第四章
相似图形复习
一、比例的性质？
比例的基本性质─
比例的合比性质─
比例的等比性质──
1.若a, b, c, d成比例,且a=2, b=3, c=4,那么d=
6
2、下列各组线段的长度成比例的是（ ）
A. 2 , 3, 4, 1 B. 1.5 ,2.5 ,6.5 , 4.5
C. 1.1 ,2.2 ,3.3 ,4.4 D. 1 , 2 , 2 , 4
6
5
3、
4.(1)若 ， 求 。
(2) 若 ，求 ，
.
=
6
5
6 已知1, 2, 3三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式。
其中 ：a、b、c、d 叫做组成比例的项，
线段 a、d 叫做比例外项，
线段 b、c 叫做比例内项，
比例的性质：
一.比例线段
2.比例中项：
练习：
当两个比例内项相等时，
那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项.
那么称 线段AB被点C黄金分割,
点C叫做线段AB的黄金分割点,
AC与AB的比叫做黄金比.
二、黄金分割与相似多边形
判定两个三角形相似的方法：
5. 两角对应相等的两个三角形相似。
4.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3.三边对应成比例的两个三角形相似。
1.定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。
2.平行三角形一边的直线和其他两边相交(或两边的延长线),所构成的三角形与原三角形相似.
相似三角形的性质：
1.相似三角形对应角相等，对应边成比例。
2 .相似三角形对应高线比，对应中线比，对应角平分线比等于相似比。
3.相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
相似的基本图形
AB2=BD·BC
一.填空、选择题:
1、如图，DE∥BC, AD:DB=2:3,
则△ AED和△ ABC
的相似比为＿＿＿.
2:5
5
2cm
2、 已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙的最大边为10cm，则三角形乙的最短边为______cm.
3、等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在腰AC上取点D, 使△ABC∽ △BDC, 则DC=______.
4. 如图，△ADE∽ △ACB,
则DE:BC=_____ 。
5. 如图，D是△ABC一边BC
上一点，连接AD,使 △ABC ∽ △DBA的条件是（ ）.
A. AC:BC=AD:BD
B. AC:BC=AB:AD
C. AB2=CD·BC
D. AB2=BD·BC
6. D、E分别为△ABC 的AB、AC上
的点，且DE∥BC，∠DCB= ∠ A，
把每两个相似的三角形称为一组，那
么图中共有相似三角形_______组。
1:3
D
4
7、如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使ΔABE和ΔACD相似的是（ ）
A ∠B=∠C
B ∠ADC=∠AEB
C BE=CD，AB=AC
D AD∶AC=AE∶AB
二、证明题：
1. D为△ABC中AB边上一点，
∠ACD= ∠ ABC.
求证：AC2=AD·AB.
3.如图，DE∥BC，D是AB的中点，DC、BE相交于点G。
求
4.如图： DE∥BC，EF ∥AB,AE：EC=2：3，S △ABC=25，求S四边形BDEF
5
二 .学以致用
2.如图,∠B=∠C,则图中的相似三角形有( )对.
4.如图,⊿ABC是等边三角形,点D,E分别在BC,AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点F.
(1)图中有全等三角形吗?找出来并证明.
(2)图中有相似三角形吗?找出来并证明.
(3)BD2=AD·DF吗?请说明理由.
5、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=12,点P从A点出发向B以1m/s的速度移动，点Q从B点出发向C点以2m/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B两地同时出发，几秒后△ PBQ与原三角形相似？
二 .学以致用
一块直角三角形木板的一条直角边AB长1.5m，面积为1.5m2。要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两人的加工方法分别如图1和图2所示，你能用所学过的知识说明谁的加工方法符合要求吗？（加工损耗忽略不计，计算结果保留分数）
图1
图2
二 .学以致用
3、存在探索型
1、 如图, DE是△ABC的中位线, AF∥BC,∠B=90°，在射线AF上是否存在点M，使△MEC与△ADE相似,若存在,请先确定点 M,再证明这两个三角形相似，若不存在，请说明理由.
M
证明：连结MC，　　　　　　　　　　　∵DE是△ABC的中位线，　　　　　∴DE∥BC，AE＝EC，　　　　　　又∵ME⊥AC, 　　　　　　　　　　∴AM＝CM，　　　　　　　　　　　∴ ∠1= ∠2 ，　　　　　　　　　　　∵∠B=90°，　　　　　　　　　　　∴ ∠4＝ ∠B= 90°，　　　　 　　　　∵AF ∥BC，AM ∥DE, 　　　　　　∴ ∠1= ∠ 3 ，　　　　　　　　　　　∴ ∠3= ∠2 ,　　　　　　　　　　　∵ ∠ADE＝ ∠MEC=90 ° ， 　　∴ △ADE ∽△MEC．
1
2
3
M
解:存在.过点E作AC的垂线,与AF交于一点,即M点
4
1.将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一 一写出来.
