引子1
数学之魂——仰望夜空
仰望夜空的人
泰勒斯誉称“科学之祖”，古希腊第一位哲学家。相传，他晚上走路，头望星空，看出第二天有雨。但一不小心，一脚踏空，掉进泥坑，后被人救起。第二天果然下了雨。有人讥笑哲学家知道天上的事情，却看不见脚下的东西。
仰望夜空的人
德国哲学家黑格尔说，一个民族只有有那些关注天空的人，这个民族才有希望。如果一个民族只是关心眼下脚下的事情，这个民族是没有未来的。

仰望星空
——温家宝

我仰望星空，它是那样寥廓而深邃；
那无穷的真理，让我苦苦地求索追随。
我仰望星空，它是那样庄严而圣洁；
那凛然的正义，让我充满热爱、感到敬畏。
我仰望星空，它是那样自由而宁静；
那博大的胸怀，让我的心灵栖息依偎。
我仰望星空，它是那样壮丽而光辉；
那永恒的炽热，让我心中燃起希望的烈焰、响起春雷。
仰望夜空
国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010-2020年) 对教育的要求决定
仰望夜空——教育发展
第十七章加强教师队伍建设
（五十一）建设高素质教师队伍。教育大计，教师为本。有好的教师，才有好的教育。提高教师地位，维护教师权益，改善教师待遇，使教师成为受人尊重的职业。严格教师资质，提升教师素质，努力造就一支师德高尚、业务精湛、结构合理、充满活力的高素质专业化教师队伍。
（五十三）提高教师业务水平。完善培养培训体系，做好培养培训规划，优化队伍结构，提高教师专业水平和教学能力。通过研修培训、学术交流、项目资助等方式，培养教育教学骨干、“双师型”教师、学术带头人和校长，造就一批教学名师和学科领军人才。
引子2
数学境界
数学境界
“有境界自成高格”
境界二 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。
境界一 昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。
做学问的三大境界
境界三 众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。
学好、教好数学的三个境界
数学是一首诗，充满想象、智慧、创造、和谐、挑战；数学是一首最高的诗，蕴含着灵感、激情与力量。
“一个数学家，如果他不再某种程度上成为一个诗人，那么他就永远不可能成为一个完美的数学家。” _______Weiersterass
——丰富的想象力和创造力
境界1、诗人的意境
“数学发明创造的动力不是知识，而是想象力的发挥”。 _____德.摩根
“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界的一切，推动着进步，而且是知识进化的源泉”。
———爱因斯坦
给我一个支点，我可以撬动地球。
——阿基米德
想象是人类最美丽的翅膀
案例1、人类最豪迈的想象——
法国哲学家沃尔泰评论阿基米德说：“Archimedes 头脑中的想象力要超过Homer（荷马）。”
案例2 诗词与数学意境
黄
鹤
楼
送
孟
浩
然
之
广
陵
案例3 诗词与数学意境
在陈子昂看来，以他自己为原点，前不见古人指时间可以延伸到负无穷大，后不见来者则意味着未来的时间是正无穷大。
仰望夜空的古代诗人
数学是一首诗，
抽象而又具体；
数学是一幅画，
妙在似与不似之间。
登鹳雀楼

白日依山尽， 黄河入海流。

欲穷千里目， 更上一层楼。
案例4 诗词与数学意境
诗词与数学情境
诗词与数学意境
案例5 诗词与数学意境
只在此山中，云深不知处
只在此山中，云深不知处
抽屉原理：M个苹果放在N个抽屉里（M>N），那么一定存在一个抽屉，其中至少有两个苹果。
白居易《赋得古原草送别》
案例6 诗词与数学意境
离离原上草， 一岁一枯荣。

