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奥赛教练员培训班－－光学
论题一、光的传播
论题二、费马原理及其运用
论题三、成像问题
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折射率 n 与波长有关:
正常色散曲线
入射线、反射线、法线三者共面（入射面）
反射定律和折射定律
论题一、光的传播
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正常色散曲线
折射率 n 与波长有关: 色散现象
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光在非均匀介质中的传播
光线在非均匀介质中的传播可以看成是连续折射的过程，逐点运用折射定律可以追踪光线的轨迹。
光在光纤中的传输
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O
例1、有一块透明光学材料，由折射率略有不同的许多相互平行的，厚度 d=0.1mm 的薄层紧密堆积而成，若最下面一层的折射率为n0，从它往上数第m 层的折射率为 ，其中 和 ，有一光线以
入射角射向O点，求此光线在该材料内能到达的最大深度。
n0
n2
n1
n3
解：
分析---
逐次折射，折射率递减
6
O
n0
n2
n1
n3
d=0.1mm
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例2： 一块平行平板，其厚度为 d，光线 从O点垂直入射，若平板折射率按 变化，q 为常数，并在 A 点以 a 角出射，求 光线轨迹、A 点的位置和平板厚度。
A
a
O
X
Y
d
解：
折射定律决定光线在每一点的方向，从而确定光线的轨迹；
介质折射率连续变化，可将平板沿 X 方向切成一系列薄片，对每层薄片应用折射定律。
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A
a
O
X
Y
d
bx
P :(x, y)
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例3、光从空气折射进透明介质，入射点折射率为n0，入射角近似 p/2，介质折射率与介质高度 y 有关，当折射光线的轨迹是抛物线 y=ax2 时，求折射率与高度 y 的关系。
解：
x
y
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例4、 一个透明光学材料，折射率在 y 方向向两侧对称地降低： ，在 xoy 平面内有一光线以入射角qo=30o 射向O点，求此光线能到达离 X 轴最远的距离。
O
X
Y
解:
q0
从上题可知，光线进入折射率非均匀介质后弯曲，而且是倾向于向折射率大的方向偏折。
从图可知：光线 X 轴最远点
为切线在水平方向时的切点处。
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光程：折射率 n 与路程 S 的积
从点到点所需时间：
论题二、费马原理及其运用
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光的直线传播定律 ---- 光在均匀媒质中沿直线传播
光程取极小值:
A
B
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透镜成像时，物点到像点的光程取恒定值。
P
P’
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n2
S
n1
S ： n1与n2的分界面；
A
B
例4、证明光从A点传播到B点遵从折射定律
证明：
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P
n2
S
n1
A
B
O
O’
a
P：(x,y)
X
Y
A点传播到B点经历的光程 D：
h1
h2
16
P
n2
S
n1
A
B
O
O’
a
P：(x,y)
X
Y
h1
h2
入射光线与折射光线共面
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P
n2
S
n1
A
B
O
O’
a
P:(x,0)
X
Y
h1
h2
代入
i1
i2
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费马原理在透镜成像中的运用
平行光垂直面上各点A、B、C到达焦点F’的光程相等
A、B、C分别到达P、Q、R的光程也彼此相等
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例5、设曲面 S 是有曲线 CC’ 绕 X 轴旋转而成的。曲面两侧的折射率分别为 n 和 n’，如果所有平行于X 轴的平行光线经曲面折射后都相交于X 轴上一点 F，则曲面成为无像差曲面，已知OF = f，求曲线所满足的方程。如果 n’ = - n，结果如何？
C
O
X
Y
解：
F
f
A
B
用等光程原理求解本题更简单
n
n’
C’
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选取一条入射光线AB
和一条沿 X 轴的入射光线
C
X
Y
F
f
A
B:(x, y)
n
n’
C’
O
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例6、有一折射率n=1.5的平凹透镜，半径R=2cm，边缘厚度d0=0.5cm，如果垂直入射于平面的平行光束经折射后，折射光线的延长线交于F，其中OF= f =20cm，求
（1）凹面的形状；
（2）平凹透镜中心处的厚度值。
R
f
F
O
解：
d0
根据费马原理，所有平行光线经过透镜后到达F点的等效光程应该相等
任选一条光线和光轴上的光线作比较，两条光线到达F点光程应相等
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R
f
