动力学特别问题与方法
动力学的几个特别问题及处理方法
规律
规律
规律
规律
加速度与力是瞬时对应的，外力一旦改变，加速度也立即改变，力与加速度的因果对应具有同时性．确定某瞬时质点的加速度，关键在分析该瞬时质点的受力，对制约着对象运动状态的各个力的情况作出准确判断.
示例
质点系
F1
Fi
F2
F3
质点系各质点受系统以外力F1、F2、……
对质点1
对各质点
质点系的牛顿第二定律
示例
如图所示，跨过定滑轮的一根绳子，一端系着 m=50 kg的重物，一端握在质量M=60 kg的人手中．如果人不把绳握死，而是相对地面以g/18的加速度下降，设绳子和滑轮的质量、滑轮轴承处的摩擦均可不计，绳子长度不变，试求重物的加速度与绳子相对于人手的加速度．
专题6-例1
取人、绳、物组成的系统为研究对象
x
mg
Mg
am
a
在图所示坐标轴上建立运动方程为
绳相对于人的加速度为
a绳对人=am-a=

mAg
B
A
E
如图所示，A、B滑块质量分别是mA和mB，斜面倾角为α，当A沿斜面体D下滑、B上升时，地板突出部分E对斜面体D的水平压力F为多大（绳子质量及一切摩擦不计）？
专题6-例2
ax
对A、B、D系统在水平方向有
对A、B系统分析受力
a
mBg
x
返回
F
绳、杆约束物系或接触物系各部分加速度往往有相关联系，确定它们的大小关系的一般方法是：设想物系各部分从静止开始匀加速运动同一时间，则由
可知，加速度与位移大小成正比，确定了相关物体在同一时间内的位移比，便确定了两者加速度大小关系．
物系加速度相关关系
x
2x
如图所示，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面体上，斜面体的质量为M，斜面体与水平地面间的动摩擦因数为μ．现用水平拉力F向右拉斜面体，要使物体与斜面体间无相互作用力，水平拉力F至少要达到多大？
专题6-例3
当物体与斜面体间无作用力时，物体的加速度为g
考虑临界状况，斜面体至少具有这样的加速度a：在物体自由下落了斜面体高度h的时间t内，斜面体恰右移了hcotθ ，由在相同时间内
对斜面体
FN
m1
m2
如图所示，A为固定斜面体，其倾角α=30°，B为固定在斜面下端与斜面垂直的木板，P为动滑轮，Q为定滑轮，两物体的质量分别为m1=0.4 kg和m2=0.2 kg，m1与斜面间无摩擦，斜面上的绳子与斜面平行，绳不可伸长，绳、滑轮的质量及摩擦不计，求m2的加速度及各段绳上的张力．
专题6-例4
m1沿斜面下降,m2竖直上升,若m1下降s, m2上升2s,故
T1
m1gsinα
m2g
建立如图坐标分析受力
牛顿第二定律方程为
对m1建立方程
m1gsinα
T1
代入题给数据
P
T1
T1
T2
返回
力的加速度效果分配法则
问题情景
如果引起整体加速度的外力大小为F，则引起各部分同一加速度的力大小与各部分质量成正比， F这个力的加速度效果将依质量正比例地分配．
m
m
M
Tb
Ta
如图所示，质量为M、m、m的木块以线a、b相连，质量为Δm小木块置于中间木块上，施水平力F拉M而使系统一起沿水平面运动；若将小木块从中间木块移至质量为M的木块之上，两细绳上的张力Ta、Tb如何变化？
Ta减小
Tb不变
力效分配法示例1
对左木块
对左与中两木块
产生整体加速度的力是F， 使BCD产生同样加速度的力是AB间静摩擦力，最大静摩擦力大小应为
当F=3μmg/2时，绳上拉力最大
B
F
D
A
T
C
力效分配法示例2
如图所示，在光滑水平面上放置质量分别为m和2m的四个木块,其中两个质量为m的木块间用一不可伸长的轻绳相连,木块间的最大静摩擦力是μ mg.现有用水平拉力F拉其中一个质量为2m的木块,使四个木块以同一加速度运动,则轻绳对m的最大拉力是多少?
