2. 2.4　平面与平面平行的性质
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学习目标
重点难点　
重点: 对面面平行性质定理的理解.
难点: 空间平行关系的相互转化.
1. 平面与平面平行的性质定理
(1)文字语言: 如果两个平行平面同时和第三个平面_______, 那么它们的交线________.
(2)符号语言: α______β, α∩γ＝a, β∩γ＝b⇒a_______b.
(3)图形语言:
相交
平行
∥
∥
想一想
两个平面平行, 那么, 两个平面内的所有直线都相互平行吗？
提示: 不一定. 它们可能异面.
做一做
1.若α∥β, a⊂α, b⊂β, 下列几种说法中正确的是(　　)
①a∥b;
②a与β内无数条直线平行;
③a与β内的任何一条直线都不垂直;
④a∥β.
A. ①②　 B. ②④
C. ②③ D. ①③④
解析: 选B.②④正确.
2. 平面α∥平面β, 点A、C∈α, 点B、D∈β,
则能得到直线AC∥直线BD的是(　　)
A. AB＝CD B. AD＝CB
C. AC＝BD D. A、B、C、D四点共面
解析: 选D.由面面平行的性质可知,
当A、B、C、D四点共面时,
AC∥BD.
题型一　面面平行的性质定理的理解
若平面α∥平面β, 直线a⊂α, 点B∈β, 则在β内过点B的所有直线中(　　)
A. 不一定存在与a平行的直线
B. 只有两条与a平行的直线
C. 存在无数多条与a平行的直线
D. 存在唯一一条与a平行的直线
【解析】　∵α∥β,
∴两平面无公共点,
∵a⊂α, B∈β, ∴B∉a,
∴过a与B可以确定一个平面γ, 且B∈γ,
设γ∩β＝l, 则r∩α＝a, 由面面平行的性质定理可知a∥l, ∴选D.
【答案】　D
【名师点评】　
面面平行等平行关系的本质在于无公共点,
抓住此点, 平行关系的辨析则可应付自如.
变式训练
1. 下列命题中不正确的是(　　)
A. 两个平面α∥β, 一条直线a∥α, 则a∥β
B. 两个平面α∥β, 则α内任一条直线都平行
于β
C. 一个三角形有两条边所在直线平行于一
个平面, 那么三角形所在的平面与这个平面
平行
D. 分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行或异面直线
解析: 选A.对于A, 可能a∥β, 或a⊂β, 故A不正
确; 对于B, 依据面面平行性质可知B是正确
的; 对于C, 由于三角形的两边所在直线相交,
所以据面面平行判定定理可知是正确的; 对于D, 由面面平行及直线位置关系定义可知也是正确的, 故选A.
题型二　由面面平行证线线平行
如图, 平面四边形ABCD的四个顶点
A、B、C、D均在平行四边形A′B′C′D′所确定
的平面α外, 且AA′、BB′、CC′、DD′互相平行
求证: 四边形ABCD是平行四边形.
【证明】　在▱A′B′C′D′中, A′B′∥C′D′,
∵A′B′⊄平面C′D′DC, C′D′⊂平面C′D′DC,
∴A′B′∥平面C′D′DC.
同理A′A∥平面C′D′DC.
又A′A∩A′B′＝A′,
∴平面A′B′BA∥平面C′D′DC.
∵平面ABCD∩平面A′B′BA＝AB,
平面ABCD∩平面 C′D′DC＝CD,
∴AB∥CD.
同理AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
【名师点评】　本题由线∥线⇒线∥面⇒
面∥面⇒线∥线⇒平行四边形.
变式训练
2. 如图, 已知α∥β, 点P是平面α, β外的一点, 直线PB, PD分别与α, β相交于点A, B和C, D.
求证: AC∥BD.
证明: ∵PB∩PD＝P,
∴直线PB和PD确定一个平面γ,
则α∩γ＝AC, β∩γ＝BD.
又α∥β, ∴AC∥BD.
题型三　由面面平行证线面平行
(本题满分10分)如图, 正方体ABCD
－A′B′C′D′中, 点E在AB′上, 点F在BD上, 且
B′E＝BF.求证: EF∥平面BB′C′C.
【思路点拨】
名师微博
1.利用线面平行判定定理.
2.利用面∥面性质得线∥线.
【名师点评】　法一利用了线面平行的判定
定理: 在平面BB′C′C中找到与EF平行的线
B′M.法二利用了面∥面的性质: 找过EF的
平面与BB′C′C平行.
变式训练
3. 已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段, AC⊂平面β, M、N分别为AB、CD的中点.
求证: MN∥平面α.
证明: ①若AB、CD在同一平面内,
则平面ABDC与α、β的交线为AC、BD.
∵α∥β, ∴AC∥BD.
又M、N为AB、CD中点, ∴MN∥BD.
∵BD⊂平面α, ∴MN∥平面α.
②若AB、CD异面, 如图, 过A作AE∥CD交α于点E, 取AE中点P, 连结MP、PN、ED、BE.
∵AE∥CD, ∴AE、CD确定平面AEDC.
则平面AEDC与α、β的交线为ED、AC.
∵α∥β, ∴AC∥ED.
又P、N分别为AE、CD的中点,
∴PN∥ED. ∴PN∥α.
同理可证MP∥BE,
∴MP∥α. ∴平面MPN∥平面α.
又MN⊂平面MPN, ∴MN∥平面α.
如图, 已知: 平面α∥平面β, A、C∈α,
B、D∈β, AC与BD为异面直线, AC＝6,
BD＝8, AB＝CD＝10, AB与CD成60°的角, 求AC与BD所成的角.
2. 如图, 三棱柱ABC－A1B1C1中, O为AC的中
点. 在BC1上确定一点E, 使得OE∥平面A1AB,
并说明理由.
解: E为BC1的中点.
取BC的中点F, 连结OF, EF, OE.
可得OF∥AB, EF∥BB1, 所以平面OEF∥平面A1AB.
所以OE∥平面A1AB.
方法技巧
1. 证明线面平行的方法
(1)应用线面平行的定义;
(2)应用线面平行的判定定理;
(3)应用面面平行的性质定理, 即“两个平面平行时, 其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面. ”
2. 三种平行关系间的转化
线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的, 可以进行任意转化, 相互间的转化关系如下:
因此要判定某一平行关系的过程就是从一平行关系出发不断转化的过程, 在证明问题时
要切实把握这一点, 灵活地确定转化思路和
方向.
失误防范
使用线面平行的性质时, 要作出(寻找)第三个
平面, 出现两平面的交线才可, 一般不能在两平面内画线就认为平行.
本部分内容讲解结束
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