3．1.2　用二分法求方程的近似解
1．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调增函数，则b的取值范围为_____.
2．函数y＝(x－1)(x2－2x－3)的零点为_______.
3．方程log2x＋x2＝2的实数解的个数为__.
b≥0
－1,1,3
1
1．二分法的定义
对于在区间[a，b]上________且__________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_________，使区间的两个端点逐步逼近_____进而得到零点的近似值的方法，叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可以用二分法求方程的近似解．
连续不断
f(a)·f(b)<0
一分为二
零点
2．二分法的步骤
给定精确度ε，用二分法求f(x)零点近似值的步骤如下：
(1)确定区间[a，b]，验证___________，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则________________；
②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈______；
③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈______．
(4)判断是否达到精确度ε：即若________，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
f(a)·f(b)<0
c就是函数的零点
(a，b))
(c，b))
|a－b|<ε
解析：　由题意知选C.
答案：　C
2．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下：
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为(　　)
A．1.5 B．1.4
C．1.3 D．1.2
解析：　∵|1.437 5－1.375|＝0.062 5＜0.1
∴f(x)的零点近似值可取1.437 5≈1.4或1.375≈1.4.
答案：　B
3．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________次．
解析：　区间长度为0.1，等分1次区间长度变为0.05，等分2次，区间长度变为0.025，等分3次，区间长度变为0.012 5，等分4次，区间长度变为0.00625<0.01.符合条件．
答案：　4
[解题过程]　利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．
答案：　B
[题后感悟]　二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点的两侧的函数值异号才能求解，所以理解好零点存在定理才能正确地使用二分法．
解析：　须符合连续不间断且零点附近对应函数值符号相异，故选B.
答案：　B
[解题过程]　令f(x)＝2x3＋3x－3，
经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，
即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如下表：
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．
(2)二分法中对结果要求的“精确度”与“精确到”有何区别？
精确度为0.1，是指二分法停止二分区间时，区间[a，b]的长度|b－a|<0.1，此时a(或b)即为零点近似值．而精确到0.1，是指a，b四舍五入精确到0.1的近似值相同，这个相同的近似值即为零点近似值．
解析：　作出y＝lg x，y＝3－x的图象可以发现，方程lg x＝3－x有唯一解，记为x0，并且解在区间(2,3)内．
设f(x)＝lg x＋x－3，用计算器计算，得f(2)<0，f(3)>0，
∴x0∈(2,3)；
f(2.5)<0，f(3)>0⇒x0∈(2.5,3)；
f(2.5)<0，f(2.75)>0⇒x0∈(2.5,2.75)；
f(2.5)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.5,2.625)；
f(2.562)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.562,2.625)．
∵|2.625－2.562|＝0.063<0.1
∴方程的近似解可取为2.625(不唯一)．
[题后感悟]　(1)本题考查函数零点个数问题，这个知识点主要包括以下几个类型：
①一元二次方程通常用判别式来判断根的个数．
②指数函数和对数函数等函数的零点个数问题我们一般用图象来解决．
(2)利用函数的单调性来判断函数零点的个数．如果已知函数f(x)在其定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
解析：　设y1＝log2x，y2＝4－x
则f(x)的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象
由图知，y1与y2在区间(2,3)有一个交点
当x＝2时，y1＝1，y1＝2
当x＝3时，y1＝log23>1，y2＝1
∴在(2,3)内两曲线有一个交点．
∴函数f(x)＝log2x＋x－4只有一个零点．
1．准确理解“二分法”的含义
顾名思义，二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．运用二分法求方程f(x)＝0的实数解应注意以下几点
(1)条件：函数y＝f(x)的图象在[a，b]上为一条连续曲线，且f(a)·f(b)＜0时，方可使用二分法．
(2)技巧：①在选择实数解所在的大致区间时，应尽可能地使其长度越小越好．
②利用表格展现二分法求方程实数解的过程时，表格一般可分为三列：第一列是运算次数；第二列是左端点值；第三列是右端点值．后两列决定了运算的终止与否，当左端点与右端点满足要求精确度的近似值相同时，即可终止运算．
◎用二分法求方程x2－5＝0的一个非负近似解(精确度为0.1)．
【错解】　令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝2.22－5＝－0.16<0，
f(2.4)＝2.42－5＝0.76>0，
所以f(2.2)·f(2.4)<0，
说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，
f(2.3)＝2.32－5＝0.29，
因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)，
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25.
f(2.25)＝0.062 5，
因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25)，
同理可得x0∈(2.225,2.25)，(2.225,2.237 5)，
又f(2.225)≈－0.049 4，f(2.237 5)≈0.006 4，
且|0.006 4－(－0.049 4)|＝0.055 8<0.1，
所以原方程的近似正解可取为2.225.
【错因】　本题错解的原因是对精确度的理解不正确，精确度ε满足的关系式为|a－b|<ε，而本题错解中误认为是|f(a)－f(b)|<ε.
【正解】　令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0，
所以f(2.2)·f(2.4)<0，
说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，
f(2.3)＝0.29，
因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)，
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，
f(2.25)＝0.062 5，
因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25)，
由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，
所以原方程的近似正解可取为2.25.
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