1．3.2　球
的
体
积
和
表
面
积
新知全景扫描
案例全程导航
训练全程跟踪
1．3.2
球的体积和表面积
如果一个球的表面积变为原来的2倍，那么它的半径变为原来的__________倍，体积变为原来的________倍．
1.球的体积是球体所占空间的大小的度量，设球的半径为R，
它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数即
V＝ πR3.
2．球的表面积是对球的表面大小的度量，它也是球半径的
函数即S＝4πR2.
3．求球的表面积和体积关键是求出球的半径，为此常考虑
球的轴截面．
一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积和体积．
[提示]　因为题中并没有说明两个平行截面是在球心的两侧，还是同侧，因此解题时应分类讨论．
[解] (1)当截面在球心的同侧时，如图所
示为球的轴截面．由球的截面性质，知
AO1∥BO2，且O1、O2分别为两截
面圆的圆心，则OO1⊥AO1，
OO2⊥BO2.
设球的半径为R.
∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7.
同理，π·O1A2＝400π，∴O1A＝20.
球通常可以与其他空间几何体构成一个组合体，主要包括“内切”和“外接”等有关的问题，像长方体内接于球，正方体内接于球，正四面体内接于球，球内切于正方体，球内切于正四面体，球内切于圆台等组合体．解决这类问题的关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．
如图所示，直角梯形O2BAO1
内有一个内切半圆O，把这个平面
图形绕O1O2旋转一周得到圆台内有
一个内切球，已知圆台全面积与球
面积的比是k(k＞1)，求它们的体积比．
[提示]　本题求解需要的量比较多，可采用设而不求的方法，即先设出有关量，通过已知建立关系，作比约去参数，即得结果．
2．若半球内有一内接正方体，则这个半球的表面积与正
方体的表面积之比是 (　　)
A．5π∶12　　　　　 B．5π∶6
C．2π∶3 D．3π∶4
解析：正方体内接于半球，即正方体的四个顶点在半球面上，另外四个顶点在半球的底面圆上．如图所示的是内接正方体的对角面，
答案：D
球是非常常见的空间几何体，应用比较广泛，特别在实际生活中，应用球的表面积和体积公式解决问题的例子更是普遍．
如图所示，一个圆锥形的空杯
子上放着一个直径为8 cm的半球形的
冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形
杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的
直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋
融化后不会溢出杯子，怎样设计最省
材料？
[提示]　应使半球的体积小于或等于圆锥的体积．可先设出圆锥的高，再求其侧面积．
3．一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm，瓶里所装的
水深为8 cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm.求钢球的半径．
设球O的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别是3和4，求圆台的体积．
[错因]　题目没有给出圆台的两底面及球心的具体位置，上面解法只是一种情况，另一种情况是两底面在球心的两侧．