野火烧不尽， 春风吹又生。
“一岁一枯荣”的函数模型
“创新是一个民族的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力，也是一个政党永葆青春的源泉”。
——江泽民
伟大的类比（创新）——开普勒
案例1 圆的面积
拆分——组合
案例2 命题“等腰三角形两底角相等”的证明
常规证明：添加辅助线
创新证明：“一分为二”
案例3 椭圆的面积与切线方程
案例4 丑陋的证明——完美的演绎
案例5（创新型问题）——牛羊同船问题
今有船载有牛37头，羊57只，问船长年龄多大？
答案：20岁。已具备小学文化水平。
答案：94岁。拉出教室，痛打一顿。
案例6 天上掉下个林妹妹
熟悉知识：完全平方公式
创新看法：
（余弦定理）
参与课堂教学，师生共做；
参与课后活动、资料收集；
按时完成任务、积极思考。

用2/3的时间去想，用1/3的时间去做。 ——斯泰纳

“探索是数学的生命线”。
——布鲁纳
境界3——积极参与教学活动（落脚点）
做行动的巨人，不做语言的矮子。
中学数学解题研究
从教学内容看，普通学科课有较稳定的教学内容，选择的知识主要是学术理性知识，教材有严密的、科学的编排体系。而活动课、研究课的教学内容、选择的知识主要是现实有用的经验性知识，具有较强的实践性。
从施教方式看，普通学科注重的是学生在教师指导下，以简约的方式学习人类千百年来积累下来的知识精华，并经过反复练习和巩固。它主要采用班级授课制，以课堂教学为主，以教师传授知识为主，教师居于主导地位。而活动课、研究课侧重的是学生个体实践，直接体验和感受，它的教学组织形式灵活多样，不受课堂限制（讲练结合）。可以是班级的，也可以是小组的，个别的和群众性的；可以在课内，也可以在课外，也可以走向社会。它以学生的独立自主活动为主，教师起引导作用。
题记——更高、更快、更强、更准、更简
数学不是音乐，但它能激发和抚慰情怀；

数学不是绘画，但它令人赏心悦目，神情向往；

数学不是诗歌，但它使人动人心弦，沁人心脾；

数学不是体育，但它具有很强的竞技性和技巧性。
英国大文豪萧伯纳曾说：“如果你有一个苹果，我也有一个苹果，我们交换的话，我们都只有一个苹果；如果你有一种思想，我也有一种思想，我们交换的话，我们都有两种思想。”
何为解题策略？
所谓解题策略，是指主体解题时宏观上采取的方针、原则和方案.
从方法论上来分析，方法是有层次性的，解题策略是最高层次的解题方法，是解题中带有普遍适用性（普适性）的方法.
就解题的本原而言，一切策略的基本出发点是在于变换和化归。
变换即把面临的问题转化为一个或几个易于解答的问题，通过对转化后的问题的考察和解决，发现原问题的解题思路，最终达到解决原题的目的。
应用化归方法解题的一般程序
常用的解题策略主要有：
熟悉化策略 简单化策略
直观化策略 特殊化策略
一般化策略 整体化策略
间接化策略
常用的解题途径
常用的解题途径与技巧
数学解题研究—— 数学客观型试题的解题口诀
解题口诀:
1、莫道猜字不禁风，合理预测建奇功
无中生有计无穷，合情猜测理相容
2、有穷无穷紧相连，静点美名天下传
3、代数问题几何攻，数形结合两相通
4、强攻无计弱开路，转换视觉目标注
5、特殊探路把门敲，化繁为简层次高
6、结构类型变换多，辅元引入 唱赞歌
7、概念问题不一般，关键环节定义牵
无招胜有招的境界
讲策略的目的是通过具体例题的解答（招数），体会到解答之外的“剑意”，然后在这个“剑意”的指挥下随心所欲使出来的招数都能克敌制胜。
招数是具体的，“剑意”就是具体例子中所蕴藏的共同点，就是抽象。具体招数是“有招”，抽象的“剑意”是“无招”，通过“有招学无招”，再由无招演变出无穷多招数去解决问题，这就是“无招胜有招”。
策略一 合理预测法：依据题目中的信息特征，通过对试题条件及结论的深刻分析，先进行初步预测结果，再逐步验证，是解决问题的常用思路。
信息特征：数量特征、结构特征、关系特征、
图形特征、命题特征。
1、莫道猜字不禁风，合理预测建奇功
无中生有计无穷，合情猜测理相容
策略一之哲学依据
《道德经》之《道经》第一章 天地之始
道可道，非常道。名可名，非常名。
无，名天地之始也。有，名万物之母。
故常无，欲以观其妙。常有，欲以观其徼。此两者同出而异名，同谓之玄，玄之又玄，众妙之门。
反者，道之动。弱者，道之用。
天下万物生于有，有生于无。
《道德经》之《道经》第四十章 虚中生有
译文：发展是道之运动的内在动力，坚守柔弱是道的运动法则的具体运用。天下万物是从有中产生，有又从无中产生。
无中生有是指依据题目的信息特征，通过对试题条件、结论的深刻分析，先预测其结论具有某种特殊性，再根据研究对象的特征，逐步论证，逐步调整。“无”与“有”是相互矛盾而又相互依存的，“有”蕴涵在“无”中，“无”可以创造出“有”。 “无”孕育着不见踪影又无法寻觅，从整体到分散，再由分散聚为整体，包含一切变化。
无中生有——合情预测
无中生有中的“无”指的是“虚”、“假”，有指的是真和实。“无”是迷惑解题的假象，“有”则是假象掩盖下的真实企图。
无中生有就是虚虚实实，虚实互变，变假为真，变无为有，掌握解题的主动权。
关键在于真假要有变化，虚实必须结合，一假到底，难以解题。
例题讲解
评注 牛顿曾说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”。

