12.3.1 等腰三角形的性质
官鹅沟风景
(课本P75页)如图.把一张长方形纸片按图中的虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展 开,得△ABC,
活动1：实践观察,认识三角形
定义：两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
边：等腰三角形中,相等的两条边叫做腰，
另一条边叫做底边.
向同学们出示精美的建筑物图片
相关概念：
角：等腰三角形中,两腰的夹角叫做顶角，
腰和底边的夹角叫做底角.
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，
底边
认识等腰三角形
相等的两边都叫做腰，
两腰的夹角叫做顶角，
腰和底边的夹角叫做底角.
另一边叫做底边，
活动2:探索等腰三角形性质
上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗?
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折,找出其中相等的线段和角,填入下表
AB
AC
∠B
∠C
CD
AD
AD
BD
∠BAD
∠CAD
∠ADB
∠ADC
你能发现等腰三角形有什么性质吗?说一说你的猜想.
性质1：等腰三角形的两底角相等。（简写成“等边对等角” ）
性质２：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。（简称“三线合一” ）
性质2:等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合
在△ABC中，AB =AC, 点 D在BC上
1、∵AD ⊥ BC
∴∠ = ∠ ，____= 。
2、∵AD是中线，
∴ ⊥ ，∠ =∠ 。
3、∵AD是角平分线，
∴ ⊥ ， = 。
1
2
BD
DC
AD
BC
1
2
AD
BC
BD
DC
用符号语言表示为：
等腰三角形是轴对称图形.对称轴是底边上的中线(顶角平分线,底边上的高)所在直线
性质1:等腰三角形的两底角相
在△ABC中，
∵ AC=AB（ ）
∴ ∠B=∠C （ ）
已知
等边对等角
已知：△ABC中，AB=AC
求证：∠B=C
分析：1.如何证明两个角相等？
2.如何构造两个全等的三角形？
证明:在△ABC中,AB=AC,作底边
BC的中线AD,
在 △ BAD 与△ CAD 中
∵ AB=___
BD=___
AD=___
∴ △ BAD ≌△ CAD( )
∠B= ___
AC
∠C
CD
AD
SSS
提问:这性质的条件和结论是什么?用数学符号如何表达条件和结论?
活动3:等腰三角形性质定理的证明
方法1:已知：△ABC中，AB=AC,AD是△ABC 的中线
证明性质２：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。（简称“三线合一” ）
求证：AD是△ABC的高和角平分线
证明: ∵,AD是△ABC的中线
∴BD=CD
在△ BAD ≌△ CAD中
∵ AB=AC
BD=CD
AD= AD
∴ △ BAD ≌△ CAD( SSS )
∠BAD= CAD; ∠BDA= CDA
∴AD是△ABC是角平分线
又∵ ∠BDA+ CDA=1800
∴ ∠BDA=CDA=900
∴ AD是△ABC的高.
课本例1.在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ ABC各角的度数
解:AB=AC,BD=BC=AD,
∠ ABC= ∠ C= ∠ BDC
∠ A= ∠ ADD(等边对等角)
设A=x,则
∠ BDC= ∠ A+ ∠ ABD=2x
从而∠ ABC= ∠ C= ∠ BDC=2x
于是在△ ABC中,有
∠ A+ ∠ ABC+ ∠ C=x+2x+2x=1800.
解得x=360
在△ ABC中, ∠ A=360 ∠,ABC= ∠ C=720
活动4:等腰三角形性质定理的运用
1、如图（1）在等腰△ABC中，AB =AC, ∠A = 36°,
则∠B =——∠C=—
变式练习：
①如图（2）在等腰△ABC腰中， AB =AC, ∠A = 50°, 则∠B =——，∠C=——
②如图（3）在等腰△ABC腰中， AB =AC, ∠A = 120°则∠B =——，∠C=——
活动5:课本练习
72°
72°
65°
65°
30°
30°
2、△ ABC是等腰直角三角形（AB=AC， ∠BAC=90°），AD是底边BC上的高，标出∠ B， ∠ C， ∠ BAD， ∠ DAC的度数，图中有哪些相等的线段？
3、在△ ABC中，AB=AD=DC， ∠BAD=26°，求∠ B和∠ C的度数.
答： ∠ B=∠ C=∠BAD =∠DAC=45°
BD=AD=CD.
解：∵AB=AD，∠BAD=26°
∴2∠B=180°-26°=154°.
∴∠B=77°， ∠ADB=26°+77°=103°.
又∵AD=DC，
∴2∠C=180°-103°=77°.
即∠ C=38.5°.
1、求有关等腰三角形的问题，作
顶角平分线、底边中线，底边的
高是常用的辅助线；
2、熟练掌握求解等腰三角形的顶
角、底角的度数；
3、掌握等腰三角形三线合一的
应用。
等边对等角
这节课我们学习了什么?
作业
习题13.3 1、4、6
如果你热爱生活的话，生活也会爱你的。
解：∵AB=AC,AD⊥BC,∠BAC=100，°
∴∠B=∠C=40°，
∠BAD=∠CAD=50°
证明：①过A作AF⊥BC,
垂足为F.
∵AB=AC, AF⊥BC,
∴BF=CF.
又∵AD=AE, AF⊥BC,
∴DF=EF,
∴BD=CE.
F
② ∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
又∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED,
∴∠BAD=∠CAE.
在ΔABD和ΔACE中，
AB=AC,
∠BAD=∠CAE.
AD=AE,
∴ΔABD≌ΔACE（SAS）
∴BD=CE.
{