动量与动量守恒
动量定理之应用
(1)遵从矢量性与独立性原理
(2)合理与必要的近似
(3)尽量取大系统与整过程
动量定理应用示例1
如图所示，顶角为2θ、内壁光滑的圆锥体倒立竖直固定在P点，中心轴PO位于竖直方向，一质量为m的质点以角速度ω绕竖直轴沿圆锥内壁做匀速圆周运动，已知a、b两点为质点m运动所通过的圆周一直径上的两点，求质点m从a点经半周运动到b点，圆锥体内壁对质点施加的弹力的冲量．
分析受力：
运动半周动量变化量为
其中轨道半径r由
合外力冲量为
重力冲量为
IN
弹力冲量为
动量定理应用示例2
如图所示，质量为M的小车在光滑水平面上以v0向左匀速运动，一质量为m的小球从高h处自由下落，与小车碰撞后，反弹上升的高度仍为h．设M>>m，碰撞时弹力FN>>mg，球与车之间的动摩擦因数为μ，则小球弹起后的水平速度为
A. B. 0 C. D. –v0
小球与车板相互作用，小球动量发生变化：水平方向动量从0→mvx，竖直方向动量大小不变，方向反向，对小球分别在竖直、水平方向运用动量定理。
设小球与车板相互作用时间t，小球碰板前速度vy，由
由动量定理
Ff
FN
动量定理应用示例3
如图所示，滑块A和B用轻线连接在一起后放在水平桌面上，水平恒力F作用在B上，使A、B一起由静止开始沿水平桌面滑动．已知滑块A、B与水平桌面之间的动摩擦因数均为μ．力F作用时间t后A、B连线断开，此后力F仍作用于B．试求滑块A刚刚停住时，滑块B的速度大小？两滑块质量分别为mA、mB．
设绳断时A、B速度为V，绳断后A运动时间为T;则在t+T时间内对系统有
而在t时间内对系统有
其中
如图所示，椭圆规的尺AB质量为2m，曲柄OC质量为m，而套管A、B质量均为M．已知OC=AC=CB=l；曲柄和尺的重心分别在其中点上；曲柄绕O轴转动的角速度ω为常量；开始时曲柄水平向右，求：曲柄转成竖直向上过程中，外力对系统施加的平均冲量．
专题9-例1
确定曲柄m、尺2m、套管A、B质心的速度，确定质点系的动量变化，对系统运用动量定理
曲柄、尺的质心及套管A、B的速度相关关系如示
曲柄质心速度
尺质心速度
套管A速度
套管B速度
动量
动量
系统动量大小不变为
由动量定理，在从水平变成竖直过程中
如图所示，光滑的水平面上停着一只木球和载人小车，木球质量为m，人和车总质量为M，已知M∶m=16∶1，人以速率v沿水平面将木球推向正前方的固定挡板，木球被挡板弹回之后，人接住球后再以同样的对地速率将球推向挡板．设木球与挡板相碰时无动能损失．求人经过几次推木球后，再也不能接住木球？
专题9-例2
对木球与载人小车这个系统，动量从初时的0，到最终末动量至少为（M+m）v，是墙对木球冲量作用的结果：
经9次推木球后，再也接不住木球
一根均匀的不可伸缩的软缆绳全长为l、质量为M．开始时，绳的两端都固定在邻近的挂钩上，自由地悬着，如图（甲）．某时刻绳的一端松开了，缆绳开始下落，如图（乙），每个挂钩可承受的最大负荷为FN（大于缆绳的重力Mg），为使缆绳在下落时，其上端不会把挂钩拉断，Mg与FN必须满足什么条件？假定下落时，缆绳每个部分在达到相应的最终位置之后就都停止不动．
专题9-例3
甲
乙
A
B
C
松开左缆绳,自由下落h时，左侧绳速度为
挂钩所受的力由两部分组成：一是承静止悬挂在钩下的那部分缆绳的重；一是受紧接着落向静止部分最下端的绳元段的冲力F，挂钩不被拉断，这两部分力的总和不得超过钩的最大负荷
研究左边绳处于最下端的极小段绳元Δx:受右边静止绳作用,使之速度在极短时间Δt内减为0,由动量定理
因时间极短内,忽略重力冲量,元段的平均速度取
当左边绳全部落下并伸下时,h=l
