力学
物理奥赛培训
一. 质点运动学
二. 牛顿运动定律
三. 动量定理 动量守恒定律
四. 动能定理 机械能守恒定律
五. 质心运动定律
六. 角动量定理 角动量守恒定律
七. 刚体的平衡
八. 万有引力与天体运动
九. 简谐振动
一. 质点运动学
（一）基本知识
1．质点运动的一般描述
1.1 运动方程与轨道方程
轨道方程
运动方程
1.2 速度
反映质点运动的快慢和方向的物理量
瞬时速度沿轨道切线方向
1.3 加速度
反映速度（大小和方向）变化快慢的物理量
加速度与速度的方向一般不同。
2. 抛体运动
速度：
运动方程：
轨道方程：
推论
3.1 圆周运动的加速度
3. 圆周运动
3.2 圆周运动的角量描述
角位置：=(t)
3.3 角量和线量的关系
4.相对运动
4.1 运动描述与参照系：对物体运动的描述与参照系有关——位移、速度、加速度的测量与参照系有关。
4.2 不同参照系间位移、速度和加速度的变换
（二）拓展知识
1.一般曲线运动
1.1 一般曲线运动中的加速度
1.2 曲率半径的物理求法
椭圆的曲率半径：
轨道方程：
对应运动方程：
A点：
抛物线的曲率半径：
轨道方程：
对应运动方程：
2. 连体运动问题
解题方法一：运动的分解
情形1：两物体通过刚性细杆或不可伸长的绳子相连，他们在连线方向的位移、速度和加速度相等。
解：
情形2：两刚性物体接触点的速度沿法向分量相等。


v1
v2
P

例1.2 如图示，一半径为R的半圆柱体沿水平方向以速度v0作匀速运动。求杆与半圆柱体的接触点P的角位置为 时竖直杆运动的速度。
解：
R
O
练习：顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动，其下端由凸轮M推动，凸轮绕过O点的水平轴以角速度转动。在图示的瞬时，OA＝r，凸轮轮缘与A接触处法线n与OA夹角为，试求此瞬时顶杆AB的速度。
参考答案：
情形3：两直线相交点的运动等于各直线沿对方直线方向运动的合运动：
例1.3 水平直杆AB在半径为R的固定圆圈上以匀速v0竖直下落，如图所示，试求套在该直线和圆圈的交点处小环M的速度。
解：
练习：如图，一平面内有两根夹角为 细杆l1和l2，两细杆各自以垂直于自己的速度v1和v2在该平面内运动，试求两细杆交点P的速率。
解：
解题方法二：运动的合成（相对运动）
一个物体同时参与两种运动实质上是参照系的转换：
例1.4 如图，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子A上。今以恒定速度v拉绳，当绳与竖直方向夹角为时，求线轴中心O的运动速度v。设线轴的外半径为R，内半径为r，线轴沿水平面作无滑动滚动。
解：
情况1：线轴座逆时针方向转动。设转动角速度为。
情况2：线轴座顺时针方向转动。同理可得：
出现情况2的条件为：
例1.5 续例11，求重物上升的加速度。
以地面为参照系，A的加速度
以O点为参照系，绳子末端A作圆周运动，其加速度沿绳子方向的分量，即向心加速度大小为
解：
例1.6 续例12，求竖直杆运动的加速度。
P

R
O
以圆心O为参照系，P点作圆周运动，其速度大小为：
P点相当于地面的加速度：
向心加速度：
关键：找出各物体间位移间的关系，进而得到速度、加速度之间的关系。
解题方法三：微积分
解：
P