合理的思维策略是解题成功的前提，根据研究对象的特征，创造性做出“言之有理”的预测结果，然后再进行“持之有据”的论证。在探索解法的过程中发现了矛盾，就及时修正预测的结果，逐步找出正确的解法。正所谓“无中生有计无穷，合情预测理相容”。
练习
李白诗《黄鹤楼送孟浩然之广陵》
“孤帆远影碧空尽”——朋友的身影渐渐消失在远方，而心中的情谊随着长江水滚滚流淌。帆影尽而情未尽，言有尽而意无穷。
故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州。

孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流。
杜甫《登高》
风急天高猿啸哀，
渚清沙白鸟飞回。  无边落木萧萧下，
不尽长江滚滚来。
“无边落木”与“滚滚长江”
——实无限和潜无限的数学价值
无边落木萧萧下的意境：实无限
从数学的眼光分析，前句展现的是“实无限”，“无边落木”是“无限多的所有落木”，这是一个实无限集合，一览无遗。
后句则体现“潜无限”，江水“滚滚”而来，尽管到此为止，还是有限的，却永远不会停止。
不尽长江滚滚来的意境：潜无限
策略二 极端原理法； 通过最大、最小、最远最近等特殊数量或位置的考察，从而发现问题的解题思路（特殊引路，探求一般证题规律）
2、有穷无穷紧相连，静点美名天下传
1、 以退为进——投石问路
2、动静结合——破除定势
3、李代桃僵——以小换大
2、有穷无穷紧相连，静点美名天下传
2、有穷无穷紧相连，静点美名天下传
观察、分析事物不能采用静止、孤立的思考方法，而应从变化、发展、运动的观点来剖析和判断。正确处理运动和静止的辨证关系，巧妙地将动静有机结合，破除思维定势，将问题的本质展现出来，起到化难为易，快速解题的效果。
动静结合——破除定势
动静之机，阴阳之母。
阴不离阳，阳不离阴。
阴阳夑理，机在其中。
机不可设，设则不中。
哲学依据
所谓以退为进就是把一个比较复杂的问题，“退”到最简单、最原始的状态，找出规律，把简单情形作为考察问题的起点，使问题的解决产生一个质的飞跃，使问题进一步深化。从“退”中逐渐创造出“进”的解题条件，以实现“进”的目的。
以退为进——投石问路
李代桃僵，以小换大
李代桃僵，以小换大——在解题非常困难的情况下，用小的代价，换取大的胜利的策略或谋略。 其精要是隐微曲折，以退为进；要点是趋利避害“两利相权取其重，两害相衡取其轻”，以很小的精力，不为小利影响，要从全局的优劣形势分析对比，争取主动优势。
以退为进——投石问路
例题讲解
动静结合——破除定势
以退为进——投石问路
数学家华罗庚曾经指出：善于“退”，足够地“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方是学好数学的一个诀窍。“退”是将问题由陌生、复杂转化为熟悉、简单的过程，“退”是手段，“进”是目的，“退”为“进”服务，创造解题起点。
评 注
练习——以退为进
王维诗《至使塞上》
萧关逢侯骑，都护在燕然。
单车欲问边，属国过居延。
征蓬出汉塞，归雁入胡天。
大漠孤烟直，长河落日圆。
大漠孤烟直
长河落日圆
诗词中包含了数学的美。“大漠”是一张平面，“孤烟直”是直线的形象，“大漠孤烟直”恰当地反映了直线与平面垂直的美，“长河落日圆”正是直线与圆位置 关系的生动画面。
大漠孤烟直，长河落日圆
策略三 合理构造法；通过观察给定条件或结论的结构特征，构造解题模型，是竞赛解题的常用手段，通常合理构造可使问题巧妙解决。
合理构造法分成两种类型： 1、模型性构造：构造图形、函数、方程、数列、不等式、复数、向量等模型； 2、技巧性构造：构造对偶式、“抽屉”、算法。
3、代数问题几何攻，数形结合两相通
1、构造图形（几何）模型（数形结合思想）
华罗庚先生对数形结合的论述：