挂钩不断的条件是
一根铁链，平放在桌面上，铁链每单位长度的质量为λ．现用手提起链的一端，使之以速度v竖直地匀速上升，试求在从一端离地开始到全链恰离地，手的拉力的冲量，链条总长为L．
小试身手题3
图示是链的一微元段离地的情景，该段微元长
该段微元质量
设该元段从静止到被提起历时Δt，那么竖直上升部分长x的链条在手的拉力F、重力的冲量作用下，发生了末段微元动量的变化，由动量定理:
力随时间线性变化，故可用算术平均力求整个过程手拉力F的总冲量：
如图所示，水车有一孔口，水自孔口射出．已知水面距孔口高h，孔口截面积为a，水的密度为ρ．若不计水车与地面的摩擦，求水车加于墙壁的水平压力．
小试身手题4
h
先求水从孔口射出的速度v
对处于孔口的一片水由动能定理:
对整个水车，水平方向受墙壁的压力F，在时间Δt内有质量为
的水获得速度
由动量定理:
水车加于墙壁的压力是该力的反作用力 ,大小为
逆风行船问题: 如图,帆船在逆风的情况下仍能只依靠风力破浪航行．设风向从B向A，．位于A点处的帆船要想在静水中最后驶达目标B点，应如何操纵帆船？要说明风对船帆的作用力是如何使船逆风前进达到目标的．
专题9-例4
设计如示航线
风向
F风对帆
F1
F2
航线
船帆
航向与风向成θ角
风吹到帆面，与帆面发生弹性碰撞后以同样的反射角折回．风与帆的碰撞，对帆面施加了一个冲量，使船受到了一个方向与帆面垂直的压力F，这个力沿船身方向及垂直于船身方向的分力F1和F2，F2正是船沿航线前进的动力，F1则有使船侧向漂移的作用，可以认为被水对船的横向阻力平衡．
风帆与船行方向成φ角
只要适时地改变船身走向，同时调整帆面的方位，船就可以依靠风力沿锯齿形航线从A驶向B．
续解
Δmv
设帆面受风面积为S，空气密度为ρ，风速为v，在Δt时间内到达帆面并被反弹的空气质量是
定量探讨
F2
F1
F风对帆
Δmv
Δp
Δm
反弹空气动量变化量
由动量定理,帆(船)对风的冲力
帆(船)受到的前进动力F2为
将风即运动的空气与帆面的碰撞简化为弹性碰撞!
船沿航线方向的动力大小与扬帆方向有关，帆面与船行方向的夹角φ适当，可使船获得尽大的动力．
设风筝面与水平成θ角，风对风筝的冲力为F，其中作为风筝升力的分量为Fy，风筝面积为S，右图给出各矢量间关系
放风筝时，风沿水平方向吹来，要使风筝得到最大上升力，求风筝平面与水平面的夹角．设风被风筝面反射后的方向遵守反射定律．
小试身手题2
mv
mΔv
F
Fy
θ
mv
风筝截面
根据基本不等式性质
由动量定理：
动量守恒常用模型
※系统总动量为零
※平均动量守恒
在系统各部分相互作用过程的各瞬间，总有
※常以位移表示速度
※须更多关注“同一性”与“同时性”
“同一性”:取同一惯性参考系描述m1、m2的动量
“同时性”:同一时段系统的总动量守恒
O
一条质量为M、长为L的小船静止在平静的水面上，一个质量为m的人站立在船头．如果不计水对船运动的阻力，那么当人从船头向右走到船尾的时候，船的位移有多大？
设船M对地位移为x，以向右方向为正，用位移表速度，由
“－”表示船的位移方向向左
人对船的位移
向右取正
船对地的位移
±未知待求
运算法则
反冲模型示例1
如图所示，质量为M、半径为R的光滑圆环静止在光滑的水平面上，有一质量为m的小滑块从与O等高处开始无初速下滑，当到达最低点时，圆环产生的位移大小为________．
设圆环位移大小为x，并以向左为正:
反冲模型示例2
“－”表示环位移方向向右
气球质量为M，下面拖一条质量不计的软梯，质量为m的人站在软梯上端距地面高为H，气球保持静止状态，求⑴人能安全到达地面，软梯的最小长度；⑵若软梯长为H，则人从软梯下端到上端时距地面多高？
