1.1.2 集合间的基本关系
1.理解集合之间的包含与相等的含义.
2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系.
3.在具体情境中了解空集的含义并会应用.
1.本课重点是对子集、真子集、空集等概念的理解.
2.本课难点是子集有关概念的简单运用.
1.Venn图
Venn图表示集合的优点在于：形象直观，通常用平面上_____
_______的_____代表集合.
封闭
的曲线
内部
2.子集、真子集、集合相等的定义、符号表示及图示
任意一个元素
集合B
都是
都是
A=B
3.空集
定义：不含_____元素的集合.
(1)符号表示：___.
(2)规定：空集是任何集合的_____.
任何
子集
1.正整数集N*是自然数集N的子集吗？
提示：是.集合N*中的元素都是集合N中的元素，因此N*⊆N.
2.和{}有什么区别？
提示：是空集，不含任何元素；{}是集合，且此集合中含
有一个元素.
3.列举集合{1,3}的所有子集_____.
【解析】由集合子集的含义可知，此集合的所有子集是，
{1}，{3}，{1,3}.
答案：，{1}，{3}，{1,3}
4.设集合A={三角形}，B={等腰三角形}，C={等边三角形}，则
集合A、B、C之间的真包含关系是______.
【解析】等边三角形一定是等腰三角形，所以CBA.
答案：CBA
1.子集概念解读
若A⊆B，则A有以下三种情况：
①A是空集；
②A是由B的部分元素构成的集合；
③A是由B的全部元素构成的集合.
2.集合间的关系与实数中的结论对比
a≤b包含两层含义：a=b或
aA⊆B包含两层含义：A=B或
AB.
若a≥b,且a≤b,则a=b.
若A⊆B，且B⊆A，则A=B.
若a≤b,b≤c,则a≤c.
若A⊆B,B⊆C，则A⊆C.
3.从两个角度看集合相等
角度一：元素相同
集合A中的元素与集合B中的元素相同，则集合A等于集合B，这是从集合中元素的特征出发来表达两个集合相等，它指明了两个集合的元素特征.
角度二：两集合的包含关系
若A⊆B且B⊆A,则A=B.这是从集合间包含关系的角度表达了集合相等.其中，若A⊆B，则对任意x∈A，都有x∈B；同时若B⊆A,则对任意x∈B,都有x∈A，这说明集合A与集合B的元素是相同的.
4.关于空集的两点说明
(1)空集首先是集合，只不过空集中不含任何元素.
(2)规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.因
此遇到诸如A⊆B或AB的问题时，务必优先考虑A=是否满足
题意.
5.对符号“∈”与“⊆”的三个提醒
(1)“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如有1∈N,-1N.
(2)“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如有N⊆R,
{1,2,3}⊆{3,2,1}.
(3)“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为
集合.
集合间关系的判断
【技法点拨】
判断集合间关系的程序
(1)准备活动：分析、化简每个集合.
(2)方法分析：此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法将各个集合在数轴上表示出来，以形定数.
(3)验证端点：验证端点值，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心圈表示.
【典例训练】
1.下列关系中正确的个数为( )
①0∈{0}；②{0}；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a,b)}=
{(b,a)}.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2.指出下列集合之间的关系：
(1)A={-1,1}，B={x∈Z|x2=1}；
(2)A={x|-1(3)已知集合A={x|x=1+a2,a∈R}，B={y|y=a2-4a+5,a∈R}.
【解析】1.选B.对①，集合{0}含有1个元素0，故0∈{0}正
确；对②，由于空集是任何非空集合的真子集，故②正确；对
③，{0,1}是数集，而{(0,1)}是点集，故③错误；对④，
{(a,b)}与{(b,a)}是不同的点集，故④错误.
2.(1)由x2=1，得x=±1，∴B={-1,1}，故A=B；
(2)集合B={x|x<5}，用数轴表示集合A、B，如图所示，可以发
现AB.
