函数的奇偶性
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x
y
o
x
y
o

观察下列两个函数图象并思考以下问题：
（1）这两个函数图象有什么共同特征吗？
（2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？
我们得到,这两个函数图象都关于
y轴对称.从函数值对应表可以看到，
当自变量x取一对相反数时,相应的
两个函数值相同.即点(x,f(x))在图象
上,相应的点(-x,f(x))也在函数图象上。

我们能否利用函数解析式来描述函
数图象的特征呢？
y=x2
-x
x
当x1=1, x2= -1时，f(-1)=f(1)
当x1=2, x2= -2时，f(-2)=f(2)
对任意x，f(-x)=f(x)
偶函数定义：
如果对于函数定义域内的任意一个x ,都有f(-x）=f(x)。那么f(x)就叫偶函数。
再观察下列函数的图象，它们又有什么相的特点
规律呢？
y
x
x
-x
-1
1
-1
1
我们得到,这两个函数图象都关于
原点对称.从函数值对应表可以看到:
当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值相反.即点(x,f(x))在图象上,相应的点(-x,-f(x))也在函数图象上。
我们同样可以利用函数解析式来描述函数图象的这个特征。
例如：对于函数f(x)=x3
有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1
f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8
f(-x)=(-x)3=-x3
f(-1)= - f(1)
f(-2)= - f(2)
f(-x)= - f(x)
-x
x
奇函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个x ,都有f(-x）=
-f(x)。那么f(x)就叫奇函数。
思考:偶函数与奇函数图象有什么
特征呢?
偶函数的图象关于
Y轴对称.
函数y=x2的图像
偶函数的图像特征
奇函数的图像特征
函数y=x3的图像
O
奇函数的图象关于原点对称.
对于奇、偶函数定义的几点说明:
(2) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。
（3）奇、偶函数定义的逆命题也成立，
即：若函数f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立。
若函数f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。
（1） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就
是说函数f(x) 具有奇偶性。
例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.
y
x
y
x
y
x
-1
2
y
x
-1
1
偶
奇
非奇
非偶
奇
例2.判断下列函数的奇偶性:
解:(1)对于函数 ，其定义域为 ，因为对定义域内的每一个x,都有
所以函数 为奇函数。
（1）
（2）
先确定定义域,再验证f(x)与f(-x)之间的关系.
(3)
(2)对于函数 ,其定义域为

{x|x 0},定义域内每个x,都有


故f(x)为偶函数。
(3)f(x)定义域为R,定义域内每个x都有

故f(x)为奇函数.
（5）
（4）
定义域关于原 点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
定义域不关于原点对称，所以
f(x)为非奇非偶函数。
解：（4）
（5）
,故函数f(x)为既是奇函数也是偶函数。

注意：若奇函数在原点有意义，或说奇函数图
像经过原点，则
奇函数
偶函数
既奇又偶函数
非奇非偶函数
根据奇偶性, 函数可划分为四类:
判断函数奇偶性步骤:
(1)先确定函数定义域,并判断
定义域是否关于原点对称;
(2)确定f(x)与f(-x)的关系;
(3)作出结论.
若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,
则f(x)是偶函数;
若f(-x)= - f(x)或f(-x)+f(x)=0,
则f(x)是奇函数.
思考1：函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是偶函数吗？
x
y
0
1
2
f(x)=2x+1
-1
分析：函数的定义域为R
但是f(-x)=2(-x)+1
= -2x+1
∴ f(-x) ≠ - f(x)且f(-x) ≠ f(x)
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数。（也称为非奇非偶函数）
如右图所示：图像既不关于原点对称也不关于y轴对称。
思
考：
小结：
奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内，把任意一个x换成-x，(x,-x均在定义域内）
①若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数；
②若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。
定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必
要条件。
性质: 奇函数的图象关于原点对称;
偶函数的图象关于y轴对称.
判断奇偶性方法：图象法，定义法。
y
x
-1
1
-1
1
-x
x
x
-1
1
-1
1
-x
x