成组合数论、组合几何、集合分拆三大热点 ，突出而鲜明的体现数学竞赛的“问题解决”特征．这三方面之所以成为热点，从思维方式、解题技巧上分析，是因为其更适宜数学尖子的脱颖而出，且常与现代数学思想相联系；从技术层面上分析，还由于都能方便提供挑战中学生的新颖题目．
一、概论
有７个定义、9个定理：
定义１ 从n个不同的元素中取出m个，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列．
相异元素排列数的计算公式为：
．
二、基础知识
定义２ 从n个不同的元素中取出m个，并成一组，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合．
相异元素组合数的计算公式为：
二、基础知识
定理１ （加法原理）
定理2 （乘法原理）
定理3 组合恒等式
(1)
(2)
(3)

(4)
二、基础知识
定理4 （二项式定理）

定义３ 从n个不同的元素中取出m个，按照一定的顺序排在一个封闭曲线上，叫做环形排列（或循环排列、圆排列）．
相异元素的 圆排列数公式为：
二、基础知识
定义４ 从n个不同的元素中，允许重复取出m个元素，按照一定的顺序排成一列，称为n个相异元素允许重复的m元排列．
相异元素的可重复排列数计算公式为：
定义５ 从n个不同的元素中，允许重复取出m个元素，不管怎样的顺序并成一组，称为n个相异元素允许重复的m元组合．
相异元素的可重复组合数计算公式为：
二、基础知识
定义６ 若n个元素中，有n1个a1， n2个a2．．．
ｎｍ个aｍ，且　　　　　　　　，则这ｎ个元素的
全排列，称为不尽相异元素的全排列．
不尽相异元素的全排列公式为：

定义７ 如果Ａ是一个ｎ元有限集合，那么，它
的子集　　　　　组成的集合
叫做的一个子集系．
二、基础知识
定理5 ｎ元集合Ａ中含有　　　　　个元素的子集有　　个；集合Ａ的所有子集共有　　个．
定理6 （抽屉原理）
（1）把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。
（2）把多于mn+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。
（3）把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。
二、基础知识
举例说明抽屉原理
例1  幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理.
解 从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：
（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）
把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原则1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同.
举例说明抽屉原理
例2正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆（每面只涂一种色），证明正方体一定有三个面颜色相同.
证明：把两种颜色当作两个抽屉，把正方体六个面当作物体，那么6=2×2+2，根据原则二，至少有三个面涂上相同的颜色.
举例说明抽屉原理
例3 从自然数1，2，3，…99，100这100个数中随意取出51个数来，求证：其中一定有两个数，，它们中的一个是另一个的倍数.
解设第一个抽屉里放进数：1，1×2，1×22，1×23，1×24，1×25，1×26；
第二个抽屉时放进数：3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25；
第三个抽屉里放进数：5，5×2，5×22，5×23，5×24；
………………
第二十五个抽屉里放进数：49，49×2；
第二十六个抽屉里放进数：51.
………………
第五十个抽屉里放进数：99.
那么随意取出51个数中，必有两个数同属一个抽屉，其中一个数是另一个数的倍数.
定理7 （容斥原理）设集合 ，记 为 对于全集的补集，则
(1)

(2)
定理8 （自然数的良序性）自然数的任一非空子集中，必有一个元素是最小的．
二、基础知识
定理9 设A,B是两个有限元集合， 分别是两集合的元素个数，f是A到B的一个映射．
（１）若f是单射，则 ；特别的，f是单射而非满射，则
（２）若f是满射，则
（３）若f是一一映射（双射），则
二、基础知识
（二）、《高中数学竞赛大纲 》中组合问题的要求
1、圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式．
2、组合计数，组合几何． 3、抽屉原理．
4、容斥原理． 5、极端原理．
6、图论问题． 7、集合的划分．
8、覆盖．
9、平面凸集、凸包及应用*．（加试中暂不考，但在冬令营中可能考）．
二、基础知识
1、计数问题
三、题型举例
1、计数问题
三、题型举例
2、染色问题
三、题型举例
3、存在性问题
三、题型举例
4、组合构造
三、题型举例
5、组合数论
三、题型举例
6、操作性问题
三、题型举例
7、最值性问题
三、题型举例
8、图论
9、组合方法
10、综合问题
三、题型举例
在高中数学联赛的所有题目中，相信最让大家头痛的莫过于组合题了，有些同学觉得做组合题很容易就绕晕了，不知道如何下手；有些同学看了答案总是会说，这个题想法太怪了，不可能想不出来；有些同学好不容易想出了答案，却经常因为表达不清楚而得不到分。确实，组合题对数学思维的要求非常高，它经常作为联赛二试的最后一题出现，会比另外几块内容难上很多，但也并不是无迹可寻的。
组合问题的知识点并不多，主要在于对问题性质的探索与思考。联赛中组合题以存在性问题和最值问题以及组合数论问题为主，这类问题的关键常常在于构造例子或反例。因此，只要我们多加练习这两类问题，在联赛中还是可以拿到满意的分数的。
四、结束语
谢谢各位!
2016-07-23