H
L-汽球相对人上升高度即绳梯至少长度
⑴以向下为正，用位移表速度
H
人上升高度h
⑵以向上为正，用位移表速度，
反冲模型示例3
如图所示浮动起重机（浮吊）从岸上吊起m=2 t的重物．开始时起重杆OA与竖直方向成60°角，当转到杆与竖直成30°角时，求起重机的沿水平方向的位移．设起重机质量为M=20 t，起重杆长l=8 m，水的阻力与杆重均不计．
专题9-例5
水平方向动量守恒，设右为正，起重机位移x
重物对起重机水平位移
设右为正，梯形木块位移x，系统水平方向动量守恒：
如图所示，三个重物m1=20 kg， m2=15 kg，m3=10 kg，直角梯形物块M=100 kg．三重物由一绕过两个定滑轮P和Q的绳子相连．当重物m1下降时，重物m2在梯形物块的上面向右移动，而重物m3则沿斜面上升．如忽略一切摩擦和绳子质量，求当重物m1下降1m时，梯形物块的位移．
小试身手题1
“子弹打木块”问题的特征与规律
典型情景：
-
[“一对力的功”用其中一个力的大小与两物体相对位移的乘积来计算]
模型特征：由两个物体组成的系统，所受合外力为零而相互作用力为一对恒力．
规律种种：
⑴动力学规律 两物体的加速度大小与质量成反比．
⑵运动学规律 两个做匀变速运动物体的追及问题或相对运动问题．
⑶动量规律 系统的总动量守恒．
⑷能量规律 力对“子弹”做的功等于“子弹”动能的增量：
力对“木块”做功等于“木块”动能增量：
一对力的功等于系统动能增量：
图象1
图象2
图象描述
“子弹”穿出”木块”
“子弹”迎击”木块”未穿出
vm
vmt
vMt
d
t0
vm
vM
d
图象描述
“子弹”未穿出”木块”
“子弹”与”木块”间作用一对恒力
vm
≤d
t0
vm
Δsm
这是典型的“子弹打木块”模型：A、B间相互作用着一对等大、反向的摩擦力Ff=μMg而系统不受外力，它的变化在于过程中发生一系统内部瞬时的相互碰撞．小木块B与挡板碰撞前、后及整个过程均遵从动量守恒规律；A、B两者加速度大小与质量成反比；碰撞前木块“追”木板，碰撞后则成木板“追”木块 .
L
B
A
v0
系统运动v-t图
t1
t1+ t2
v0
B
A
L
A
B
L
由系统全过程动量守恒
续解
由图象求出B与挡板碰后时间t2:
查阅
碰后板A的速度VA:
v-t图
由动能定理,摩擦力在碰后过程中对木板A做的功
负功
B能有向左运动的阶段而又刚好不落下A板应满足两个条件：
一是B与挡板碰后B速度为负:
一是一对摩擦力在2L的相对位移上做的功不大于系统动能的增量，即 :
木块B可在与挡板碰撞后的一段时间内相对地面向左运动并刚好相对静止在板A的左端
推证两光滑物体发生弹性碰撞时，接近速度与分离速度大小相等，方向遵守“光反射定律”，即入射角等于反射角.
专题9-例7
如图，设小球与平板均光滑，小球与平板发生完全弹性碰撞，木板质量为M，小球质量为m，沿板的法向与切向建立坐标系，设碰撞前，板的速度为V，球的速度为v，碰撞后，分别变为
∵两者发生完全弹性碰撞，系统同时满足动量与动能守恒：
两式相除
球与木板的接近速度与分离速度大小相等
方向:
弹弓效应
如图，质量为m的小球放在质量为M的大球顶上，从高h处释放，紧挨着落下，撞击地面后跳起．所有的碰撞都是完全弹性碰撞，且都发生在竖直轴上．⑴小球弹起可能达到的最大高度？⑵如在碰撞后，物体M处于平衡，则质量之比应为多少？在此情况下，物体m升起的高度为多少？
专题9-例8
大球刚触地时两球速度v均为
，
大球与地完全弹性碰撞,速度变为
向下
向上
相对大球,小球以2v速度向下接近大球,完全弹性碰撞后以2v速度向上与大球分离!
