万有引力定律与天体运动
“卫星怪象”问题

一、对宇宙中复杂的天体受力运动的简化
（1）天体通常相距很远，故可将天体处理为质点.
（2）很多时候，某天体的所受其他诸天体引力中仅有一个是主要的：
b、施力天体由于某些原因（如质量相对很大）在某惯性系中可认为几乎不动，这
时问题很简单（我们通常讨论的就是这种情况）.
二、引力问题的基本动力学方程
如图，行星m在太阳M的有心引力作用下运动.
解题知识与方法研究
三、天体绕日运动的轨道与能量
轨道方程为一圆锥曲线方程：
（即开普勒第一定律）；
例1（天体轨道的判定） 如图，太阳系中星体A做半径为R1的圆运动，星体B作抛物线运动. B在近日点处与太阳的相距为R2=2R1，且两轨道在同一平面上，两星体运动方向也相同. 设B运动到近日点时，A恰好运动到B与太阳连线上. A、B随即发生某种强烈的相互作用而迅速合并成一个新的星体. 其间的质量损失可忽略. 试证明新星体绕太阳的运动轨道为椭圆.
解
计算新星体C的机械能.
研究②式中的vA、vB：
例题解答
利用①③，C星体的机械能为
因此，新星体C的轨道为椭圆.
B作抛物线运动，机械能为零.
思考
本题能不能直接判断？
例2（利用引力作用下的质点运动求椭圆曲率半径） 行星绕太阳作椭圆运动，已
知轨道半长轴为A，半短轴为B，太阳质量记为MS. 试用物理方法求椭圆各定点处的曲率
半径.
解
行星运动情况如图.
代入②式得
求顶点1处的曲率半径ρ1：
将前面得到的v1代入，
求顶点3处的曲率半径ρ3：
将前面得到的v3代入，
例3（卫星怪象问题） 质量为m的人造卫星在绕地球（质量为Me）的飞行过程中，由于受到微弱的摩擦阻力f（常量），不能严格按圆周轨道运动，而是缓慢地沿一螺旋形轨道接近地球.因f 很小，轨道半径变化十分缓慢，每一周均可近似处理为半径为r的圆周轨道，但r将逐周缩短. 试求在r轨道上旋转一周，r的改变量及卫星动能EK的改变量.
解
卫星的动能、势能、总机械能为
动能的改变量为
解
为方便研究问题取星球为参照系.
气体分子的运动及与星球的碰撞如图所示.
研究圆截面边缘上的一个分子：
设被俘获前的瞬间（A点处） 的速度为v.
设气体受到的阻力为f（等于星球所
受阻力），
例5（飞船着陆问题） 一质量为m=12×103kg的太空飞船在围绕月球的圆轨道上运动
，其高度h=100km. 为使飞船落到月球表面，喷气发动机在图中P点作一短时间发动. 从喷
口喷出的热气流相对飞船的速度为u=10km/s，月球半径为R=170km，月球表面的落体加
速度g=1.7m/s2. 飞船可用两种不同方式到达月球（如图所示）：
（1）向前喷射气流，使飞船到达月球背面的A点
（与P点相对），并相切.
（2）向外喷射气流，使飞船得到一指向月球中心
的动量，飞船轨道与月球表面B点相切.
试计算上述两种情况下所需要的燃料量.
解
设飞船喷气前的速度v0，月球质量为M，
（1）
对喷气前后的短暂过程，
由动量守恒有
（2）
设喷出的气体质量为Δm1,
对喷气前后的短暂过程，
在沿原半径方向上由动量守恒有
设喷出的气体质量为Δm2,
例6 质量为M的宇航站和已对接上的质量为m的飞船沿圆形轨道绕地球运动着，其
轨道半径是地球半径的n=1.25倍. 某瞬间，飞船从宇航站沿运动方向射出后沿椭圆轨道
运动，其最远点到地心的距离为8nR. 问飞船与宇航站的质量比m/M为何值时，飞船绕地
球运行一周后正好与宇航站相遇.
解
发射前后飞船、宇航站的运动情况如图.
记地球质量为ME，发射前共同速度为u.
记分离后的瞬间飞船速度为v，宇航站速度为V.
研究分离后的飞船：
研究分离后的宇航站：
设远地心点的速度为v′，
设近地心点的速度为V ′，距地心r.
设飞船的周期为t，宇航站的周期为T.
确定t/T：
将④代入，得
由上述①②③④式求m/M：
可见k只能取两个值：k=10，11.
例7 一双星系统，两颗星的质量分别为M和m（设M>m），距离为d，在引力作用
下绕不动的质心作圆周运动. 设这两颗星近似为质点. 在超新星爆炸中，质量为M的星体
损失质量ΔM. 假设爆炸是瞬时的、球对称的，并且对残余体不施加任何作用力（或作用
力抵消），对另一颗星也无直接作用. 试求，在什么条件下，余下的新的双星系统仍被约
束而不相互远离.
解
需计算爆炸后的总机械能.
如图，爆炸前两星绕质心旋转.
爆炸后的瞬间，因球对称爆炸所以（M-ΔM）位置、速度均不变.
另解
用二体问题折合质量法
爆炸前：
等效的运动如图（a）.
爆炸后：
等效的运动如图（b）.