数与形本是相依， 焉能分作两边飞。
数缺形时少直觉， 形少数时难入微。
数形结合百般好， 割裂分家万事休。
数形结合是极富特点的信息转换，由代数信息向图形信息转换 。
借尸还魂，东山再起

借刀杀人，弥己不足
借尸还魂，东山再起——（以形助数，数上构形）”借尸”的目的在于“还魂”，“借”包含着积极的主动性。寻找可借之“尸”，创造可以借的机会，变被动为主动，从而取胜的目的。
借尸还魂，东山再起
借刀杀人，弥己不足
“借刀杀人，弥己不足”——此计是根据《周易》六十四卦中《损》“损下益上，其通上行”而得，“损”和“益”，不可截然分开，二者相辅相成，充满辩证思想。
“借刀杀人”的内容包括：“借形”、“借数”、“借模式”、“借模型”等方面。
“借刀杀人”，巧在一个“借”字，巧妙利用它物，借它法解决问题。
乾坤大挪移：由此及彼，应用这一领域的方法解决另一领域的问题。
乾坤大挪移：代数信息——几何信息
例题讲解
数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”数形结合的思想方法是极富创造的信息转化，对数学思维的启发，对思维的集散，简化证明，起到启美的作用。
评 注
练习
2、构造方程模型
练习
诗词欣赏
王维诗《山居秋暝》