小球与大球碰撞后对地速度变为
向上
对小球,由机械能守恒
⑵若碰后大球处于平衡, 则
如图所示，AB部分是一光滑水平面，BC部分是倾角为θ（０＜θ≤90 °）的光滑斜面（θ＝90°时为竖直面）．一条伸直的、 长为l的匀质光滑柔软细绳绝大部分与Ｂ棱垂直地静止在AB面上，只是其右端有极小部分处在BC面上，于是绳便开始沿ABC下滑. ⑴取θ＝90°，试定性分析细绳能否一直贴着ABC下滑直至绳左端到达Ｂ？⑵事实上，对所给的角度范围（０＜θ≤90 °）， 细绳左端到Ｂ棱尚有一定距离时，细绳便会出现脱离ABC约束（即不全部紧贴ABC）的现象．试求该距离x．
小试身手题5
A
B
C
⑴θ＝90°
x
细绳贴着ABC下滑，到达B处的绳元水平速度越来越大，这需要有更大的向左的力使绳元的水平动量减为零，但事实上尚在水平面上的绳段对到达B处的绳元向左的拉力由力的加速度分配法
可知随着下落段x增大,FT先增大后减小!
细绳做不到一直贴着ABC下滑直至绳左端到达B
C
续解
A
B
θ
C
⑵设有x长的一段绳滑至斜面时绳与棱B间恰无作用，此时绳的速度设为v，则由机械能守恒：
x
考察处在B处的微元绳段Δm受力:
微元段Δm在水平冲量作用下水平动量由Δmv变为Δmvcosθ
由动量定理
其中
即细绳左端到B棱尚有一半绳长的距离时，细绳便会出现不全部紧贴ABC的现象 !
质量为0.1 kg的皮球，从某一高度自由下落到水平地板上，皮球与地板碰一次，上升的高度总等于前一次的0.64倍．如果某一次皮球上升最大高度为1.25 m时拍一下皮球，给它一个竖直向下的冲力，作用时间为0.1 s， 使皮球与地板碰后跳回前一次高度．求这个冲力多大？
小试身手题6
球与地碰撞恢复系数
某一次，皮球获得的初动能
落地时速度由
起跳时速度
代入数据得
一袋面粉沿着与水平面倾斜成角度α＝60°的光滑斜板上，从高H处无初速度地滑下来，落到水平地板上．袋与地板之间的动摩擦因数μ＝0. 7，试问袋停在何处？如果H＝2 m,α＝45°，μ=0.5，袋又将停在何处？
小试身手题7
本题要特别关注从斜板到水平地板的拐点，袋的动量的变化及其所受的摩擦力与支持力冲量情况．
在μ=0.7 α= 60°情况下
到水平板时两个方向动量减为零所需冲量可由动量定理确定：
即水平分量先减为零!
∴袋就停在斜面底端
在μ=0.5 α= 45°情况下
竖直分量先减为零!
续解
竖直分量减为0时,水平动量设为px′,则由动量定理
袋将离开斜板底端，在水平地板滑行S后停止，由动能定理
袋将停在水平地板上距斜板底端0.5m处
一球自高度为h的塔顶自由下落，同时，另一完全相同的球以速度 自塔底竖直上抛，并与下落的球发生正碰．
若两球碰撞的恢复系数为e，求下落的球将回跃到距塔顶多高处？
小试身手题8
两球相对速度（亦即接近速度）
到两球相遇历时
此时两球速率相同
上球下落了
由牛顿碰撞定律
碰后两球分离速度
∵两球完全相同
设回跳高度距塔顶H,由机械能守恒
如图所示，定滑轮两边分别悬挂质量是2m和m的重物A和B，从静止开始运动3秒后，A将触地(无反跳)．试求从A第一次触地后：⑴经过多少时间，A将第二次触地？⑵经过多少时间系统停止运动？
小试身手题9
⑴整个系统一起运动时
初时质量为2m的物块A离地高度
A着地后，绳松，B以初速度 v1=at1=10m/s竖直上抛
经
落回原处并将绳拉紧!
