人教版初中数学八年级上册 第十二章《全等三角形》
第三节 角的平分线的性质
学习目标
1.了解角平分线的定义及意义．
2.掌握角平分线的尺规作图步骤和写法。
3.探索角平分线性质定理及其逆定理。
4.经历探索角平分线性质定理及其逆定理的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
回顾复习
上节我们学习了三角形全等判定的方法有哪些？
SSS三边对应相等的两个三角形全等。
SAS有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
ASA有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等。
AAS有两角和它们中的一边对应相等的两个三角形全等。
HL 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
折飞机活动。用纸片折一个飞机，展开之后，发现机头是一个角，被从中线分开，那么这条线有什么特点呢？今天我们一起来探索。
情景导入
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的角平分线。
C
探究活动一
自读教材，理解角平分线的定义
C
∠AOC =∠BOC
同时：∠AOB =2∠AOC =2∠BOC
角平分线的意义：
把一个角分成相等的两个角。
介绍工具：平分角仪
提示：思考它的原理是什么呢？
原理说明
在△ADC和 △ABC中，
AD= AB
AC=AC
DC=BC
∴△ADC ≌ △ABC（SSS）
∴ ∠DAE=∠DAE
讲析探究：如何用尺规作图平分一个角
自读教材观看图示，了解做法，
示范讲解
已知:∠AOB,如图.
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.
作法:
用尺规作角的平分线.
1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.
2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C.
3.作射线OC.
请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流.
提示:
作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.
则射线OC就是∠AOB的平分线.
探究巩固
小组合作，边做边讲，用尺规作图平分一个任意角。
小组展示：在黑板上边画边讲。
探究活动三
在刚才平分的角上任选三个点，并分别画出三个点到角两边的距离？（垂线段）
并用直尺测量长度，看每一对有何特点。
操作步骤
OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，
写出结论：____________
C
O
B
A
PD=PE
角平分线的性质：角的平分线上的点 到角的两边的距离相等。
得出结论：
巩固练习
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.求证：PD=PE.
∵ PD⊥OA，PE⊥OB
证明：
∴ ∠PDO= ∠PEO= 90°
在△POD和△PEO中
∴ △PDO≌△PEO（AAS）
∠ PDO＝∠PEO
∠ AOC＝∠BOC
OP=OP
如图，在△ABC中，∠C＝900，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝8,BD＝5，则点D到AB的距离为？
E
探究活动四
我们有：
角平分线性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
那么,反过来，如果已知点到角的两边的距离相等，能不能判断这个点在角的平分线呢？
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，
点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知），
　∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）在Rt△QDO和Rt△QEO中
　 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）
　∴ ∠ QOD＝∠QOE
∴点Q在∠AOB的平分线上。
得出结论：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．
∴点Q在∠AOB的平分线上．
用数学语言表示为：
如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：
过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M
G
H
M
∵点F在∠BCE的平分线上， 　　　　FG⊥AE， FM⊥BC
∴FG＝FM
又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC
∴FM＝FH
∴FG＝FH
∴点F在∠DAE的平分线上
综合练习
如图，在Rt△ABC与Rt△EDC中，∠BAC=∠DEC=90°，CB=CD，BA=DE，AB，ED的延长线相交于点P。求证：CP平分∠APE
综合练习二
证明：∵在Rt△ABC与Rt△EDC中,∠A=∠E=90°,CB=CD,BA=DE ∴ Rt△ABC≌Rt△EDC ∴∠ABC=∠EDC
∴ ∠PBC=∠PDC（等角的补角相等） ∵ CB=CD、CP=PC、∠PBC=∠PDC
∴ △CPB≌△CPD ∴∠BPC=∠DPC ∴ CP平分∠APE
学以致用
如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?
提示
在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?
五、小结
本节课我们学习了
1.角平分线的定义
2.如何尺规作图平分一个角
3.角平分线的性质定理
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
4.逆定理
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
恭喜你,认真地听完了这节课!有什么收获呢？
作 业：练习题
课外活动：自制角平分仪
下次再见!