v0
vP
例1.8 如图示，一半径为R的半圆柱体沿水平方向以速度v0作匀速运动。求杆与半圆柱体的接触点P的角位置为 时竖直杆运动的速度和加速度。
y
R
x
O
A
解：
例1.9 水平直杆AB在半径为R的固定圆圈上以匀速v0竖直下落，如图所示，试求套在该直线和圆圈的交点处小环M的速度和加速度。
解：
二. 牛顿运动定律
（一）基本知识
第一定律：定性反映了物体的运动与其受力之间的关系，引入惯性参照系的概念。
第二定律：定量性反映了物体的运动规律与其受力之间的关系：
第三定律：反映了力的来源：力来自物体间的相互作用。
——正是由于物体间的相互作用使得物体的运动状态不断发生改变，使得自然界不断地变化发展。
1．牛顿运动定律
2．自然界中的力
2.1 万有引力
任何物体之间都存在的相互吸引力：
2.2 重力：使物体产生重力加速度的力。
重力来源于地球对物体的引力，若忽略地球的惯性离心力，则
——重力加速度与物体质量无关
比萨铁塔落体实验
逻辑推理
2.3 弹力：物体由于形变而对引起形变的物体产生的作用力。
2.4 摩擦力：相互接触的物体间产生的一对阻止相对运动或相对运动趋势的力。
摩擦力总是阻止相对运动。
摩擦力总是阻止相对运动
一人被困在冰面上（冰面水平光滑）无法离开。请你替他想一个办法使他能够离开该冰面。
自行车在粗糙的水平面上起动时，前轮和后轮所受的摩擦力方向如何？
（二）拓展知识
接触面:沿法线方向
1．关于弹力
1.1 弹力的大小
——微小振动为简谐振动
1.2 弹力的方向:弹力的方向总是与形变方向相反.
杆：较复杂
绳子：沿绳子方向
1.3 弹簧的串联与并联
2．关于摩擦力
2.1 摩擦力的大小
两接触物体相对滑动的条件：fs=N
无滑动：决定于物体的运动和所受的其他力：
有滑动：
摩擦力的方向总是沿接触面切线方向。
2.2 摩擦力的方向
无滑动：决定于物体的运动和所受的其他力：
有滑动：与相对运动速度方向相反。
解：
解：
2.3 摩擦力的作用时间
可能有两种情况：
例2.3 一质量为M的平板沿光滑水平面以速度V0运动。质量为m的小球从h处落下，与平板发生碰撞后弹起，已知小球弹起时沿竖直方向的分速度大小与碰撞前速度大小之比为e，球与平板间的摩擦系数为。求小球碰撞后的速度与水平方向的夹角。
解：
情况1：tf= tN
tf = tN的条件：vxV，即
情况2：tf < tN
tf < tN的条件：
3.四种基本力
宏观世界里除了重力来源于万有引力外，其它的力几乎都源于电磁力
4. 非惯性参照系的动力学问题
4.1 惯性参照系与非惯性参照系
4.2 非惯性参照系中的牛顿第二定律
m
M
解1：
解1：
（三）典型题解
例2.5 在光滑的水平桌面上有质量为m的小车C，车上有质量为4m和m的立方块A和B，它们与小车表面之间的摩擦系数=0.5。今用一恒力F 沿水平方向作用在滑轮上。求A、B、C的加速度。
A
B
C
解：
第一种情况：A、B与小车间均无相对滑动。
A、B与小车间无相对滑动的条件：
结论：
A
O
a