此瞬时A、B相互作用，B被拉离地面，由动量守恒
此后，两者以v2为初速度、a=g/3做匀变速运动（先反时针匀减速、后顺时针匀加速），回到初位置即A第二次触地须经时间
则A的第一、二次着地总共相隔
续解
⑵第二次着地时两物块的速度
A再次被拉离地面时两物块的速度由
A着地后，绳松，B以初速度 v1/3竖直上抛,
经
落回原处
并将绳拉紧!
此后，两者以v3为初速度、a=g/3做匀变速运动（先反时针匀减速、后顺时针匀加速），A第三次触地须经时间
则A的第二、三次着地总共相隔
以此类推，到第n次着地时
自开始运动到最终停止共用
查阅
如图所示，质量为m1、m2的物体，通过轻绳挂在双斜面的两端．斜面的质量为m，与水平面的夹角为α1和α2，整个系统起初静止，求放开后斜面的加速度和物体的加速度．斜面保持静止的条件是什么？忽略所有摩擦．
小试身手题10
设斜面加速度为a，而物体对斜面的加速度为a0
X
在所设坐标方向上
由系统水平方向动量守恒
对m1、m2分别列出动力学方程
由上三式解得
续解
当a=0，即
斜面静止！
查阅
小滑块A位于光滑的水平桌面上，小滑块B处在位于桌面上的光滑小槽中，两滑块的质量都是m，并用长L、不可伸长、无弹性的轻绳相连，如图．开始时A、B间的距离为L/2，A、B间连线与小槽垂直．今给滑块A一冲击，使其获得平行于槽的速度v0，求滑块B开始运动时的速度．
小试身手题11
v0
B
A
当轻绳刚拉直时滑块A速度由v0变为vA，速度增量沿绳方向，滑块B速度设为vB，沿槽；各速度矢量间关系如图, 其中vn表示A对B的转动速度．
沿槽方向系统动量守恒：
又由图示矢量几何关系有 ：
如图所示，将一边长为l、质量为M的正方形平板放在劲度系数为k的轻弹簧上，另有一质量为m（m＜M）的小球放在一光滑桌面上，桌面离平板的高度为h．如果将小球以水平速度v0抛出桌面后恰与平板在中点O处做完全弹性碰撞，求: ⑴小球的水平初速度v0应是多大？ ⑵弹簧的最大压缩量是多大？
小试身手题12
M
k
O
m
h
⑴设球对板的入射速度v方向与竖直成θ，大小即平抛运动末速度
平抛运动初速度
⑵根据弹性碰撞性质，设球与板碰后速度变为v′，板速度为V ，球离开板时对板的速度大小为v，方向遵守反射定律，矢量关系如图示：
由图示关系
由动能守恒
此后板在运动中机械能守恒，可得板向下运动
则弹簧总压缩量为
物体以速度v0=10m/s从地面竖直上抛，落地时速度vt=9 m/s，若运动中所受阻力与速度成正比，即f=kmv，m为物体的质量，求物体在空中运动时间及系数k．
小试身手题13
本题通过元过程的动量定理,用微元法求得终解!
本题研究过程中有重力冲量与阻力冲量,其中阻力冲量为一随时间按指数规律变化的力!
设上升时间为T,取上升过程中的某一元过程：该过程小球上升了T/n(n→ ∞)时间，速度从vi减少为vi+1，各元过程中的阻力可视为不变为
合外力
根据动量定理，对该元过程有
即
对该式变形有
在各相同的上升高时间T/n微元中，合外力大小成等比数列递减、因而动量的增量是成等比数列递减的，其公比为
续解
对上式两边取极限:
上升过程的动量定理表达为:
上升高度
同理,对下落T′过程由
对此式两边取n次方当n→∞极限:
续解
下落过程的动量定理表达为:
下落高度
查阅
上、下落过程的动量定理表达式相加为:
上、下落过程的时间表达式相加为:
如图所示，四个质量均为m的质点，用同样长度且不可伸长的轻绳联结成菱形ABCD，静止放在水平光滑的桌面上．若突然给质点A一个历时极短沿CA方向的冲击，当冲击结束的时刻，质点A的速度为v，其它质点也获得一定的速度，∠BAD＝2α（α＜π/4）．求此质点系统受冲击后所具有的总动量与总动能．
小试身手题14
vD
D点速度与A点速度及C点速度相关关系如示:
设AD绳上力的冲量为I1，CD绳上力的冲量为I2，则由动量定理
对质点D
对质点C