§2.4
匀变速直线运动的位移和速度关系
复习
1、匀变速直线运动的位移公式
公式的适应范围---匀变速直线运动
2.匀变速直线运动的速度公式
[例1]射击时,燃气膨胀推动弹头加速运动。若把子弹在枪筒中的运动看做匀加速直线运动，设子弹的加速度a=5×105m/s2，枪筒长x=0.64m，求子弹射出枪口时的速度。
解：以子弹射出枪口时速度v方向为正方向
一、匀变速直线运动位移与速度的关系
注意
1.该公式只适用匀变速直线运动
2.该公式是矢量式，有大小和方向
3因为υ0、v、α、x均为矢量，使用公式时应先规定正方向。（一般以υ0的方向为正方向）若物体做匀加速运动,a取正值,若物体做匀减速运动,则a取负值.
4.（1）当v0=0时，v2=2ax
物体做初速度为零的匀加速直线运动，如自由下落问题.
（2）当v=0时，
物体做匀减速直线运动直到静止，如刹车问题.
例2.汽车以10m/s的速度行驶，刹车后的加速度大小为3m/s2,求它向前滑行12.5m,后的瞬时速度？
解：以汽车的初速度方向为正方向，则：
v0=10m/s, a=-3m/s2, x=12.5m
由v2-v02=2ax得 v2=v02+2ax=102+2×(-3) ×12.5=25
所以v1=5m/s 或v2=-5m/s(舍去)
即汽车向前滑行12.5m后的瞬时速度大小为5m/s,方向与初速度方向相同。
二 匀变速直线运动的三个推论
1
2：在匀变速直线运动中，某段位移中间位置的瞬时速度vx/2与这段位移的初速度v0和末速度v之间的关系：
推导：由v2-v02=2ax
及vx/22-v02=2a(x/2)
可以证明：无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，都有唯一的结论，即：
3在连续相邻的相同时间内的位移之差是定值，即
· · · · · ·
0
1
2
3
4
5
x1
x2
x3
x4
x5
应用
（1）判断物体是否做匀加速直线运动
（2）逐差法求加速度
以下为一做匀加速的纸带选取的7个计数点，相邻两点间的时间为T，位移测量如图，求其加速度？
由此看出，此法在取平均值的表象下，实际上只有s1和s6两个数据被利用，其余的数据s2、s3、s4、s5都没有用，因而失去了多个数据正负偶然误差互相抵消的作用，算出的结果的误差较大。
怎样才能把所有测量数据都利用起来呢？
（1）逐差法对偶数段数据的处理
（2）逐差法对奇数段数据的处理
舍去s3.
奇数段应舍去一段长度数据，而变成偶数段，按误差最小分析，理应舍去正中间一段。
例.有一个做匀变速直线运动的质点它在最初两端连续相等的时间内通过的位移分别为24m和64m,连续相等的时间为4s,求质点的加速度和初速度？
规律总结：对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔条件，应优先考虑用Δx＝aT2求解．
匀变速直线运动主要规律
速度与时间关系式：
位移与时间关系式：
速度----位移关系式：
平均速度公式：
推论公式
四个比例式：物体做初速为零的匀加速直线运动，几个常用的比例式：
（1）1T秒末、2T秒末、3T秒末……瞬时速度 之比

(2) 1T内、前2T内、前3T内……位移之比

(3)第1T内、第2T内、第3T内……位移之比

(4)通过连续相等位移所用时间之比
练习1：一物体做初速为零的匀加速直线运 动。求：
（1）1秒末、2秒末、3秒末……瞬时速度 之比
(2) 前1秒、前2秒、前3秒……位移之比
由位移公式
(3)第一秒、第二秒、第三秒……位移之比
(4)通过连续相等位移所用时间之比
如图,物体从A点开始做初速为零的匀加速直线运动, AB、BC、CD……距离均为d，求物体通过AB，BC，CD……所用时间之比
故：
练习2
物体从静止开始作匀加速直线运动，则其第1s末的速度与第3秒末的速度之比是 ；第3s内的位移与第5s内的位移之比是 ； 若第1s的位移是3m，则第3s内的位移是 m。
1：3
5：9
15
解题技巧
练习3：某物体从静止开始做匀加速直线运动，经过4s达到2m/s，然后以这个速度运动12s最后做匀减速直线运动，经过4s停下来。求物体运动的距离。
x = 1/2（ 12+20 ）×2 = 32 m
总结
匀变速直线运动主要规律
一、两个基本公式：
速度与时间关系式：
位移与时间关系式：
1.
2和3
4.
二、六个个推论
逆向思维法
5.
6.
三.4个常用比例式。
四.一个解题技巧---图像法
（1）1秒末、2秒末、3秒末……瞬时速度 之比