(3)∵x=1+a2≥1,a∈R，
∴A={x|x=1+a2,a∈R}={x|x≥1}，
∵y=a2-4a+5=(a-2)2+1≥1，a∈R,
∴B={y|y=a2-4a+5,a∈R}={y|y≥1}.
∴A=B.
【想一想】(1)解答本题1时易出现什么错误？
(2)当集合中含有无数个元素时，判断集合间关系时常用什么方法？
提示：(1)解答本题1时易出现认为③④也正确的错误.
(2)当集合中含有无数个元素时，常用数轴分析法，借助数形结合求解.
【变式训练】指出下列集合间的关系：
(1)A={x|x=2n,n∈Z},B={x|x=4n,n∈Z};
(2)A={(x,y)|xy>0},B={(x,y)|x>0,y>0或x<0,y<0}.
【解析】(1)∵A是偶数构成的集合，B是4的倍数构成的集合，
∴BA.
(2)集合A中元素表示的是第一、三象限内的点，集合B中元素
表示的也是第一、三象限内的点，所以A=B.
确定集合的子集、真子集
【技法点拨】
子集、真子集的结论及求法
(1)与子集、真子集个数有关的四个结论
假设集合A中含有n个元素，则有：
①A的子集的个数为2n个；
②A的真子集的个数为2n-1个；
③A的非空子集的个数为2n-1个；
④A的非空真子集的个数为2n-2个.
以上结论在求解时可以直接应用.
(2)求给定集合的子集的一般方法
求给定集合的子集(真子集)时，一般按照子集所含的元素个数分类，再依次写出符合要求的子集(真子集).在写子集时注意不要忘记空集和集合本身.
【典例训练】
1.已知集合A={0，1，2}，且BA，则集合B=______.
2.已知集合A{x∈N|-1则这样的集合A共有多少个？并用恰当的方法表示这些集合.
【解析】1.∵BA，∴B是A的真子集，又A={0，1，2}，∴集
合B=或{0}或{1}或{2}或{0，1}或{0，2}或{1，2}.
答案：或{0}或{1}或{2}或{0，1}或{0，2}或{1，2}
2.这样的集合共有3个.
∵{x∈N|-1∴当A中含有1个元素时，A可以为{1}；
当A中含有2个元素时，A可以为{0，1}，{1，2}.
【互动探究】题1若将BA改为BA，其他条件不变，则
结果又如何？
【解析】由于B，所以B是非空集合，所以集合B={0}或{1}
或{2}或{0，1}或{0，2}或{1，2}.
【思考】对于集合的子集，能否将B的子集A理解为是由B的
“部分元素”组成的？
提示：不能这样理解，如是任何集合的子集，但不含任何元
素.
由集合间关系求参数问题
【技法点拨】
由集合间关系求参数的方法及关注点
(1)方法
①若集合中的元素是一一列举的，依据集合之间的关系，转化为解方程(组)求解，此时要注意集合中元素的互异性.
②若集合表示的是不等式的解集，常借助于数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到.
(2)关注点：对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解.
【典例训练】
1.(2012·郑州高一检测)已知集合A={-1，3，m2}，且B={3，
4}，B⊆A,则m=______.
2.已知集合A={x|0≤x<4},B={x|x【解析】1.由于B⊆A，则有m2=4,解得m=±2.
答案：±2
2.解题流程
【互动探究】若集合A={x|0≤x≤4}，其他条件不变，则结果又如何？
【解析】结合数轴可知，a的取值范围是{a|a>4}.
【想一想】(1)解答题1的关键点是什么？
(2)解答题2的易错点是什么？
提示：(1)解答题1的关键点是确定集合A中参数m2与集合B中的哪个元素相等.
(2)解答题2的易错点是利用数轴分析时易把端点值4漏掉.
