牛顿第二定律
一、牛顿第二定律
1.内容：物体加速度的大小跟它受到的作用力成_____,跟它
的质量成_____,加速度的方向跟_____________相同。
2.表达式：
(1)表达式：______,式中k是比例系数,F是物体所受的_______。
(2)国际单位制中：_____。
正比
反比
作用力的方向
F=kma
合外力
F=ma
【自我思悟】
加速度大的物体所受的合外力一定大吗?
提示：不一定。加速度不仅与合外力有关,还与物体的质量有关,且合外力是物体与其他物体间的相互作用,与加速度的大小无关。
二、力的单位
1.国际单位：_____,简称___,符号为__。
2.“牛顿”的定义：使质量为1kg的物体产生1m/s2的加速度的
力叫作1N,即1N=_________。
牛顿
N
1kg·m/s2
牛
3.比例系数k的意义：
(1)在F=kma中,k的选取有一定的任意性。
(2)在国际单位制中k=1,牛顿第二定律的数学表达式为_____,
式中F、m、a的单位分别为__、___、____。
F=ma
N
kg
m/s2
【自我思悟】
1.在国际单位制中,力的单位N是基本单位吗?
提示：不是,力的单位N是由m、a的单位决定的,是导出单位。
2.在任何情况下,F=kma中的k都等于1吗?
提示：在不同的单位制中k值不同,只有在国际单位制中k=1。
【盲区扫描】
1.力是使物体产生加速度的原因。
2.a= 是加速度的决定式,a= 是加速度的定义式。
3.加速度的方向始终与物体所受合外力的方向相同。
4.只有在国际单位制中,公式F=kma才可直接写成F=ma。
5.牛顿第二定律中的力指的是物体所受到的合外力。
6.1N的力可以使质量为1kg的物体产生1m/s2的加速度。
一、对牛顿第二定律的理解 　深化理解
牛顿第二定律揭示了加速度与力和质量的定量关系,指明了加速度大小和方向的决定因素,对牛顿第二定律,还应从以下几个方面深刻理解。
【微思考】
(1)静止在光滑水平面上的重物,受到一个很小的水平推力,在力刚开始作用的瞬间,重物是否立即获得加速度,是否立即有了速度?
提示：力是产生加速度的原因,力与加速度具有同时性,故在力作用的瞬间,物体立即获得加速度,但由Δv=aΔt可知,要使物体获得速度必须经过一段时间。
(2)用力去推水平地面上的大石块,却没有推动,是否说明这个力没有产生加速度?
提示：当物体受到几个力作用时,每个力各自独立地使物体产生一个加速度,但物体表现出来的加速度却只有一个,即各个力产生加速度的矢量和,石块没被推动说明石块的合加速度为零,并不是这个力没产生加速度。
【题组通关】
【示范题】(多选)对牛顿第二定律的理解正确的是(　　)
A.由F=ma可知,F与a成正比,m与a成反比
B.牛顿第二定律说明当物体有加速度时,物体才受到外力的作用
C.加速度的方向总跟合外力的方向一致
D.当外力停止作用时,加速度随之消失
【解题探究】
(1)合外力与加速度的关系。
①因果关系：力是___________的原因;
②方向关系：加速度的方向与合外力的方向_____;
③瞬时关系：加速度与合外力_____________________________。
产生加速度
相同
同时产生、同时变化、同时消失
(2)公式F=ma可以纯数学理解吗,比如F∝m、F∝a对吗?
