12.3 角平分线的性质
人教版初中数学八年级上册 第十二章《全等三角形》
复习提问1
* 我们前面学习了三角形全等判定的方法有哪些？

SSS
SAS
ASA
AAS
HL
点到直线的距离：
A
B
P
复习提问2
．
垂线段的长度
如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。
将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?

探究活动一
原理说明
在△ADC和 △ABC中，
AD= AB
AC=AC
DC=BC
∴△ADC ≌ △ABC（SSS）
∴ ∠DAE= ∠BAC
根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）
自读教材观看图示，了解如何用尺规作图作角的平分线。
想一想
A
Ｂ
画法：
１．以Ｏ为圆心，以任意长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢＮ于．
２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作
弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．
３．作射线ＯＣ．
射线ＯＣ即为所求的射线．
O
尺规作角的平分线
温馨提示:
作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢!
将∠AOB对折,在折痕上任取一点P,过P点再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论？
探究活动二
两条折痕相等
按照做一做的顺序画∠AOB的折痕OC ,在折痕（即平分线）上任意找一点P。过P点作PD垂直于OA，垂足为D。
作PE垂直于OB、垂足为E ，并度量所画垂线段PD、PE是否等长？
PD=PE
量一量
角平分线的性质：角的平分线上的点 到角的两边的距离相等。
归纳：
证明几何命题的一般步骤：
1、明确命题的已知和求证
2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
证明结论
已知：如图所示，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.求证：PD=PE.
∵ PD⊥OA，PE⊥OB
证明：
∴ ∠PDO= ∠PEO= 90°
在△PDO和△PEO中
∴ △PDO≌△PEO（AAS）
∠ PDO＝∠PEO
∠ AOC＝∠BOC
OP=OP
∴PD=PE
角平分线的性质定理所必备的条件:
(1)角的平分线
(2)点在该平分线上
(3)垂直距离
定理的作用:证明 线段相等.
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
解决问题
O
解：  作夹角的角平分线OC，截取 OD=2.5cm ,D即为所求。
D
C
s
O
1.如图，在△ABC中，∠C＝900，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝8,BD＝5，则点D到AB的距离为？
E
合作交流 巩固提高
DE=CD=3
2.如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF，
求证：CF=EB。
应用与提高
∵　AD平分∠CAB
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）
∴　CD＝DE (角平分线的性质)
在Ｒt△CDF和Rt△EDB
CD=DE （已证）
DF=DB （已知）
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL)
CF=EB （全等三角形对应边相等）
证明：
五、小结
本节课我们学习了
1.如何尺规作图平分一个角
2.角平分线的性质定理
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
回眸课堂
思维导图
思维导图
思维导图
抽象
观察
猜想

操作
证明
解决
教师寄语
艺术来源于生活，数学亦来源于生活，数学也是生活中的艺术！

希望同学们热爱数学，会用数学的眼光观察世界，探索数学的奥秘，感受生活中的数学美，相信大家一定会用数学知识创造出更加美好的生活！
恭喜你,认真地听完了这节课!有什么收获呢？
作 业：
练习第1、2题, 习题12.3第1、2题
课外活动：自制角平分仪