5.1.2:垂线
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当α =90°时,a与b垂直.
当b的位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.
当α ≠90°时,a与b不垂直，叫斜交.
两条直线相交
斜交
垂直
垂直是相交的特殊情况
观察思考
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
例如、如图，a、b互相垂直,O叫垂足.a叫b的垂线，b也叫a的垂线。
一、垂直的定义
从垂直的定义可知，
判断两条直线互相垂直的关键：
只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角。
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
b
a
用“⊥”和直线字母表示垂直
O
α
2.垂直的表示：
例如、如图，a、b互相垂直, 垂足为O，则记为：
a⊥b或b⊥a,
若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O.
日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图5.1-6中的一些互相垂直的线条.
你能再举出其他例子吗?
生活中的垂直
生活中的垂直
A
B
C
D
O
书写形式：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O。
∵∠AOD=90°（已知）
∴AB⊥CD（垂直的定义）
书写形式：
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°。
3.垂直的书写形式：
∵ AB⊥CD （已知）
∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
应用垂直的定义：
∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
练习：
1. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠1=125°,
求∠COE的度数.
A
C
E
B
D
O
1
）
2、如图,∠ABC=90° ,∠1=60° ,过B作AC的垂线BO,垂足是O,过O作BC的垂线,垂足是D,若∠1= ∠2,求∠ABO, ∠BOD.
∵BO ⊥AC于O点
（已知）
∵∠ABC=90°( )
∠1=60°（ ）
已知
∴∠ABO=30°
解：
（已知）
∴∠BOC=90°
∴∠BOD=30°
（互余的定义）
（互余的定义）
已知
（垂直的定义）
又∵∠2=∠1
∴∠2=60°
（等量代换）
1．下面四种判断两条直线垂直的方法正确的有___个                  [    ]
(1)两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直．
(2)两条直线相交，有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直．
(3)两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直．
(4)两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直．
A．4          B．3             C．2             D．1
选择题
巩固练习
A
2．两条直线相交所成的四个角中，下列条 件中能判定两条直线垂直的是 [    ]
A．有两个角相等 B．有两对角相等
C．有三个角相等 D．有四对邻补角

3．两个角的平分线相互垂直的有  [    ]
A．两角互补； B．两角互为对顶角；
C．两角都是直角； D．两角为邻补角
巩固练习
选择题
C
D
看谁做得快
1.若直线m、n相交于点O，
∠1＝90°，则__________。

2.若直线AB、CD相交于点O，
且AB⊥CD，那么∠BOD＝____。

3.如图，BO⊥AO，∠BOC
与∠BOA的度数之比为1:5，
那么∠COA＝_____,
∠BOC的补角为______度。
m⊥n
90°
72°
162
问题：
这样画L的垂线可以画几条？
1靠
2画线
L
O
(1)如图，已知直线 L,作L的垂线。
A
无数条
1.用三角尺画垂线
二.动手画一画
问题：怎么样画已知直线的垂线？
L
A
(2)如图，已知直线 L 和L上的一点A ,作L的垂线.
B
1靠（线）:把三角板的一直角边靠在直线上;
3画（线）:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
2过（点）:三角板的另一条直角边过已知点;
则所画直线AB是过点A的直线L的垂线.
问题：
这样画L的垂线可以画几条？
1 条
L
A
(3)如图，已知直线 L 和L外的一点A ,作L的垂线.
B
3画（线）:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
2过（点）:三角板的另一条直角边过已知点;
1靠（线）:把三角板的一直角边靠在直线上;
则所画直线AB是过点A的直线L的垂线.
问题：
这样画L的垂线可以画几条？
1 条
根据以上的操作，你能得出什么结论？
垂线的第一性质：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（1）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外。
（2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性。
注意：
总结：
1.过点P 向线段AB 所在直线引垂线，正确的是（ ）.

A B C D
C
P
P
P
P
P
P
O
练一练
三：
2.如图 ，已知AB. CD相交于O, OE⊥CD
于O,∠AOC=36°，则∠BOE= 。
（A）36° (B) 64°
(C)144° (D) 54°
D
3.如图，直线AB,CD相交于点O,
4、在图中，过点A分别作BD和DE的垂线.
N
M
结论：直线AM,AN为所求垂线。
5、按要求画图：
A
B
C
A
B
C
A
B
C
过B点作的AC垂线；过A点作的BC垂线;过C点作的AB垂线。
你能得出什么结论：
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
垂线段最短
已知：直线l上有若干点，点P在直线外，连结点P与直线上各点的线段，量出各条线段的长，你发现了什么？
结论：
简单说成：垂线段最短．
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。如图，线段PA的长度是点P到直线m的距离。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
垂线段最短
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。如图，线段PB的长度是点P到直线m的距离。
垂线段的长度
简单说成：垂线段最短．
已知：直线m上有若干点，点P在直线外，连结点P与直线上各点的线段，量出各条线段的长，你发现了什么？
四、知识应用
1、如图，点A处是一座小屋，BC是一条公路，一人在O处。
（1）此人到小屋去，怎样走最近？为什么？
（2）此人要到公路去，怎样走最近？为什么？
2、下列说法正确的是（ ）
B
C
小屋
公路
人
D
两点之间，线段最短
垂线段最短
3、如图：AC⊥BC于C,CD⊥AB于D,DE⊥BC于E,试比较四条线段AB 、AC、DC和 DE的大小。
C
A
D
E
B
解：
∵ AC⊥BC于C(已知）
∴ AC＜AB（垂线段最短）
又∵ CD⊥AD于D(已知）
∵ DE⊥BC于E(已知）
∴ CD＜AC（垂线段最短）
∴ DE＜CD（垂线段最短）
∴ AB＞AC＞CD＞DE
思考
有人不慎掉入有鳄鱼的湖中。如图，他在P点，应选择什么样的路线尽快游到岸边m呢？
.如图，一辆汽车在直线形公路AB上由A
向B行驶，M,N分别是位于公路两侧的村庄.

(1)设汽车行驶到点P位置时，距离村庄M最近，
行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图
中公路AB上分别画出P,Q两点位置。

(2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M,N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而距离村庄M越来越远？
A
B
M
N
立定跳远中，体育老师是如何测量运动员的成绩的？你能解释吗？
体育老师实际上测量的是点到直线的距离
小常识
1、垂线的定义及表示方法
2、垂线的画法
3、垂线的性质：
1、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
一、靠（线）；二、过（点）；三、画 （线）
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
学到了什么?
2、垂线段最短
4、点到直线的距离的定义
特殊情况
两条直线相交
对顶角相等
邻补角互补
垂直
垂线的存在唯一性
垂线段
最短
点到直线的距离
一般
情况
特殊情况
两条直线相交
对顶角相等
邻补角互补
垂直
垂线的存在唯一性
垂线段
最短
点到直线的距离
一般
情况
知识结构图
作业布置
一.必做题
1.教材第5页练习题1、2
2.教材第9页习题5.1第4、6、10题
二.练习册