提示：物理公式具有具体的物理含义,公式F=ma中,F指合外力,由外界决定,m由物体决定,加速度a由合外力F与质量m共同决定。
【规范解答】选C、D。虽然F=ma表示牛顿第二定律,但F与a无
关,因a是由m和F共同决定的,即a∝ 且a与F同时产生、同时
消失、同时存在、同时改变;a与F的方向永远相同。综上所述,
可知A、B错误,C、D正确。
【通关1+1】
1.(2012·海南高考)根据牛顿第二定律,下列叙述正确的是
(　　)
A.物体加速度的大小跟它的质量和速度大小的乘积成反比
B.物体所受合外力必须达到一定值时,才能使物体产生加速度
C.物体加速度的大小跟它所受作用力中的任一个的大小成正比
D.当物体质量改变但其所受合力的水平分力不变时,物体水平加速度大小与其质量成反比
【解析】选D。物体加速度的大小与物体受到的合力成正比,与物体的质量成反比,选项A错误;力是产生加速度的原因,只要有合力,物体就有加速度,它们之间有瞬时对应关系,不存在累积效应,选项B错误;物体加速度的大小与它受到的合力成正比,选项C错误;根据矢量的合成和分解得Fx=max,当Fx一定时,物体水平加速度的大小与其质量成反比,选项D正确。
2.(多选)(2014·汕头高一检测)下列对牛顿第二定律的表达式F=ma及其变形公式的理解,正确的是(　　)
A.由F=ma可知,物体所受的合外力与物体的质量成正比,与物体的加速度成反比
B.由m= 可知,物体的质量与其所受的合外力成正比,与其运动的加速度成反比
C.由a= 可知,物体的加速度与其所受的合外力成正比,与其质量成反比
D.由m= 可知,物体的质量可以通过测量它的加速度和它所受到的合外力而求得
【解析】选C、D。物体所受的合外力的大小是由物体的受力情
况决定的,与物体的质量无关,A错;物体的质量由自身决定,与
其所受的合外力及加速度的大小均无关,B错;物体的加速度与
其所受的合外力成正比,与其质量成反比,C对;物体的质量可以
通过测量它的加速度和它所受到的合外力后由m= 求得,D对。
3.(2014·昆明高一检测)由牛顿第二定律知,无论怎样小的力都可以使物体产生加速度,可是当我们用一个力推桌子没有推动时是因为(　　)
A.牛顿第二定律不适用于静止的物体
B.桌子的加速度很小,速度增量很小,眼睛不易觉察到
C.推力小于摩擦力,加速度是负值
D.推力、重力、地面的支持力与摩擦力的合力等于零,物体的加速度为零,所以物体仍静止
【解析】选D。牛顿第二定律中的力应理解为物体所受的合力。用一个力推桌子没有推动,是由于桌子所受推力、重力、地面的支持力与摩擦力的合力等于零,物体的加速度为零,所以物体仍静止,故选项D正确,选项A、B、C错误。
【变式训练】(2012·江苏高考)将一只皮球竖直向上抛出,皮球运动时受到空气阻力的大小与速度的大小成正比。下列描绘皮球在上升过程中加速度大小a与时间t关系的图像,可能正确的是(　　)
【解析】选C。皮球在上升过程中速度越来越小,所以空气阻力越来越小,重力与空气阻力的合力越来越小,所以加速度越来越小,一开始加速度最大,后来减小得越来越慢,最后速度为零时,加速度变为重力加速度,所以答案选C。
【素养升华】
正确理解牛顿第二定律
(1)物体的加速度和合外力是同时产生的,不分先后,但有因果
性,力是产生加速度的原因,没有力就没有加速度。
(2)不能根据m= 得出m∝F、m∝ 的结论,物体的质量m是由
自身决定的,与物体所受的合外力和运动的加速度无关,但物体
的质量可以通过测量它的加速度和它所受到的合外力而求得。
(3)不能由F=ma得出F∝m、F∝a的结论,物体所受合外力的大小
是由物体的受力情况决定的,与物体的质量和加速度无关。
二、合外力、加速度和速度的关系 　深化理解
1.合外力与加速度的关系：
2.直线运动中加速度与速度的关系：
(1)
(2)
3.力与运动的关系：
4.两个加速度公式的区别：
(1)a= 是加速度的定义式,它给出了测量物体的加速度的方法,这是物理上用比值定义物理量的方法。
(2)a= 是加速度的决定式,它揭示了物体产生加速度的原因及影响物体加速度的因素。
【微思考】
根据a= ,能否说物体的质量越大,加速度一定越小?