解：
无滑动条件：f<N
为使大、小环间始终无滑动，以上不等式对任意 都要成立。因此
令
根据牛顿第二定律可得：
两式相除：
有三角形相似可知：
解：

依题意：
由此可得：

例2.8 如图所示，长为2l的轻绳，两端各系一个质量为m的小球，中央系一个质量为M的小球，三球均静止于光滑的水平桌面上，绳处于拉直状态，三球在一条直线上。今给小球M以一个冲量，使它获得水平速度v0，v0的方向与绳垂直。求：
（1）M刚受冲量时绳上的张力；
（2）在两端的小球发生碰撞前瞬间绳中的张力。
解：
（1）以M为参照系，m绕M作以速度v0作圆周运动。M刚受冲量时，绳子对M的作用合力为零，M为惯性参照系，因此
（2）
以M为参照系，m绕M以速度v 作圆周运动。此时M有加速度aM，为非惯性参照系。
三．动量定理 动量守恒定律
（一）基本知识
1.质点的动量定理
1.1 牛顿第二定律的普遍形式
1.2 质点的动量定理
动量定理反映了力对时间的积累效应
2.质点系的动量定理
内力只是使系统内各质点产生动量的交换，但不改变质点系的总动量
3.动量守恒定律
若系统在某一方向所受的合力的冲量为零，则该方向动量守恒
（二）拓展知识
1.变力的冲量
2.动量定理、定理守恒定律与参照系
动量定理、动量守恒定律只适用于惯性参照系。在非惯性参照系中使用动量定理，需计入惯性力的冲量；在非惯性参照系中，动量守恒定律的适用条件为外力与惯性力的合力为零。
3.碰撞问题
3.1 碰撞的物理过程
3.2 一般碰撞
3.3 完全弹性碰撞
3.4 完全非弹性碰撞
（三）典型题解
例3.1 一机枪质量为M，放置于光滑水平面上，内装有n颗质量为m的子弹，当它在水平方向射出子弹时，子弹的出口相对速度为u，假定在 1min内连续发射了这n颗子弹，试求：
（1）发射结束后机枪的后退速度；
（2）如果nm<解：
（1）
（2）
例3.2 如图所示，有一列N节（含机车）的火车，车厢之间由完全非弹性的车钩相连接，机车与每节车厢的质量均为m，机车与每节车厢所受的阻力均为自身重量的倍，火车以恒定牵引力启动。
（1）若启动时各节间的车钩已拉紧，求启动火车所需的最小牵引力。
（2）若启动前每一车钩间隙等于L，则启动火车所需的最小牵引力为多少？
……
1
k
k+1
F
N
……
……
1
k
k+1
F
N
……
vk
……
1
k+1
k+2
F
N
……
vk+1
(a)
(b)
(c)
解：
（1）
（2）
例3.3 如图所示，四个相等质量的质点由三根不可伸长的绳子依次连接，置于光滑水平面上，三根绳子形成半个正六边形保持静止。今有一冲量作用在质点A，并使这个质点速度变为u，方向沿绳向外，试求此瞬间质点D的速度
u：A的速度或B的速度在B、A连线方向的分量
u1：B或C的速度在C、B连线方向的分量
u2：D的速度或C的速度在D、C连线方向的分量
解：
B球：
C球：
D球：
联立以上各式，解得：
解：
根据（1）—（5）可得
系统落地时的速度:
解：
(1)
(2)
四．动能定理 机械能守恒定律
（一）基本知识
1．质点的动能定理
动能定理反映了力对空间的积累效应
2．质点系的动能定理
内力所做的总功一般不为零，即内力一般要改变系统的总动能
例：
内力可以改变系统的总动能
3．势能
3.1 保守力：做功只与物体的始、末位置有关，而与物体的运动路径无关的力。
几种常见保守力的势能:
4．功能原理 机械能守恒定律
4.1 功能原理
4.2 机械能守恒定律
（二）拓展知识
1.变力做功
x0
x
xi
xi+xi
t
F
O
2.功、能与参照系
动能定理、机械能守恒定律只适用于惯性参照系。在非惯性参照系中使用动能定理，需计入惯性力所做的功；在非惯性参照系中，机械能守恒定律的适用条件为外力、非保守内力及惯性力所做的总功为零。
力做功一般与参照系（即使是惯性系）有关，但成对相互作用力做功与参照系无关（例4.6）。
在某一过程中，动能的增量一般与参照系（即使是惯性系）有关，但势能的增量（与成对保守力做功相联系）与参照系无关。所以相同的过程对某一参照系机械能守恒，但对另一参照系却可能不守恒。
一质量为m的小球与一劲度系数为k的弹簧相连组成一体系，置于光滑水平桌面上，弹簧的另一端与固定墙面相连，小球做一维自由振动。试问：若视弹簧和物体m为一个体系，则在一沿此弹簧长度方向以速度u作匀速运动的参考系里观察，此体系的机械能是否守恒，并说明理由。
（三）典型题解
解：
（1）
以地面为参照系，A的加速度
以O点为参照系，A作圆周运动，其加速度沿绳子方向的分量，即向心加速度大小为
（2）先计算A、B加速度之间的关系：
O
L
2L
B
A

vA||
vA
vA
aB
aA
再求绳子中的张力：
练习 如图所示，质量为m、半径为R，表明光滑的圆柱体B放在光滑的水平桌面上。有一质量也等于m的细长直杆A，被固定的光滑套管C约束在竖直方向，A可自由上下运动．初始时，杆的下端正好与圆柱体顶点接触，系统保持静止状态。因受一微小扰动，使A、B从静止开始运动。求：
（1）当杆A与圆柱面接触点的连线和竖直方向夹角为 时，杆A的速度；
（2）此时杆A与圆柱体将的相互作用力。
参考答案：
解：
（1）
以上不等式有解：
即开始上升时，
M
m