F
O
d0
（1）凹面的形状
n
建立坐标系，任选一条平行入射光线1，其在凹面上的交点P，F为圆心PF为半径的圆弧交光轴于B
求凹面上一点 P的坐标（x, y）
计算光线1和光轴上的光线2的光程，起点分别取C、O，终点F
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R
f
F
O
d0
n
X
Y
A
P (x, y)
C
1
2
1的光程：
2的光程：
其中：
B
旋转双曲面
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n=1.5，R=2cm，d0=0.5cm，OF= f =20cm
（2）求透镜中心处的厚度值d :
R
f
F
O
d0
n
X
Y
A
P (x, y)
C
1
2
B
25
休息
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几何光学的 近轴成像
光轴---- 光学系统的对称轴
近轴光线----
与光轴夹角较小，并靠近光轴的光线
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符号规则
实正虚负规则；
笛卡尔坐标规则。
-s
s’
r
n
n’
P
P’
O
C
图示：单个折射球面成像系统的笛卡尔符号规则
C:球心，r:球面半径，n、n’：球面两侧的折射率
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单个球面的折射成像公式
-s
s’
r
n
n’
P
P’
O
C
----- 阿贝不变式
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r
n
n’
O
C
-f
F
f’
F’
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反射成像公式：
-i’
i
n
r
单个球面的反射成像
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-s
s’
n
n’
P
P’
O
F
F’
-f
f’
y
-y’
成像的线放大率（横向放大率）
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成像公式的应用---逐次成像法
求解时，注意各物理量的相对关系。
实际成像系统通常由多个折射球面级联构成
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例7、一个直径为D得玻璃球（折射率为nL）球内有两个小气泡，看起来一个恰好在球心，另一个在球表面和球心的中间，求两气泡的实际位置。
解：
O
C
通过阿贝不变式，从像点的位置求物点的位置
物点在球心
像点在球心和球面中间：
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例8、一玻璃台板厚度为 d，折射率为 n，看到压在台板下的报纸上的字相对于真实位置要上移一个距离 l，求 l。
S
S’
n
d
l
O1
O2
解：
例如 n=1.5，l= d/3
-s
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例9、两个相同的平凸透镜（折射率nL和球面半径R 都相同），各有一面镀银，一个镀在凸面，一个镀在平面，当光由各非镀银面入射时，求二者焦距之比（忽略透镜厚度）
解：
分析－－
假设平行光入射，求出最后的像点位置，即得焦距
光线从左侧入射，经左侧表面折射、右侧表面反射、左侧表面折射三次过程
L1
L2
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L1
L2
L1－－
L2 －－
左侧表面折射：入射平行光经折射后不改变方向
左侧表面折射：
左侧表面折射： s= -∞, n=1, n’= nL, r =R
左侧表面折射：
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例10、图示双凸薄透镜的两个球面半径皆为R，透镜玻璃的折射率为nL，透镜后表面镀成反射镜，试问，物放于何处，可使反射回来的像与物处于同一竖直平面内。
物
像
解：
解法一： 三次成像 --- 前表面折射＋后表面反射＋前表面折射
（设物的坐标为s）
前表面折射成像：
后表面反射成像：
-s
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物
像
后表面反射成像：r =-R
前表面折射成像：
像与物处于同一竖直平面内
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例11、一个放在空气中的玻璃棒，折射率n0=1.5，中心轴长 L=45cm，一端是半径为R1=10cm的凸球面。问：
（1）要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远的物成像于主光轴上无限远处的望远系统），取中心轴线为主光轴，玻璃棒的另一端应磨成什么样的球面？
（2）对于这个玻璃棒射出的平行光束与主光轴成小角度f2，求f2/f1（此比值等于该玻璃棒望远系统的角放大率）
解：（1）
R1=10cm
O1
F1
C1
n0=1.5
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（1）
R1=10cm
O1
F1
C1
n0=1.5
O2
L=45cm
(F2)
无限远的物成像于无限远---望远系统
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（2）求入射和出射平行光线与主光轴夹角的比 f2/f1
|f1’|=30cm
|f2|=15cm
F1
C1
(F2)
C2
f1
R1=10cm
C1
C2
R1=5cm
f2
F1
(F2)
通过球心的光线，在球面上折射不改变方向
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谢谢！