提示：不能。物体加速度的大小是由物体所受的合外力和物体的质量共同决定的。只能说,在合外力一定的情况下,质量越大,加速度越小。
【题组通关】
【示范题】(2013·海南高考)一质点受多个力的作用,处于静止状态。现使其中一个力的大小逐渐减小到零,再沿原方向逐渐恢复到原来的大小。在此过程中,其他力保持不变,则质点的加速度大小a和速度大小v的变化情况是(　　)
A.a和v都始终增大
B.a和v都先增大后减小
C.a先增大后减小,v始终增大
D.a和v都先减小后增大
【解题探究】(1)当质点受到多个力的作用时,满足什么条件
才能使其静止?
提示：当质点所受的合力为零时,质点处于静止或匀速运动状
态。
(2)根据牛顿第二定律分析质点的加速度：当质点所受的合外
力增大时,质点的加速度随之_____;当质点所受的合外力减小
时,质点的加速度随之_____。
增大
减小
(3)如何根据速度和加速度的方向判断质点的运动性质?
提示：当速度方向与加速度方向相同时,质点做加速运动;当速度方向与加速度方向相反时,质点做减速运动。
【规范解答】选C。质点受多个力的作用,处于静止状态,则多个力的合力为零,其中任意一个力与剩余所有力的合力大小相等、方向相反,使其中一个力的大小逐渐减小到零再恢复到原来的大小,则所有力的合力先变大后变小,但合力的方向不变,根据牛顿第二定律,a先增大后减小,v始终增大,故选C。
【通关1+1】
1.(2014·南京高一检测)在光滑的水平面上做匀加速直线运
动的物体,当它所受的合力逐渐减小而方向不变时,则物体的
(　　)
A.加速度越来越大,速度越来越大
B.加速度越来越小,速度越来越小
C.加速度越来越大,速度越来越小
D.加速度越来越小,速度越来越大
【解析】选D。由牛顿第二定律可知,当物体所受合外力减小时,加速度会越来越小;由于合外力方向保持不变,加速度方向与速度方向始终相同,故速度越来越大,所以,正确选项为D。
2.(2014·汉中高一检测)物体在与其初速度
始终共线的合力F的作用下运动。取v0方向
为正,合力F随时间t的变化情况如图所示,则
在0～t1这段时间内(　　)
A.物体的加速度先减小后增大,速度也是先减小后增大
B.物体的加速度先增大后减小,速度也是先增大后减小
C.物体的加速度先减小后增大,速度一直在增大
D.物体的加速度先减小后增大,速度一直在减小
【解析】选C。由题图可知,物体所受的合力先减小,后增大,故由牛顿第二定律可知,物体的加速度先减小后增大;由于物体所受合力与其初速度始终共线,且由图可知合力始终大于零,故整个运动过程中加速度方向始终与物体的初速度方向一致,物体的速度一直在增大;所以,选项C正确,选项A、B、D错误。
【变式训练】1.(2014·长春高一检测)关于速度、加速度和力的说法,正确的是(　　)
A.当物体速度为零时,所受合外力不一定为零
B.当物体所受合外力不变时,运动状态一定不变
C.加速度大小不断变小,速度大小也一定不断变小
D.加速度方向保持不变,速度方向也一定保持不变
【解析】选A。加速度大小与速度大小无直接关系,物体速度为零时,合外力不一定为零,选项A正确;加速度大小不断变小,速度大小不一定减小,如加速度减小的加速直线运动,故选项C错误;当合外力不变时,加速度不变,速度变化,如匀加速直线运动,故选项B错误;当物体先做减速运动,速度为零后再反向加速时加速度方向不变,但速度方向发生了变化,故选项D错误。
2.以初速度v0竖直向上抛出一个小球,小球所受的空气阻力与速度大小成正比,从抛出到落地小球运动的v -t图是下面哪一个(　　)
【解析】选A。上升阶段,小球所受空气阻力随小球速度的减小而减小。小球所受合力F=G+Ff,合力越来越小,所以上升阶段小球的加速度越来越小。下降阶段,小球所受空气阻力随小球速度的增大而增大,小球所受合力F′=G-Ff,合力越来越小,所以下降阶段小球的加速度也越来越小。v -t图像中,只有A项所表示的运动加速度越来越小,A项正确。