C
2、结论探索型
解：有相似三角形，它们是：
△ADE∽ △BAE, △BAE ∽ △CDA ，△ADE∽ △CDA
（ △ADE∽ △BAE ∽ △CDA）
2.△ABC中，AB>AC，过AB上一点D作直线DE交另一边于E，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形.
E
E
E
E
1.如图,阳光通过窗户照到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区,已知亮区一边到窗口下的墙角距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,那么窗口底边离地面的高BC是多少呢?
8.7
1.8
2.7
一试身手
4、如图，正方形ABCD中，AB＝4，G为DC中点，E在BC边上运动，（E点与点B、点C不重合）设BE＝x，过E作GA平行线交AB于F，设AFEG面积为y，写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。
例补2、如图，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B、C重合的任意一点，连结AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q,设BP的长为xcm,CQ的长为ycm.
(1)求点P在BC上运动的过程中y的最大值;
1、在正方形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上一点，且BF∶CF=3∶1，
（1）求证：AE⊥EF
（2）求证△AEF∽△ADE
证明：∵CD⊥AB， E为AC的中点
∴ DE=AE=1/2AC
∴∠EDA=∠A
∵ ∠EDA=∠FDB
∴∠A=∠FDB
∵∠ACB= Rt ∠
∴ ∠A=∠FCD
∴ ∠FDB=∠FCD
又∵ ∠F = ∠F
∴ △FDB∽△FCD
∴ BD：CD=DF：CF
∴ BD·CF=CD·DF
例1 如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E为AC的中点，
ED交CB的延长线于F。
C
E
A
D
F
B
这个图形中有几个相似三角形的基本图形
求证：BD·CF=CD·DF
3.在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF=90°，则一定有（ ）
(A)ΔADE∽ΔAEF (B)ΔECF∽ΔAEF (C)ΔADE∽ΔECF (D)ΔAEF∽ΔABF
8、一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，写出所有不同的截法？
14.如图,要在底边BC=160cm,高AD=120cm的△ABC铁皮余料上截取一个矩形EFGH,使点H在AB上,点G在AC上,点E,F在BC上,AD交HG于点M,
(1)设HE=X,矩形EFGH的面积S,确定S与X的函数 关系式;
（2）当x取多少时，S有最大值？ S最大值是多少？
例补1：某房地产公司要在一块（如图）矩形ABCD上规划建设一个小区公园巨型GHCK，为了文物保护区△ AEF不被破坏，矩形公园的顶点G不能在文物保护区内。已知：AB=200m,AD=160m,AE=60m,AF=40m.
(1) 当矩形小区公园的顶点G恰是EF的中点时,求公园的面积.
(2)当G在EF上什么位置时,公园面积最大?
2、ΔABC中，AE是角平分线，D是AB上的一点，CD交AE于G，∠ACD=∠B，且AC=2AD.则ΔACD∽ Δ______.它们的相似比K =_______,
A
B
C
E
D
G
相似三角形判定复习
(二)新课：
1、填空： (口答，并说明用的是哪一条判定定理)
(1)已知：DE∥BC，则________∽______。
(2)已知：∠A=∠D,则______=______=_______。
(3)已知：∠DAB=∠CAE，AB·AD=AE·AC，则∠ADE=______。
△ADE
△ABC
∠C
(4)已知：∠ABP=∠CDP，则PA·CD=_________。
(5)已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D点，则__________∽___________∽___________。
(6)已知：∠ABC=90°，∠ACB=30°，AD=2AC，CD=2BC，则∠D=______。
AB·PC
△ACD
△CBD
△ABC
30°
2、如图，已知AD是△ABC的中线，EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，求证：AD平分EF
G
3、如图，已知在△ABC中，，D是AB上一点，F是BC的延长上一点，连结DF交AC于点E，且AD=CF，
求证：BF∶BD=AE∶CE
1、已知：△ABC中，AC=9，BC=6，问：边AC上是否存在一点D，使△ABC∽△BDC？如果存在，请算出CD的长度？
3、D点是△ABC的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在△ABC的边上，并且点D、点E和△ABC的一个顶点组成的小三角形与△ABC相似。问：这样的三角形可以画几个？画出DE，并且写出添线方法。
3、讨论思考题(讨论后回答)
(1)已知△ABC中，BC=8，AD是BC上的高，AD=12，E、F分别在AB、AC上滑动(不与点B、C重合)，且EF∥BC，以EF为一边作△ABC的内接矩形EFGH。
求：①EF在什么位置时，此矩形的邻边之比是1∶2？
　　②EF在什么位置时，矩形EFGH是正方形？（提供2个图形进行分析）