1．3.2　奇偶性
第1课时　函数奇偶性的概念
1．轴对称图形：如果一个图形上的任意一点关于某一条____的对称点仍是这个图形上的点，
就称该图形关于该直线成轴对称图形，这条直线称作该轴对称图形的______．
2．中心对称图形：如果一个图形上的任意一点关于某一点的对称点仍是这个图形上的点，就称该图形关于该点成中心对称图形，这个点称作该中心对称图形的_________．
直线
对称轴
对称中心
3．点P(x，f(x))关于原点的对称点P1的坐标为_____________，关于y轴对称点的点P2的坐标为__________．
(－x，－f(－x))
(－x，f(x))
原点
y轴
函数的奇偶性
有f(－x)＝
f(x)
f(－x)＝－f(x)
1．函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)的奇偶性是(　　)
A．奇函数　　　
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数，又是偶函数
解析：　函数定义域不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数．
答案：　C
答案：　D
3．设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝________.
答案：　－1
解析：　(1)f(x)的定义域为R，
且满足f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，
从而可知f(x)为偶函数；
[题后感悟]　(1)利用定义判断函数的奇偶性要注意以下几点：
①必须首先判断f(x)的定义域是否关于原点对称；
②有些函数必须根据定义域化简后才可判断，否则可能无法判断或判断错误．如本例(4)中，若不化简可能会判断为偶函数．注意下面变式训练中的第(4)小题．
③若判断一个函数为非奇非偶函数，可以举一个反例即可．
(2)判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：
①定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．
②图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．
另外，还有如下性质可判定函数奇偶性：
偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数，奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用以上结论时要注意各函数的定义域 )
解析：　(1)函数定义域为R.
f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
(2)函数的定义域为{x|x≠－1}．不关于原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(3)f(x)的定义域是R，
又f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)判断分段函数奇偶性的注意事项：
①根据－x所属区间进行分类讨论，只不过经过转化最后变成了先写x的所属区间；
②f(－x)与f(x)需用不同分段上的解析式，因为－x与x所属区间不同；
③定义域内的x值应讨论全面，不能遗漏．
解析：　当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝－x－1＝－(x＋1)＝－f(x)，
另一方面，当x＞0时，－x＜0，
f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)＝－f(x)，
而f(0)＝0，∴f(x)是奇函数．
解析：　①当x>0时，－x<0
f(－x)＝－x－2＝f(x)
②当x<0时，－x>0
f(－x)＝－(－x)－2＝x－2
＝f(x)
③当x＝0时，f(－x)＝0＝f(x)
∴f(x)是偶函数．
[解题过程]　函数定义域为R，其定义域关于原点对称．
∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
∴令y＝－x，
则f(0)＝f(x)＋f(－x)，
再令x＝y＝0，
则f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
[题后感悟]　如何判断抽象函数的奇偶性？
①明确目标：判断f(－x)与f(x)的关系；
②用赋值法在已知抽象关系中凑出f(－x)与f(x),如本例中令y＝－x；
③用赋值法求特殊函数值，如本例中令x＝y＝0,求f(0)．
证明：　令x＝0，y＝x，
则f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x)①
又令x＝x，y＝0得
f(x)＋f(x)＝2f(x)·f(0)②
①②得f(－x)＝f(x)
∴f(x)是偶函数．
1．准确理解函数奇偶性定义
(1)①偶函数(奇函数)的定义中“对D内任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)(f(－x)＝－f(x))”，这表明f(－x)
与f(x)都有意义，即x、－x同时属于定义域．因此偶(奇)函数的定义域是关于坐标原点对称的．也就是说，定义域关于坐标原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
②存在既是奇函数又是偶函数的函数，即f(x)＝0，x∈D，这里定义域D是关于坐标原点对称的非空数集．
(2)函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数．
【错因】　没有考察函数定义域的对称性．
【正解】　因为函数f(x)的定义域－1≤x<1不关于原点对称，故此函数为非奇非偶函数.
练规范、练技能、练速度