【变式训练】若A={x|2x-a=0},B={x|-1a的取值范围是什么？
【解析】由2x-a=0,得 ,即A={ },
由题意知需满足-1< <3,解得-2{a|-2集合相等及应用
【技法点拨】
1.两集合相等具有的三个性质
(1)两个集合的元素个数相等
(2)两个集合的元素之和相等
(3)两个集合的元素之积相等
故在已知两集合相等，求参数的值时，可考虑利用上述性质列方程求解.
2.证明两个集合相等的二种方法
(1)当集合中元素较少时，可用列举法将元素列举出来，说明两集合中的元素完全相同.
(2)当集合中元素有无限个时，应从是否为子集进行判断，即A⊆B且B⊆A⇔A=B.
【典例训练】 1.设集合A={x,y}，B={0，x2},若A=B，则实数x,y分别为______.
2.设集合A={a|a=3n+2,n∈Z},集合B={b|b=3k-1,k∈Z},证明：A=B.
【解析】1.∵A=B，∴x=0或y=0.
(1)当x=0时，x2=0，此时集合B不满足互异性，舍去.
(2)当y=0时，x=x2，解得x=1或x=0(舍去)，此时A={1,0}=B，满足条件.
综上可知，x=1，y=0.
答案：1，0
2.对任意a∈A,则a=3n+2=3(n+1)-1(n∈Z)，
∵n∈Z,∴n+1∈Z,∴a∈B,故A⊆B ①
又对任意b∈B,则b=3k-1=3(k-1)+2(k∈Z),
∵k∈Z,∴k-1∈Z,
∴b∈A,故B⊆A ②
由①、②知，A=B.
【规范解答】集合包含关系中的空集问题
【典例】(12分)(2012·济南高一检测)已知集合A={x|x2-4x+3=0},B={x|mx-3=0},且B⊆A,求实数m的集合.
【解题指导】
【规范解答】据题意知集合A={1，3}，………………2分
当B=①，即m=0时，满足B⊆A.………………………4分
当B≠①，即m≠0时，B={x|mx-3=0}={ }②.………6分
∵B⊆A，∴ =1或 =3, ………………………………8分
即m=3或m=1. ……………………………………………10分
综上所述，所求m的集合为{0，1，3}. ………………12分
【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示及解题启示总结如下：(注：此处的①②见规范解答过程)
【规范训练】(12分)已知集合A={x|2若B⊆A，求实数a的取值范围.
【解题设问】(1)本题需要讨论吗？_____.
(2)若需要，应该以什么为讨论对象？怎样讨论？
由于B⊆A，集合B含参数，故需对_________________进行讨论.
需要
集合B是否为空集
【规范答题】若B=，则a≥2a,即a≤0时，满足B⊆A.…4分
若B≠，则a<2a,即a>0，…………………………………6分
要使B⊆A,需满足 解得a=2.………………………9分
∴a=2.………………………………………………………10分
综上所述，a=2或a≤0.……………………………………12分
1.集合A={机器猫，灰太狼，喜羊羊，虹猫，蓝兔}，B={卡通
形象}，则( )
(A)A=B (B)AB
(C)B⊆A (D)BA
【解析】选B.集合A中元素都是卡通形象，而卡通形象不仅仅
是这几个，故AB.
2.已知P={1}，Q={0，1，4}，下列式子不正确的是( )
(A)PQ (B)P⊆Q (C)1∈P (D)1⊆Q
【解析】选D.元素与集合之间是从属关系，不是包含关系，故D错误，其余都正确.
3.集合A={x|0≤x<4,且x∈N}的真子集的个数是( )
(A)16 (B)8 (C)15 (D)4
【解析】选C.A={x|0≤x<4,且x∈N}={0，1，2，3}，故其真子集有24-1=15个.
4.已知集合A={x|x<3},B={x|x【解析】由于A=B，结合两集合可知a=3.
答案：3
5.已知集合A={x|x-7≥2},B={x|x≥5}，化简集合A，并表示集
合A,B的关系.
【解析】 A={x|x-7≥2}={x|x≥9}，A⊆B或AB.