(2) 前1秒、前2秒、前3秒……位移之比

(3)第一秒、第二秒、第三秒……位移之比

(4)通过连续相等位移所用时间之比
③一般应该先用字母代表物理量进行运算，得出用已知量表达未知量的关系式，然后再把数值代入。 这样做能够清楚地看出未知量与已知量的关系，计算也比较简便。
①运动学公式较多，故同一个题目往往有不同求
解方法。
②为确定解题结果是否正确，用不同方法求解是一有效措施。
点拨：
追及和相遇问题
必修1 第二章 直线运动专题
“追及和相遇”问题
两个物体同时在同一条直线上（或互相平行的直线上）做直线运动，可能相遇或碰撞，这一类问题称为“追及和相遇”问题。
“追及和相遇”问题的特点：
（1）有两个相关联的物体同时在运动。
（2）“追上”或“相遇”时两物体同时到达空间同一位置。
[例1]：一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
方法一：物理分析法
当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。设经时间t两车之间的距离最大。则
[探究]：汽车经过多少时间能追上自行车?此时汽车的速度是多大?汽车运动的位移又是多大？
方法二：图象法
解;画出自行车和汽车的速度-时间图线，自行车的位移x自等于其图线与时间轴围成的矩形的面积，而汽车的位移x汽则等于其图线与时间轴围成的三角形的面积。两车之间的距离则等于图中矩形的面积与三角形面积的差，不难看出，当t=t0时矩形与三角形的面积之差最大。
V-t图像的斜率表示物体的加速度
当t=2s时两车的距离最大
动态分析随着时间的推移,矩形面积(自行车的位移)与三角形面积(汽车的位移)的差的变化规律
方法三：二次函数极值法
设经过时间t汽车和自行车之间的距离Δx，则
[探究]：汽车经过多少时间能追上自行车?此时汽车的速度是多大?汽车运动的位移又是多大？
方法四：相对运动法
选自行车为参照物，则从开始运动到两车相距最远这段过程中，以汽车相对地面的运动方向为正方向，汽车相对此参照物的各个物理量的分别为：v0=-6m/s，a=3m/s2，vt=0
对汽车由公式
[探究]：xm=-6m中负号表示什么意思？
对汽车由公式
以自行车为参照物,公式中的各个量都应是相对于自行车的物理量.注意物理量的正负号.
表示汽车相对于自行车是向后运动的,其相对于自行车的位移为向后6m.
[例2]：A火车以v1=20m/s速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2=10m/s速度匀速行驶，A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞，a应满足什么条件？
两车恰不相撞的条件是两车速度相同时相遇。
由A、B 速度关系：
由A、B位移关系：
(包含时间关系)
方法一：物理分析法
方法二：图象法
解:在同一个V-t图中画出A车和B车的速度图线，如图所示.火车A的位移等于其图线与时间轴围成的梯形的面积，而火车B的位移则等于其图线与时间轴围成的矩形的面积。两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，不难看出，当t=t0时梯形与矩形的面积之差最大,为图中阴影部分三角形的面积.根据题意,阴影部分三角形的面积不能超过100.
物体的v-t图像的斜率表示加速度,面积表示位移.
方法三：二次函数极值法
代入数据得
若两车不相撞，其位移关系应为
其图像(抛物线)的顶点纵坐标必为正值,故有
方法四：相对运动法
以B车为参照物， A车的初速度为v0=10m/s，以加速度大小a减速，行驶x=100m后“停下”，末速度为vt=0。
以B为参照物,公式中的各个量都应是相对于B的物理量.注意物理量的正负号.
练习1、一车从静止开始以1m/s2的加速度前进，车后相距x0为25m处，某人同时开始以6m/s的速度匀速追车，能否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。
解析：依题意，人与车运动的时间相等，设为t,
当人追上车时，两者之间的位移关系为：
x车+x0= x人
即： at2／2 + x0= v人t
由此方程求解t，若有解，则可追上；
若无解，则不能追上。
代入数据并整理得：t2－12t+50=0
△=b2－4ac=122－4×50×1=－56＜0
所以，人追不上车。
练习2：汽车正以10m/s的速度在平直公路上做匀速直线运动,突然发现正前方10m处有一辆自行车以4m/s的速度同方向做匀速直线运动,汽车立即关闭油门,做加速度为6m/s2的匀减速运动,问：
（1）汽车能否撞上自行车?若汽车不能撞上自行车，汽车与自行车间的最近距离为多少？
（2）汽车减速时，他们间距离至少多大不相撞？
汽车在关闭油门减速后的一段时间内，其速度大于自行车速度，因此，汽车和自行车之间的距离在不断的缩小，当这距离缩小到零时，若汽车的速度减至与自行车相同，则能满足汽车恰好不碰上自行车
分析：画出运动的示意图如图所示
小结：追及和相遇问题的分析方法
分析两物体运动过程，画运动示意图
由示意图找两物体位移关系
据物体运动性质列(含有时间的) 位移方程
“追及和相遇”问题解题的关键是：
准确分析两个物体的运动过程，找出两个物体运动的三个关系：（1）时间关系（大多数情况下，两个物体的运动时间相同，有时运动时间也有先后）。（2）位移关系。（3）速度关系。
在“追及和相遇”问题中，要抓住临界状态：速度相同时，两物体间距离最小或最大。如果开始前面物体速度大，后面物体速度小，则两个物体间距离越来越大，当速度相同时，距离最大；如果开始前面物体速度小，后面物体速度大，则两个物体间距离越来越小，当速度相同时，距离最小。
练习1、一车从静止开始以1m/s2的加速度前进，车后相距x0为25m处，某人同时开始以6m/s的速度匀速追车，能否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。
练习2：汽车正以10m/s的速度在平直公路上做匀速直线运动,突然发现正前方10m处有一辆自行车以4m/s的速度同方向做匀速直线运动,汽车立即关闭油门,做加速度为6m/s2的匀减速运动,问：
（1）汽车能否撞上自行车?若汽车不能撞上自行车，汽车与自行车间的最近距离为多少？
（2）汽车减速时，他们间距离至少多大不相撞？