人教版八年级数学上册 11.3 多边形及其内角和
11.3.2 多边形的内角和
学习目标
1.学会用三角形内角和定理证明多边形的内角和与外角和；
2.会利用多边形的内角和与外角和来解决相关问题。
1、在平面内，__________________________ 叫做多边形。

２、在多边形中_________________________叫做多边形的对角线。

３、三角形的内角和是____．
一、设疑自探、回顾旧知
由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形
连接多边形不相邻的两个顶点的线段
1800
问题，新知
长方形的内角和是多少？为什么？
如果是任意四边形呢？
二、解疑合探、探寻新知
B
A
D
C
（1）四边形ABCD的内角 和是多少？

（2）你是怎样求的？
观察上图：可以看出四边形从一个顶点出发，
可以做___条对角线，它们将四边形分成_____ 个三角形，所以四边形的内角和为_____ 。
1
2
360°
那么如何求此五边形的内角和呢?
选捷径，我能行！
3× 180° =5400
说说你的 探索思路？
三角形
四边形
五边形
1800
2× 180°
= 3600
3× 180° =5400
探索过程一掠:
六边形
七边形
4× 180° =7200
5× 180° =9000
那么六边形、七边形的内角和呢？
百家争鸣
其他方法
其他方案
我们也可以利用以上不同的方法分割多边形，得到n边形的内角和公式
照猫画虎
n边形内角和等于
最终结论
（n－2）× 180°
…
…
…
…
…
…
3
4
5
6
7
n
1
n-2
2
3
4
5
180°
360°
540°
720°
900°
(n－2) ·180°
(n－2) ·180°
5 ×180°
4 ×180°
3 ×180°
2 ×180°
1 ×180°
结论：
1.n边形内角和（n－2)×180°(n≥3)
2.已知内角和求几边形:内角和÷180+2
4.n边形共有对角线 条(n≥3)
3.n边形从一个顶点出发的对角线有(n－3)条
(n≥3)
三角形
六边形
四边形
八边形
……..
五边形
是解决多边形问题的常用辅助线
对角线
多边形问题 三角形问题
转化
（未知）
（已知）
那么正五边形、正六边形、正八边形、正n边形的每个内角分别是多少度呢？
……
正n边形
（5-2）×180°
5
=108°
（6-2）×180°
6
=120°
（8-2）×180°
8
=135°
（n-2）×180°
n
Now I can ……
2、已知一个多边形每个内角都等108° ，求这个多边形的边数？
解：设这个多边形的边数为 n，根据题意得：
(n－2) ×180=108n
解得：n=5 答：这个多边形是五边形。
1、八边形的内角和等于多少度？ 十边形呢？
（8－2) ×180°= 1080°
(10－2) ×180°= 1440°
抢 答
解：如图四边形ABCD中，
例1、如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。
典型例题
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外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角。
外角
6
7
8
9
10
问题
大家清晨跑步吗？小明就有每天坚持跑步的好习惯，他怎样跑步呢？右图就是小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步的效果图. 请你观察并思考如下几个问题:
(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们.
A
B
C
D
E
1
2
3
4
5
(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
(3)在上图中，你能求出1+∠2+∠3+∠4+∠5的大小吗？你是怎样得到的？
从多边形的一个顶点A点出发，沿多边形的各边走过各点之后回到点A.最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和。
由于在这个运动过程中走了一周，也就是说所转的各个角的和等于一个周角。
即：多边形的外角和等于360º
3×180o-1×180o=360o
4×180o-2×180o=360o
5×180o-3×180o=360o
6×180o-4×180o=360o
n×180o-(n-2)×180o=360o
合作学习
多边形的外角和
从上表中得到了什么结论？
结论：任何多边形的外角和为360°
练习1： 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数。

