西安半坡博物馆
等腰三角形
授课老师：林佳璇
底边
底角
底角
顶角
有两条边相等（AB=AC)的三角形，叫做等腰三角形。
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，
另一边叫做底边，
两腰的夹角叫做顶角，
温故而知新
腰和底边的夹角叫做底角.
1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长
是 ；
2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是 ；
3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是 。
10 cm
10 cm 或 11 cm
19 cm
小试牛刀
温馨提示：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底，哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。
如图.把一张长方形纸片按图中的虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开,得△ABC,
活动1：实践观察,认识等腰三角形
活动2:探索等腰三角形性质
1、等腰三角形是轴对称图形吗？
思考
是
2、把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折,找出其中重合的线段和角.
AB、AC
BD、CD
AD、AD
∠B 、 ∠C.
∠BAD 、∠CAD
∠ADB 、∠ADC
你能发现等腰三角形的性质吗?
说一说你的猜想。
等腰三角形的两个底角有什么关系？
重合的角
重合的线段
AB、AC
∠B 、 ∠C.
命题：等腰三角形的两个底角相等
探 索 与 证 明
思考:
该命题中的题设和结论
分别是什么？
题设: 一个三角形是等腰
三角形
结论: 它的两个底角相等
思考：怎样用数学符号表示已知和求证？
已知：在△ABC中，AB=AC
求证： ∠B = ∠C
等腰三角形的两个 底角相等。
已知：△ABC中，AB=AC
求证：∠B=C
分析：如何证明两个角相等？
思考：如何构造两个全等的三角形？
猜想
D
过点A作BC的
中线AD
探究：已知AB=AC怎样证明∠B = ∠C ？
探 索 与 证 明
D
┌
过点A作AD⊥BC于点D
D
作∠BAC的平分线AD.
∴BD＝CD
D
在△ABD和△ACD中
证明:过点A作BC的中线AD
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
（公共边）
∴ △ABD≌ △ACD
（SSS）
∴ ∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
等腰三角形的两个底角相等。
(简写成“等边对等角”)
猜想
性质1
∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为_______
⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为___________________
⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为________
75°、30°
70°、40°或55°、55°
35°、35°
小试牛刀
AB、AC
BD、CD
AD、AD
∠B 、 ∠C.
∠BAD 、∠CAD
∠ADB 、∠ADC
AD是顶角的平分线
AD是BC上的中线
AD是BC上的高
等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合. （简写成“三线合一” ）
猜想
性质2
等腰三角形 的性质
性质2:
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、
底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）.
（1）∵ AB=AC，AD是∠BAC的平分线
∴ BD=CD，AD⊥BC
（2）∵ AB=AC，AD是BC上的中线
∴ ∠BAD=∠CAD，AD⊥BC
（3）∵ AB=AC， AD⊥BC
∴ ∠BAD=∠CAD，BD=CD
如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，有下列四个结论：①∠B＝∠C；②AD⊥BC；③∠BAC＝2∠BAD；④S△ABD＝S△ACD.其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D
当堂检测
例1、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
A
B
C
D
⌒
2、有哪些相等的角？
∠A+∠ABC+∠ C=180 °
分析：
1、图中有哪几个等腰三角形？
△ABC △ABD △BCD
∠ABC=∠C=∠2
3、这两组相等的角之间还有什么关系？
∠2= ∠ A+∠1 =2∠ A
∠ A=∠1
（外角等于不相邻的两个内角之和）
（三角形内角和等于180°）
2
例1、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
答：∠A=36°，∠ABC=∠C=72°
解：
∵AB=AC，BD=BC=AD
∴∠ABC=∠C=∠2,
∠A=∠1
（等边对等角)
设∠A=x ,
则∠2=∠A+∠1=2x ,
∠ABC= ∠C= ∠2=2x ,
在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°
在△ABC中,∠A=36°，
∠ABC=∠C=2×36°=72°
（1）已知：如图，房屋的屋顶∠BAC=120°，
过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC, 求顶架
上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数.
A
B
D
C
┌
当堂检测
解：在△ABC中，
∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
∴∠B=∠C= (180°－∠A ）
=40°(三角形内角和定理)
又∵AD⊥BC（已知）
∴∠BAD=∠CAD（等腰 三角形顶角的平分线与底边上
的高互相重合）
∴∠BAD=∠CAD=50°
已知：如图，房屋的顶∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC, 求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数.
答：顶架上∠B、∠C、∠BAD、
∠CAD的度数分别为40°、40°
、50°、50°.
（2）如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是(　　)
A．100° B．80° C．70° D．50°
A
当堂检测
（3）已知：如图，△ABC中， AB=AC， CD⊥AB 于D
求证：∠BAC=2∠DCB
∵ AB=AC
∴∠1=∠2= ∠BAC
∠BAC=2∠3
∵AE⊥BC
当堂检测
（4）如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AC于D，求∠DBC的度数。
练习
30°
(5)已知AB＝AC，AD＝AE，且点B，D，E，C在同一直线上，求证：BD＝EC.
证明：作AH⊥BC于点H，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BH＝CH，DH＝EH，
∴BH－DH＝CH－EH，
即BD＝EC
H
练习
（6）如图：△ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE。 求证：AH=2BD
证明：∵AB=AC,AD是高(已知)∴BC=2BD（三线合一）
又∵BE是高（已知）∴∠ADC=∠BEC=∠AEH=90°（垂直的定义）
在△AEH和△BEC中
∴△AEH≌△BEC(ASA)
∴∠1+∠C=∠2+∠C=90°∴ ∠1=∠2（同角的余角相等）
∴AH=BC（全等三角形的性质）
∴AH=2BD（等量代换）
练习
（7）已知：如图， △ABC中，AB=AC，F在AC上， 在BA的延长线上截取AE=AF，
求证：ED⊥BC
提示：证明∠EDB=∠EDC．
练习
（8）如图，在等腰△ABC中，∠C=90°，如果点B到∠A的平分线AD的距离为5cm,求AD的长。
D
5cm
F
E
10cm
谈谈你的收获！
轴对称图形
性质1等腰三角形的两个底角相等。
简写为“等边对等角”
性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、
和底边上的高相互重合。简写为“三线合 一”
等腰三角形
小 结
2. 能根据等腰三角形的概念与性质求等腰三角形的周长或知道一角求其它两角或证线段、角相等。
作业：
《新课程学习辅导》P43-44
谢谢大家！