v
R
V
解：
脱离球面的条件：N＝0，则
解：
m2刚好能被提起的条件：
机械能守恒：
解：
物体停止在位置xn的条件：
物体最终停止的位置为：
（2）根据功能原理：
（3）物体来回一次的时间：
因此可得物体从开始运动到最终停止所经历的时间：
（1）
物块滑到斜面底端的速度：
解：
物块在斜面上滑动的加速度：
以传输带为参照系，物块滑到传输带的初速度大小:
运动方向与传输带边缘的夹角 满足：
物块在传输带上作减速运动，加速度大小：
当物块与传输带相对静止时在传输带上运动的距离：
物块不超过传输带宽的边缘对应的最小摩擦系数2 应满足:
物块对传输带的摩擦力大小:

单位时间内物块对传输带所做的功:
（2）
传输带上与传送带间存在相对滑动的货物质量:
单位时间内传输带对物块所做的功:
或
以地面为参照系，单位时间内摩擦力对传输带和物块所做的功分别为:
以传送带为参照系，单位时间内摩擦力对传输带和物块所做的功分别为:
力做功一般与参照系（即使是惯性系）有关，但成对相互作用力做功与参照系无关。
五．质心运动定理
（一）基本知识
1. 质心
2．质心运动定理
系统质心加速度的大小与于所受的合外力大小成正比，与系统的总质量成反比，加速度的方向沿合外力的方向。
内力不影响系统质心的运动。
（二）拓展知识
1.柯尼希定理
质点系动能等于质心动能与体系相对于质心系的动能之和。此结论称为柯尼希定理。
在讨论孤立质点系的运动时，采用质心系是方便的。在质心系里，体系的动量恒为零，且孤立体系的质心系是惯性系，功能定理和机械能守恒定律都能适用。
2.质心参照系
取质心为坐标原点建立的参考系称为质心参考系或质心系。
即使讨论非孤立体系的运动，采用质心系也是方便的，可以证明，当质心系为非惯性参考系时，功能定理和机械能守恒定律也仍然正确。（这是因为在质心参照系中，作用在各质点上的惯性力所做的总功为零。）
（三）典型题解
例5.1 如图，求当人从小车的一端走到另一端时，小车相对与地面移动的距离。
解：
M
m
R
O
解：
解：
例5.4 一轮船质量为 M，以速度 V0行驶，船上一人以相对轮船的速度v向前投掷一质量m的球。问需做功多少（图a）？若向后投掷情况又如何（图b）？
解1：
向前抛：
向后抛：
成对相互作用例所做的总功与参照系无关。
解2：
不管向前或先后抛：
六. 角动量定理 角动量守恒定律
（一）基本知识
1．力矩
2．质点的角动量
3．质点的角动量定理和角动量守恒定律
角动量守恒，动量未必守恒
4．质点系的角动量定理和角动量守恒定律
内力不改变系统的总角动量
（二）典型题解
解：
例6.2 如图所示，质量为 m的小球 B放在光滑的水平槽内，现以一长为 l的细绳连接另一质量为m的小球A，开始时细绳处于松弛状态, A与B相距为l/2。球A以初速度v0在光滑的水平地面上向右运动。当A运动到图示某一位置时细绳被拉紧，试求B球开始运动时速度vB的大小。
l/2
l
B
A
A
300
解：
机械能守恒:
角动量定理：
（1）
解：
对小球1：
同理对小球2：

