【课标要求】
1．理解线面垂直的定义，了解平面的垂线、斜线．
2．掌握线面垂直的判定定理．
3．理解直线与平面所成的角.
【核心扫描】
1．运用线面垂直的判定定理证明线面垂直．(重点)
2．线面角的计算．(难点)
2.3.1 直线与平面垂直的判定
2.3　直线、平面垂直的判定及其性质
(1)定义：若直线l与平面α内的_________直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直．记作_________．
(2)相关概念：直线l叫做平面α的_____ ．平面α叫做直线l的_____ ．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫做_____ ．
(3)画法：通常把直线画成与表示平面的四边形的一边垂直．
新知导学
1．直线与平面垂直
任意一条
l⊥α
垂线
垂面
垂足
温馨提示：(1)由定义可知，若直线与平面垂直，则直线与平面内的任意一条直线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.这就为证明线线垂直提供了一种重要的方法．
(2)重要结论：过一点和已知平面垂直的直线只有一条．
语言表示：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
图形表示：如图．
符号表示：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝O⇒l⊥α.
2．直线与平面垂直的判定定理
温馨提示：(1)判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．
(2)直线和平面垂直的判定定理可简述为“线线垂直，则线面垂直”，作用是由线线垂直⇒线面垂直．
要判定一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的．
(3)推论：①两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
②若一条直线与两平行平面中的一个面垂直，则它与另一个平面也垂直．
(1)斜线、斜足、斜线在平面上的射影：
如图所示，一条直线PA和一个平面α相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A
3．直线与平面所成的角
叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO(线段PO的长叫做点P到平面α的距离)，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．
(2)直线与平面所成的角
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
温馨提示：线面角的范围是0°≤θ≤90°：
①直线和平面垂直时，直线与平面所成的角是直角，即为90°；
②直线和平面平行或直线在平面内时，则直线与平面所成的角是0°.
(2)若直线l与平面α内的所有直线都垂直，直线l与平面α垂直吗？
提示　(1)不一定垂直．l与α可能平行、相交(垂直是相交的特例)也可能l在α内．
(2)垂直．“平面α的任一直线”与“平面内所有直线”等价．
(2)平面α的斜线l与α内的直线所成角的最小角是直线l与平面α所成的角吗？最大角为多少度？
提示　(1)直线与平面垂直；(2)是，90°.
互动探究
探究点1 (1)若直线l与平面α内的无数条直线都垂直，直线l与平
面α垂直吗？
探究点2 (1)若一条直线与平面内所有直线所成的角都相等，这
条直线与该平面有什么关系？
类型一　对线面垂直定义及判定定理的理解
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④若平面α内有一条直线与直线l不垂直则直线l与平面α不垂直．
[思路探索]　利用线面垂直的定义并结合反例法，反证法判断．
【例1】 下列命题中，正确的序号是________．
解析　当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确．根据线面垂直的定义，若l⊥α则l与α的所有直线都垂直，所以④正确．
答案　③④
[规律方法]　(1)线面垂直的定义不易用来判定线面垂直，但能利用它判定线面不垂直．
(2)要注意定义的等价性．
①若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l与α的所有直线垂直；③过一点和已知直线垂直的平面有且只有一个；④a、b为异面直线，a∥α，b∥α，若l⊥a，l⊥b，则l⊥α.
解析　②③④正确，①不正确．
答案　①
【活学活用1】 下列命题错误的是________(填序号)．
【例2】 如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点．
求证：AD⊥平面A1DC1.
类型二　线面垂直的判定
[思路探索]　利用勾股定理逆定理，判定出AD⊥DA1，再证A1C1⊥平面BA1，由线面垂直定义得AD⊥A1C1最后用线面垂直判定证明AD⊥平面A1DC1.
证明　∵AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，
∴AA1⊥平面A1B1C1，
∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°，
∴A1C1⊥A1B1而A1B1∩AA1＝A1，
∴A1C1⊥平面AA1B1B，AD⊂平面AA1B1B，
∴A1C1⊥AD.