空山新雨后，天气晚来秋。

明月松间照，清泉石上流。

竹喧归浣女，莲动下渔舟。

随意春芳歇，王孙自可留。
数学的对称与文学的对仗
明——清（形容词）
月——泉（名词，自然景物）
松——石（名词，自然景物）
间——上（介词）
照——流（动词）
对称思想还表现在日常生活中，如阴阳、男女、奇偶和正负。
太极阴阳图
武学：攻 防
进攻中有防守，防守中有进攻
心理学：眼睛长在别人心里（心理战）
武道：阴 阳 此长彼消 中庸之道
阳：热情 刚毅 正直 友谊 爱情 太阳 勇敢
阴：寒冷 阴柔 怯懦 孤独 悲伤 月亮
教学结合，师生共做
以柔克刚，刚柔相济
数学：道
数学：教 学
军事学：声东击西 以静制动，动中窥静
结构对称
数学观念：合作交流
英国大文豪萧伯纳曾说：“如果你有一个苹果，我也有一个苹果，我们交换的话，我们都只有一个苹果；如果你有一种思想，我也有一种思想，我们交换的话，我们都有两种思想。”
数学思想：轮换对称
3、构造对偶式
评注
构造对偶式是利用事物对立和统一的双重性，寻找衔接点，架设解题通道，使问题获解。构造对偶式的方法包括了许多巧妙、机智；过程简捷、优美，细细品味，享受快乐，惊叹数学的博大精深，激发对数学思维的热爱和对数学美的感知。
练习
4、构造函数
抓住函数结构特征，构造函数解题模型；
构造函数解题模型，利用函数性质解题。
函数思想的基本内涵：
例题讲解
练习
5、构造数列、递推式
抛砖引玉，利而诱之

打草惊蛇，诱敌暴露
打草惊蛇，诱敌暴露——“草”与“蛇”是两个性质不同却相互联系的两个事物。“草”暴露于外，“蛇”藏于“草”中。“草”可以迅速向“蛇”传递信息。
发现隐藏规律的一种谋略，应事先研究、分析、预测，即尝试——观察——归纳——猜想——证明。
先谋后事，要求事先认真做好仔细的研究、分析，谋划好策略，在策略谋定之后，果断实施，在实施中不断完善。
抛砖引玉，利而诱之——“砖”是诱饵
例题讲解
例题讲解
例6 集合{1,2,…n}的子集中，如果不含相邻的自然数，则称为“好子集”，则好子集的个数为 。

例7 已知n位数的各数字只能是{1,2,3,4}中的元素，（可以重复或不选）则含有偶数（0为偶数）个1的n位数个数是 。
练习
题目 用1,2,3三个数字构成n位数，但不允许有两个紧挨着的1出现在n位数中（例如当n=5时，31213是允许的，11223,31112是不允许的）则这样的n位数有 个。
题目 一个上n个阶梯的楼梯，如果只允许一步跨一个或两个阶梯，则有 种不同的上楼梯方式。
6、构造抽屉
解题关键：恰当地构造抽屉
构造方法：
1、构造图形，分割图形法；
2、利用自然数分类法；
3、利用整数的奇偶性；
4、利用集合分类法；
5、染色法
（1）构造图形，分割图形法
（2）利用自然数分类法构造抽屉：数的表示法；模剩余类
例1．从1-100的自然数中，任意取出51个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。
例2．在任意给出的100个整数中，都可以找出若干个数来（可以是一个数），它们的和可被100整除。
（3）利用集合分类法构造抽屉
练习
7、合理构造——构造不定方程
解题关键：设置未知，建立方程
例题讲解
例1、8个女孩和25个男孩围成一个圈，任意两个女孩之间至少站2名男孩，则不同的排法有 种。
例3、将10个相同的小球装入编号为1,2,3的盒子内，要求每个盒子的小球的个数不小于盒子的编号数，则这样的装法有（ ）种。
A、9 B、12 C、15 D、18
例4、将2012个相同的小球装入10个不同的盒子内，要求第i个盒子的小球的个数至少有i个球，则这样的装法有 种。
例5、白子5个、黑子10个排列成一横行，要求每个白子的右邻必须是黑子，则共有 种不同的排法。
例6、桌子上有6个空钱包，将12枚硬币放入这些钱包中，使得最多剩下一个是空的，则有 种不同的放法。
横看成岭侧成峰，远近高低各不同。
不识庐山真面目，只缘身在此山中。
《题西林壁》
策略四 变换视角；在解题过程中，当思维受到阻碍时，不妨转换到另一个角度、方法、层面来思考问题。
4、强攻无计弱开路，转换视觉目标注
以“迂”为“直”——变换视觉
明修栈道，暗渡陈仓
反客为主，循序渐进
《道德经》第五十七章 以正治国