.
.
初速度的方向与水平线的夹角：
得任意 t 时刻球2的位置坐标：
球2脱离细杆时，
解：（1）
螺旋环的角动量：
角动量守恒：
（2）根据角动量守恒和机械能守恒定律
解得：
另解：
（1）
（2）
七. 刚体的平衡
（一）基本知识
1.刚体平衡条件
2.刚体平衡的稳定性
满足平衡条件的刚体，若受到扰动，便离开平衡位置。若它会自动回到平衡位置，则称为稳定平衡；若它会更远离平衡位置，则称为不稳定平衡；若平衡位置的周围仍是平衡位置，则称为随遇平衡。
（二）典型题解
例7.1 匀质杆OA重P1，长为l1，能在竖直平面内绕固定铰链O转动，此杆的A端用铰链连另一重为P2、长为l2的均匀杆AB，在AB杆的B端加一水平力F。求平衡时此两杆与水平线所成的角度与的大小，以及OA与AB间的作用力。
解：
以AB为研究对象，有
（1）
以OA+AB为研究对象，有
以AB为研究对象，其所受的合力为零，因此
（2）
N 的方向与水平线的夹角满足：
解：
设任一小突起Ai对其的压力为Pi，则
考虑薄片A6B6，根据力矩平衡条件可得
例7.3 用20块质量均匀分布的相同光滑积木块，在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，如图所示。已知每一积木块的长度为l，横截面是边长为h＝l/4的正方形。要求此桥具有最大跨度（即桥孔底宽）。试计算跨度与桥孔高度的比值。
解：
例7.4 有一半径为R的圆柱A，静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触。现有另一质量与A相同，半径为r的较细圆柱B，用手扶着圆柱A，将B放在A的上面，并使之与墙面相接触，如图所示，然后放手。己知圆柱A与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为0.30。若放手后，两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱B与墙面间的静摩擦系数和圆柱B的半径的值各应满足什么条件？
B
A
r
R

对A球：
对B球：
解：
联立（1）~（6）解得：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
圆柱B与墙面的接触点不发生滑动：
圆柱A在地面上不发生滑动：
两圆柱的接触点不发生滑动：
综合上述结果，可得到r满足的条件：
八. 万有引力与天体运动
（一）基本知识
1.开普勒三定律
第一定律：行星围绕太阳运动的轨道为椭圆，太阳在椭圆轨道的一个焦点上。
2.万有引力与引力势能
开普勒定律
角动量守恒
机械能守恒
3.解题技巧
（二）典型题解
解：
r
S
r
例8.2 地球和太阳的质量分别为m和M ，地球绕太阳作椭圆运动，轨道的半长轴为a，半短轴为b ，如图所示。试求地球在椭圆顶点A、B、C三点的运动速度大小及轨迹在A、B、C 三点的曲率半径。
M
m
A
C
O
b
a
A
解：
A、B两点：
A、C两点：
例8.3 质量为M的宇航站和对接上的质量为m的飞船沿圆形轨道绕地球运动着，其轨道半径是地球半径的n倍（n＝1.25）。某一瞬时，飞船从宇航站沿原运动方向射出后沿椭圆轨道运动，其最远点到地心的距离为8nR，求质量m/M为何值时，飞船绕地球运行一周后正好与宇航站相遇？
解：
M+m：
m：
（1）
解：
设地球绕太阳作圆周运动，则
（2）若M＝MS，则
九.简谐振动
（一）基本知识
1．简谐振动的基本概念
1.1 简谐振动的定义
1.2 简谐振动的运动方程
1.3 简谐振动的特征量
周期和频率：
位相与初相：
t 时刻的位相: t+
初相: 
振幅：
A
位相是描述物体振动状态的物理量
周期和频率：由振动系统的固有性质决定：
振幅和初相：由初始条件决定：
1.4 简谐振动的旋转矢量表示
振幅：旋转矢量的模A
圆频率：旋转矢量的角速度
位相：旋转矢量与Ox轴的夹角t+
2．简谐振动的判别
2.1 简谐振动的判据
2.2 两种常见的简谐振动
1）弹簧振子：
2）单摆：
3.简谐振动的能量
谐振子的动能和势能都随时间而变化，振动过程中两者相互转换，但系统的总能保持不变。谐振子系统是一个封闭保守系统。
4.1 同频率同方向的简谐振动的合成
4．简谐振动的合成
2）合振动的振幅
1）两个同频率同方向的简谐振动的合振动为与分振动同频率的简谐振动。
链接
4.2 同方向不同频率的简谐振动的合成：形成拍
链接
4.3 相互垂直的同频率的简谐振动的合成：椭圆轨道
链接
4.4 相互垂直的同频率的简谐振动的合成：李萨如图
（二）典型题解
解：
（1）
（2）
解：
平衡位置：
离开平衡位置x：
因此木板的质心作简谐转动。
解：
两球相对于质心的位移：
在坐标系Ox中，任意t时刻质心的位置坐标：
由此可得在坐标系Ox中，任意t时刻A、B球的位置坐标：
解：
第一阶段：自烧断轻线至砝码1脱离弹簧。
设t＝t1时，砝码1与弹簧分离，则
第二阶段：自砝码1脱离弹簧至至再次接触弹簧。
谢谢!