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    人教版初中数学八年级上册 - 12.3 角的平分线的性质

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  • 时间:  2015-09

八上数学12.3.1角平分线的性质(2)

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八上数学12.3.1角平分线的性质(2)
角的平分线的性质(2)
1、会用尺规作角的平分线.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
2、角的平分线的性质:
PD⊥OA,PE⊥OB
∵ OC是∠AOB的平分线
∴ PD=PE
用数学语言表述:
复习
反过来,到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢?
已知:如图,QD⊥OA,QE⊥OB,
点D、E为垂足,QD=QE.
求证:点Q在∠AOB的平分线上.
思考
证明: ∵ QD⊥OA,QE⊥OB(已知),
 ∴ ∠QDO=∠QEO=90°(垂直的定义) 在Rt△QDO和Rt△QEO中
  QO=QO(公共边) QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO(HL)
 ∴ ∠ QOD=∠QOE
∴点Q在∠AOB的平分线上
已知:如图,QD⊥OA,QE⊥OB,
点D、E为垂足,QD=QE.
求证:点Q在∠AOB的平分线上.
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,QD=QE.
∴点Q在∠AOB的平分线上.
用数学语言表示为:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
∴ QD=QE
如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,
∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
同理,PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
证明:过点P作PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F
如图,已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F,
求证:点F在∠DAE的平分线上.
证明:
过点F作FG⊥AE于G,FH⊥AD于H,FM⊥BC于M
G
H
M
∵点F在∠BCE的平分线上,     FG⊥AE, FM⊥BC
∴FG=FM
又∵点F在∠CBD的平分线上,     FH⊥AD, FM⊥BC
∴FM=FH
∴FG=FH
∴点F在∠DAE的平分线上
如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,且BE=CF。 求证:AD是△ABC的角平分线。
利用结论,解决问题
练一练 1、如图,为了促进当地旅游发展,某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?
想一想
在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?
拓展与延伸
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,QD=QE.
∴点Q在∠AOB的平分线上.
用数学语言表示为:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
∴ QD=QE
课堂小结
拓展与延伸
3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
再见