以正治国，以奇用兵，以无事取天下。
转变视觉之——哲学依据
《孙子兵法》之《势篇》：“凡战者，以正合，以奇胜。故善出奇者，无穷如天地，不竭如江河。终而复始，日月是也；死而复生，四时是也。声不过五，五声之变，不可胜听也；色不过五，五色之变，不可胜观也；味不过五，五声之变，不可胜尝也。战势不过奇正，奇正之变，不可胜穷也。
以“迂”为“直”——变换视觉
在解题过程中，当正常的解题思维受到阻碍时，不妨从不同的角度和不同的途径去寻找不同的解法，变换视觉，以“迂”为“直”，正难则反，将问题变成可直接解答的，收到出奇制胜的效果，增加知识的纵横面和深广度，又可挖掘知识的内在联系，达到扩大视野和锻炼思维的作用。
反客为主，是处于被主导地位的客，夺取主导地位，代替原来的主，并把原来的主放在客的位置上。反客为主最重要的是能掌握关键性的因素，以积极取代消极，化被动为主动，将复杂、繁琐的运算简单化，进而得到问题求解的目的和效果。
反客为主，循序渐进
明修栈道，暗渡陈仓
明修栈道，暗渡陈仓——采取正面佯攻，利用固守之机采取行动，乘虚而入，避开正面交锋，转化问题。以明掩暗，明暗相生。
例题讲解
例9 在锐角三角形ABC中，求证：
sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.
恰当分解结论
有些数学题，解题的主要困难来自于结论的抽象概括、难以直接和条件联系起来．这时，不妨猜想一下，能否把结论分解为几个比较简单的部分，以便各个击破，最终解决原问题．这也是化归思想中的分割法（分解法）的主要精神．
分割（分解法）化归方法是“化大为小，化繁为简”转化思想的体现，其基本模式是：
思路1: 如图,利用正弦定理
依次证明sinA>cosB，
sinB>cosC，sinC>cosA.
思路2:
利用和差化积依次证明：
sinA+sinB>cosA+cosB，
sinB+sinC>cosB+cosC，
sinC+sinA>cosC+cosA .
“奇出于正，无正不能出奇”，正是常法，奇是变法，奇效出于常规。注重信息的转化，变换思维方向，多角度思考问题，进行独创性地组合，优化解题技巧，展现辨证思维的底蕴和数学智慧的魅力。
评注
练习
策略五 取特殊值法；通过取特殊值可以排除某些选项，简化推理及运算过程，利用一个恰当的特殊值可以取到事半功倍的效果。
对于一些数学问题，我们往往也可以用此思想，从特殊的情况出发,取特殊值探讨出问题的结论,推广到任意情况下，从而达到训练思维的目的。
5、特殊探路把门敲，化繁为简层次高
特殊化的形式
1、变数字母——数值化；

2、一般图形——“正”规化；

3、特殊数值——代入化（特殊数值、端点值、极限值）。
例题讲解
练 习
策略六 巧设辅助元（换元法）；根据题目条件与结论的结构和内在特征，恰当地引进辅助元素，往往可以化繁为简，化难为易。
6、结构类型变换多，辅元引入唱赞歌
“围魏救赵，避虚击实”

“金蝉脱壳，完璧归赵”
《孙子兵法.虚实篇》：“兵之法，避虚而击实。”
“围魏救赵，避虚击实”是一种简接方法，直接解答问题比较困难，采取代换、转化的策略，抓住问题的关键，化难为易，实现问题的解决。“围”是手段，“救”是目的。“围魏救赵”之计的核心在于“避实击虚，化难为易”，关键在于避开困难，抓住和捕捉题目的信息特征，从侧面出击或绕道进取。
围魏救赵，避虚击实
“金蝉脱壳，完璧归赵”的要点是存形、完势；关键在于一个“脱”字，“脱”不是消极思考，盲目丢弃，而是存其形式，抽其内容，保持问题的不变性。
金蝉脱壳，完璧归赵
使用此策略应具备一定的条件，需要有转