=3μmg/2
．
B
A
∵A、B刚好不发生相对滑动而一起沿水平面运动
要使A、B仍不发生相对滑动，须满足
由上二式得
返回
mg
F
F2
剪断l2瞬时，F2力消失，绳l1上微小形变力立即变化，适应此瞬时物体运动状态——线速度为零，向心加速度为零；
则此瞬物体所受合力为
l1
θ
l2
F1
此瞬时物体加速度为
故绳l1拉力大小等于物体重力的法向分力：
如图所示，一质量为m的物体系于长度分别为l1、l2的两根细绳上，l1与竖直成θ角，l2水平拉直，物体处于平衡状态．现将l2剪断，求剪断瞬时l1细绳上的拉力及物体的加速度．
瞬时性示例1
撤去F力前：
撤去F力瞬时，A受力未及改变，故：
撤去F力瞬时，B受力少了F,故：
如图所示，质量分别为mA、mB的两个物体A和B，用弹簧连在一起，放在粗糙的水平面上，在水平拉力F(已知)作用下，两物体做加速度为a的匀加速直线运动，求在撤去外力F的时刻，A、B两物体的加速度大小分别为多少？
瞬时性示例2
如图所示，木块A、B的质量分别为mA＝0.2 kg，mＢ＝0.4 kg，盘C的质量mC＝0.6 kg，现挂于天花板O处，整个装置处于静止．当用火烧断O处的细线的瞬间，木块A的加速度aA及木块B对盘C的压力FBC各是多少?
O
C
方向竖直向下！
对C运用牛顿第二定律：
FBC=1.2N
mcg
FBC
O处细线断瞬间,A受弹簧力未及改变,重力不变,故
B、C间弹力是微小形变力，其发生突变！以适应B、C在此瞬间的运动：
专题5-例6
返回
非惯性系
相对于惯性系以加速度a运动的参考系称非惯性参考系.
牛顿运动定律在非惯性参考系中不能适用
小球不受外力而静止
小球不受外力而向我加速
惯性力
为了使牛顿定律在非惯性系中具有与惯性系相同的形式，我们可以引入一个虚拟的力叫惯性力使牛顿第二定律形式为
可适用于非惯性系．
惯性力与物体实际受到的力（按性质命名的力）不同，它是虚构的，没有施力物，不属于哪种性质的力．
如图所示，在光滑水平桌面上有一质量为M的劈形物体，它的斜面倾角为α，在这斜面上放一质量为m的物体，物体与斜面间摩擦因数为μ．当用方向水平向右的力F推劈形物体时，μ等于多少时物体间才没有相对运动？
专题5-例7
m
M
α
取劈形物体M为参考系，设M相对地面的加速度为a，方向向右，在这个参考系中分析m受力:
F
mg
ma
F约
mg
ma
F约
在劈参考系中m静止,合力为零!
对整体在水平方向有
一质量为M、斜面倾角为α的三棱柱体，放在粗糙的水平面上，它与水平面间的摩擦因数为μ，若将一质量为m的光滑质点轻轻地放在斜面上，M发生运动，试求M运动的加速度a．
专题5-例8
μ
设M运动的加速度为a，显然a的方向水平向右:
设m相对于M的加速度为a非，a非的方向与水平成α角向下，即，沿三棱柱体的斜面:
a非
设水平面对三棱柱体的摩擦力为Ff，支持力为FN:
Ff
研究M、m构成的系统，在水平方向有
在竖直方向有
由摩擦定律
取m为研究对象
x
mg
Fn
FN
Fi
(M+m)g
人两次从同一高度下落，有
第一次，人、重物（绳）加速度相同，由系统牛顿第二定律
前、后 两次人下落加速度分别设为a1、a2,
第二次，人、重物（绳）加速度各 为a2、a′，由质点系“牛二律”
方向竖直向下
人相对绳以0.1g向上爬
关于惯性力，下列说法中正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 惯性力有反作用力
B. 惯性力是由非惯性系中物体施予的
C . 同一物体对不同参考系有不同惯性力
D. 惯性力与合外力一定平衡
小试身手题1
选项A
惯性力是虚拟的力，没有施力物，也没有反作用力．
选项B
选项C
惯性力Fi=-ma， a为参考系加速度，参考系不同，匀加速不同，惯性力Fi就不同！
选项D
在非惯性系中有加速度的运动物体，其所受惯性力与合外力不平衡
如图，在与水平成角α的静止的劈面上放一根不可伸长的轻绳．绳的一端系在墙上A点，小物体系在绳子Ｂ点上．某一时刻劈开始以恒定加速度a1向右运动．求物体还在劈上时所具有的加速度a2 ？
小试身手题2
A
B
x1
x21
本题涉及相关加速度
劈加速度a1、物体加速度a2、物体相对劈加速度a21间矢量关系是
矢量图示
a1
a21
a2
矢量三角形是等腰三角形！
由矢量图得
如图，三角凸轮沿水平运动，其斜边与水平线成α角．杆AB的A端依靠在凸轮上，另一端的活塞B在竖直筒内滑动．如凸轮以匀加速度a0向右运动，求活塞B的加速度aB ．
小试身手题3
