2.1.2空间中直线与直线
之间的位置关系
平面内两条直线的位置关系
复习引入
螺 母
新课探究
观察下列图形，说说空间中两条直线的位置关系
探究一
立交桥
思考：存在不存在一个平面同时过上面两条直线？
1.异面直线的定义
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
1)异面直线既不平行也不相交
一、空间两条直线的位置关系
2)定义中“任何”是指两条直线永远不具备确定平面的条件，即是不可能找到一个平面同时包含这两条直线；
分别在两个平面内的两条直线就叫异面直线,对吗？
a与b是相交直线
a与b是平行直线
a与b是异面直线
它们可能异面，可能相交，也可能平行。
说明: 画异面直线时 , 为了体现
它们不共面的特点。常借
助一个或两个平面来衬托.
如图：
(1)
(3)
(2)
3）异面直线的画法
4）异面直线的判定方法：
①不同在任何一个平面内。
②既不相交也不平行的直线。
判定定理：过平面内一点与平面外一点
的直线，和这个平面内不经过
该点的直线是异面直线。
按平面基本性质分
同在一个平面内
相交直线
平行直线
不同在任何一个平面内:
异面直线
有一个公共点:
按公共点个数分
相交直线
无 公 共 点
平行直线
异面直线
2 、空间中直线与直线之间的位置关系
D1C1、C1C、CD、
D1D、AD、B1C1
A1
B1
C1
D1
C
B
D
A
如图所示：正方体的棱所在的直线中，
直线A1B异面的有哪些？
练习1
在长方体ABCD-EFGH中
平行
相交
异面
② BD 和FH是 直线
① EC 和BH是 直线
③BH 和DC是 直线
(2).与 体对角线BH 所在直线异面的棱共有 条?
分别是 ：CG、GF、FE、EA、AD、DC
(1)说出以下各对线段的位置关系?
练习2
6
二、空间直线的平行关系
若a∥b，b∥c，
则 a∥c。
公理4的作用：它是判断空间两条直线平行的依据
公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．
a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ …
二.空间直线的平行关系：
例1.已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC， CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证：EFGH是一个平行四边形。

 证明：连结BD
∵ EH是△ABD的中位线
∴EH ∥BD且EH = BD
同理，FG ∥BD且FG = BD
∴EH ∥FG且EH =FG
∴EFGH是一个平行四边形
如果再加上条件AC = BD,那么四边形EFGH是什么图形？
在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的
两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结
论是否仍然成立呢？
定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补．
观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 ,
∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小
关系如何?
问：这两个角什么时候相等，什么时候互补？
三.异面直线所成的角
在平面内,两条直线相交成四
个角, 其中不大于90度的角称为它
们的夹角, 用以刻画两直线的错开
程度, 如图.
在空间,如图所示, 正方体ABCD－EFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画呢?
问题提出
复习回顾
解决问题
异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).
O
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变?
答 :
这个角的大小与O点的位置无关.
说明：
1、分别平行于两条异面直线的两条相交直线所成的
锐角（直角）叫做两异面直线所成的角
2、定义由等角定理解释：
为了简便，在求作异面直线所成的角时,O点 常选在其中的一条直线上 (如线段的端点,线段的中点等)
如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。
3、特例：
探究？
如图，观察长方体
ABCD-A1B1C1D1，找出与棱AB
所在直线异面且互相垂直的棱.
（2）如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直，
另一条直线是否与这条直线垂直？
（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
CC1、B1C1、DD1、A1D1
如果两平行线中一条与某条直线垂直，
那么另一条也与这条直线垂直。
否
平行、相交、异面
求异面直线所成的角的步骤是:
一作(找)：作（或找）平行线
二证：证明所作的角为所求的异
面直线所成的角。
三求：在一恰当的三角形中求出角
4、异面直线所成的角：空间问题平面化。
5、求异面直线所成的角的基本法则：
作平行线，构三角形
例2
如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求 (1)AE与BC所成的角？ (2)BE与CG所成的角？
(3)FO与BD所成的角？ (4)EC与BD所成的角？
连接HA、AF，
(3)连接FH，
∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD
∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角
则AH=HF=FA
∴ △AFH为等边△
(4)EC与BD所成的角？
M
如图，空间四边形ABCD中,对角线 AC=10,BD=6,点M,N分别是AB,CD的中点,且MN=7.求:异面直线AC和BD所成角及其余弦值分别为多少.
.
G
例3

解答：
课堂练习
课堂小结
解：分别取AB、BC、CD、BD的中点，E、F、G、H，连接EF、FG、GH、EH、EG，
1
P
2