解： 设多边形的边数为n
∵它的内角和等于 (n-2)•180°，
多边形外角和等于360º，
∴ (n-2)•180°=2× 360º。
解得: n=6
∴这个多边形的边数为6。
练一练
练一练
练习2：正五边形的每一个外角等于____，每一个内角等于_____。
5X=360°
X=72°
72°
108°
解：设正五边形的每一个外角度数为x，由
多边形的外角和等于360度可得：
所以每一个内角度数为108 °
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练习3：一个正多边形的每个内角比相邻外角大36°求这个多边形的边数。
解：设一个外角为x°，
则内角为（x＋36）°
根据题意得：
　　 x+x+36＝180
　　 　 x＝72
360÷72＝5
答：这个正多边形为正五边形。
练一练
回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？
每个内角的度数是
每个外角的度数是
思考一：一个三角形中，它的内角最多可以有几个锐角？ 为什么？
思考二：一个四边形中，它的内角最多可以有几个锐角？ 为什么？
思考三：一个多边形中，它的内角最多可以有几个锐角？为什么？
一个多边形中，它的外角最多可以有几个钝角？
3
例2：一个正多边形的一个内角为150°，
你知道它是几边形吗？
解：设　这个多边形为n边形，根据题意得：
　　　　（n－2）×180＝1５0n
　　 　　 　 n＝12
答：这个多边形是12边形。
另解：由于多边形外角和等于360°
而这个正多边形的每个外角都等于
180°－150°＝30°，
所以这个正 多边形的边数等于
360°÷30°＝12。
例题、已知两个多边形的内角和为1440°，且两多边形的边数之比为1︰3，求它们的边数分别是多少？
牛刀小试：（1）八边形的内角和等于 。（2）已知一个多边形的内角和等于2340°，  它的边数是 。（3）小明在计算多边形的内角和时求得的 度数是1000°，他的答案正确吗？为 什么？
1080°
15
（4）已知四边形4个内角的度数比是1︰2︰3︰4，
那么这个四边形中最大角的度是 。
（5）一个五边形的三个内角是直角，另两个内角
都是n°，则n= 。
（6）六角螺母的面是六边形，它的内角都相等，则
这个六边形的每个内角是 　　　　 。
（7）在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，那么∠B
与∠D有什么关系呢？为什么？
144°
135°
120°
1.已知四边形ABCD中,∠A与∠C互补.如果∠B=80°,则∠D的度数是 .
2.某四边形四个内角的度数之比为1:2:3:3,这四个内角的度数分别是 .
3.在四边形ABCD中,已知∠A=85 ° ∠C =115 ° ∠B比∠D大20°,则∠B的度数是 ，∠D的度数是 .
交一份满意的答卷！
100°
40 °, 80 °, 120 °, 120 °
90°
70 °
求下列图形中x的值：
随堂练习
（1）一个多边形的每一个外角都是600，这个多边形是几边形？它的内角和等于多少度?
(2)有没有这样的多边形，它的内角和是外角和的3倍？
（3）一个多边形的每一个外角都相等，且每一个内角都比外角大900，求这个多边形的边数和每个内角的度数。
7、两个多边形的边数比是1:2,两个多边形的内角和为1440度,求这两个多边形的边数,
6、一个多边形的每个内角都比相邻的外角3倍多20度,求这个多边形的边数,
5、四边形的四个内角的比是8:6:3:7,求它的四个内角,
4、一个多边形的内角和是外角和的4倍,这是几边形
强化训练

三角形三个内角的度数分别是（x+y)o, (x-y)o,xo,且x>y>0,则该三角形有一个内角为 （　　）
A、30O B、45O C、60O D、90O

2.一个正多边形每一个内角都是120o，这个多边形是（　　） A、正四边形 B、正五边形
　　C、正六边形 D、正七边形
C
C

３．一个多边形木板，截去一个三角形后（截线不经过顶点），得到新多边形内角和为2160o，则原多边形的边数为（　 ）
A、13条 B、14条 C、15条 D、16条
下列说法中，错误的是（ 　　）
　　A、一个三角形中至少有一个角不大于60O；　　B、有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形；C、三角形的外角中必有两个角是钝角；　　　D、锐角三角形中两锐角的和必然小于60O；
A
D
5.小明绕五边形各边走一圈，他共转了_ __度。
6.下列正多边形（1）正三角形（2）正方形（3）正五边形（4）正六边形，其中用一种正多边形能镶嵌成平面图案的是 　　　　　 ；
360
（1）、（2）、（4）
7.如下图，AD是BC边上的高，BE是 △ ABD的角平分线，∠1=40°，∠2=30°，则∠C=_ __∠BED= 。
65°
60°
8、两个多边形的边数比是1:2,两个多边形的内角和为1440度,求这两个多边形的边数,
9、有一六边形，截去一三角形，内角和会发生
怎样变化？请画图说明。
内角和减少180O
内角和不变
内角和增加180O
结论
n边形的内角和为(n－2) ×180°(n≥3)
n边形从一个顶点出发的对角线有(n－3)条(n≥3)
任何多边形的外角和为360°
教科书习题11.3第1、2、4、5题．
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