设三角形高h、底边长b
本题属相关加速度问题
由加速度相关关系
方向竖直向上
如图所示，质量为m2的立方块放在光滑的地面上，质量为m1的劈（劈角为α），直角边靠在光滑的竖直墙上，斜边压在立方体上，试求劈和立方块的加速度 ．
小试身手题4
劈和立方块的加速度设为a1、a2：
a1、a2的关系是
设m1、m2间压力为FN
FNy
FN
FN
则对m1
对m2
如图所示，已知方木块的质量为m，楔形体的质量为M，斜面倾角为θ，滑轮及绳子的质量可忽略，各接触面之间光滑，求楔形体M的加速度．
小试身手题5
xM
xmM
情景模拟
楔形体和方木块的加速度设为aM、am,方木块相对楔形体的加速度amM：
amM和aM的关系由位移关系
amM和aM、am的矢量关系是
矢量图示
aM
amM
am
对方块，以M为参考系的运动方程为
系统的“牛二律”方程为
如图所示，在倾角为α的光滑斜面上，放有一个质量为m2的斜块，斜块上表面水平，在它的上面放有质量为m1的物块．摩擦不计，求两个物块的加速度．
小试身手题6
设斜面对m2支持力为F2，m2对m1支持力为F1，m1、m2整体受力分析如示：
a2
F2
在竖直方向由质点系“牛二律”
情景模拟
分离前两者在竖直方向有相同加速度
对m2,在水平方向有
如图所示，绳子不可伸长，绳和滑轮的质量不计，摩擦不计．重物A和B的质量分别为m1和m2，求当左边绳的上端剪断后，两重物的加速度 ．
小试身手题7
左边上端绳断瞬时，其余绳上力尚未及改变，A、B受力如图
A
B
B受力如图
A、B加速度关系是
如图所示，A为定滑轮，B为动滑轮，摩擦不计，滑轮及线的质量不计，三物块的质量分别为m1、m2、m3 ，求：⑴物块m1的加速度；⑵两根绳的张力T1和T2
小试身手题8
m1
m2
m3
B
A
设定坐标方向及线上拉力，对m1、m2、m3建立运动方程
x
设三者位移各为s1、s2、s3，m2与m3相对滑轮B的位移设为x
对m2有x= s2+ s1
对m3有x= s3- s1
2s1 =s3- s2
由上列五式可得
如图所示，一根绳跨过装在天花板上的滑轮，一端接质量为M的物体，另一端吊一载人的梯子而平衡．人的质量为m，若滑轮与绳子的质量均不计，绳绝对柔软，不可伸长．问为使滑轮对天花板的反作用力为零，人相对于梯子应按什么规律运动？
小试身手题9
由“滑轮对天花板的反作用力为零”知绳上张力为零
M
对人与梯由质点系“牛二律”
则人相对梯的加速度为
如图所示，离桌边左方l处放一石块，一根长度为２l的不可伸长的轻绳将它与另一个相同质量的石块连接起来，搭在轻滑轮上，两石块维持在同一高度，绳既不拉伸也不下垂，然后放下右边石块．问：左边石块先到达桌边碰到滑轮，还是右边石块先碰到桌子？（不计摩擦）
小试身手题10
l
l
情景模拟
各时刻，绳上张力大小T总处处相等!
左石块加速度
右石块水平加速度
T
T
同样时间内左边石块位移大于右边石块，故
左边石块先到达桌边
如图所示，质量为m的两个相同的重物，分别固定在轻杆的两端，杆用铰链与轴相连，轴将杆长分为2∶1，维持杆的水平，试求释放时两个物体的加速度及杆对轴的压力．
小试身手题11
分析释放瞬时杆与两重物系统受力
FN
由质点系“牛二律”
由两球位移关系知
2FN/3
FN/3
对左球
对右球
由四式可得
如图所示，一根长度为3l的轻杆上固定质量分别为m1和m2的两个重物，它们之间的距离以及它们分别到杆两端的距离相等．用两根竖直的绳子系在杆的两端，使杆水平放置且保持平衡状态．试求当右边绳子被剪断时刻左边绳子的拉力FT．
小试身手题12
分析释放瞬时杆与两重物系统受力
m2
m1
2FT
FT
对左球
对右球
由两球位移关系知
如图所示，在以加速度a行驶的车厢内，有一长为L，质量为m的棒AB靠在光滑的后壁上，棒与车厢底面间的摩擦因数为μ．为了使棒不滑动，棒与竖直平面所成的夹角θ应在什么范围内？ ．
小试身手题13
棒不向右滑,受力如图
FN
F2
Ff
水平方向
竖直方向
以车为参考系
以A端为支点,应满足
由上可得
棒不向左滑,受力如图
Ff
以A端为支点,应满足
θ范围为
两块与水平成角α的光滑斜面构成轻架，架上有如图所示那样放置的两个小球，架可以沿水平面做无摩擦滑动，释放质量为m1的上球，试问在什么条件下，质量为m2的下球将沿架子滚上？
小试身手题14
临界时m2已不再压右边斜架!
两球受力如图
m2
m1
FN1
FN2
因为是轻架，即无加速度，所以两球对架压力的水平分力应相等,有
m1、m2在右斜面法线上的加速度应满足
可得