[规律方法]　证线面垂直的方法有三类
(1)线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．
(2)平行转化法(利用推论)：
①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；
②α∥β，a⊥α⇒b⊥α.
(3)利用面面垂直的性质(在后面2、3、4节)
【活学活用2】 如图，已知四棱锥S ­ABCD的各条棱长都相等，点P∈SC，点Q∈SB，R∈SD，并且PC＝2SP，SQ＝2QB，SR＝2RD.
求证：SC⊥平面QPR.
证明　如题图，在侧面SBC中，
∵SB＝SC＝BC，∴△SBC是等边三角形，
∴∠PSQ＝60°.
由已知PC＝2SP，SQ＝2QB，∴在△SPQ中，SQ＝2SP，
∴△SPQ是直角三角形，从而得SP⊥PQ
同理，SP⊥PR，又PQ∩PR，∴SC⊥平面QPR.
【例3】 如图所示，三棱锥A－SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线AS与平面SBC所成的角．
类型三　求直线与平面所成的角
[思路探索] 确定AS在平面SBC上的射影是关键，
即找过A点的平面SBC的垂线．
解　因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB与△SAC都是等边三角形．因此AB＝AC.
如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，
则AD⊥BC.
[规律方法]　求线面角的基本过程是“一作(线面角)”、二证(证明是线面角)、三计算(在三角形中求解)，但要注意找斜线上的特殊点以利计算．
【活学活用3】 已知四面体A­BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正弦值．
解　过点A作AO⊥平面BCD，连接OD，OB，OC，可知O是△BCD的中心．作QP⊥OD，如图所示．
∵QP∥AO，∴QP⊥平面BCD.
连接CP，则∠QCP即为所求的角．
设四面体的棱长为a，
点到平面的距离就是通过该点作平面的垂线段的长度，求点到平面的距离可以：①直接通过该点作平面的垂线，在三角形内，解直角三角形求出该点到垂足的距离；②由棱锥的体积是底面面积乘高的三分之一得到，棱锥的高实际就是棱锥的顶点到底面的距离，通过等体积转换得到点到平面的距离．
方法技巧　点到平面距离的求法
【示例】 如图所示，已知P为△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两垂直，PA＝PB＝PC＝a，求点P到平面ABC的距离．
[思路分析]　 由条件易知，P在底面上的射影是底面正三角形的中心，可用直接法求解．
解　法一　过P作PO⊥平面ABC于点O，连接AO，BO，CO，
则PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC.
因为PA＝PB＝PC＝a，
所以△PAO≌△PBO≌△PCO，
所以OA＝OB＝OC，所以O为△ABC的外心．
因为PA，PB，PC两两垂直，
[题后反思] 点到平面的距离
(1)直接法：直接由点向平面作垂线，求垂线段的长．
(2)转移法：转化成求另一点到该平面的距离
(3)等积转化法：把点到平面的距离看作是一个三棱锥的高，利用三棱锥的每个面都可以作为底面、体积不变的原理，求出这条高.
1．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是 (　　)．
A．平行 B．垂直相交
C．垂直但不相交 D．相交但不垂直
课堂达标
解析　连接AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．
答案　C
2．线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为 (　　)．
A．30° B．45°
C．60° D．120°
答案　C
3．已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的________．
解析　P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等，所以是外心．
答案　外心
4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________．
解析　在正方体ABCD­A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，
∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角，所以∠B1AB＝45°.
答案　45°
1．直线和平面垂直的判定方法：
(1)利用线面垂直的定义；
(2)利用线面垂直的判定定理；
(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.
2．线线垂直的判定方法：
(1)异面直线所成的角是90°；
(2)线面垂直，则线线垂直．
3．求线面角的常用方法：
(1)直接法(一作二证三计算)；
(2)转移法(找过点与面平行的线或面)；
(3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法)．
课堂小结