【素养升华】
关于力和运动类问题的处理思路
(1)运动状态决定因素：物体的运动状态取决于物体的初速度和物体的受力情况,当物体的受力情况发生变化时,物体的运动状态也会随之发生变化。
(2)解题思路：分析物体的受力情况→求合力→由牛顿第二定律求物体的加速度→将初速度与加速度相结合判断物体速度的变化情况。
三、牛顿第二定律的应用 　规律方法
1.应用牛顿第二定律解题的一般步骤：
(1)确定研究对象。
(2)进行受力分析和运动状态分析,画出受力分析图,明确运动性质和运动过程。
(3)求出合力或加速度。
(4)根据牛顿第二定律列方程求解。
2.两种求加速度的方法：
(1)矢量合成法：若物体只受两个力作用,应用平行四边形定则求这两个力的合力,再由牛顿第二定律求出物体的加速度的大小及方向。加速度的方向就是物体所受合力的方向。反之,若知道加速度的方向也可应用牛顿第二定律求物体所受的合力的方向。
(2)正交分解法：当物体受多个力作用时,常用正交分解法求物
体的合外力,再应用牛顿第二定律求加速度。在实际应用中常
将受力分解,且将加速度所在的方向选为x轴或y轴,有时也可分
解加速度,即 。
【微思考】
(1)在应用牛顿第二定律解题时,除了分析物体的受力情况外,还需要考虑物体对其他物体的施力情况吗?
提示：不需要。牛顿第二定律中的“F”是物体受到的其他物体对它的作用力,而不是此物体对其他物体的作用力。
(2)在应用公式F=ma进行计算时,若F的单位用牛顿(N),m的单位用克(g)是否可以?
提示：不可以。公式中的各量必须用国际单位。若不然,公式中的比例系数就不再等于1。
【题组通关】
【示范题】(2014·景洪高一检测)如图所示,
一个质量m=2kg的物体置于水平面上,在F=10N
的水平力作用下,由静止开始沿水平面做匀加速直线运动,它与水平面之间的动摩擦因数为0.2,则物体运动的加速度是多大? 4s内通过的距离是多少?(g取10m/s2)
【解题探究】(1)在前进过程中,物体受到几个力的作用?
提示：对物体受力分析可知,物体受到重力、支持力、拉力和摩擦力4个力的作用。
(2)物体所受的合力怎样计算?
提示：F合=F-Ff=F-μFN=F-μmg。
(3)怎样计算物体4s内通过的距离?
提示：利用匀变速直线运动位移与时间的关系x= at2。
【规范解答】对物体进行受力分析,如图所示。
在竖直方向上,FN=mg=2×10N=20N
所以,Ff=μFN=0.2×20N=4N
在水平方向上,由牛顿第二定律可得：F合=F-Ff=ma
代入数据解得：a=3m/s2
物体的位移x= at2= ×3×42m=24m
答案：3m/s2　24m
【通关1+1】
1.(拓展延伸)【示范题】中,若将拉力F的方向改为斜向右上与水平方向成37°角,则物体的加速度和4s内通过的距离又是多少?(g取10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8)
【解析】对物体进行受力分析,并建立如图所示直角坐标系。
在y轴方向上合力为零,故FN+Fy=mg
所以,FN=mg-Fy=2×10N-10×sin37°N=14N
所以,Ff=μFN=0.2×14N=2.8N
在x轴方向上,由牛顿第二定律可得：
F合=Fx-Ff=ma
代入数据解得：a=2.6m/s2
物体的位移x= at2= ×2.6×42m=20.8m
答案：2.6m/s2　20.8m
2.(2014·扬州高一检测)如图所示,底板
光滑的小车上用两个量程为20N,完全相
同的弹簧测力计甲和乙系住一个质量为1kg的物块。在水平地面上,当小车做匀速直线运动时,两弹簧测力计的示数均为10N,当小车做匀加速直线运动时,弹簧测力计甲的示数变为8N,这时小车运动的加速度大小是(　　)
A.2m/s2　　　 B.4m/s2
C.6m/s2 D.8m/s2
【解析】选B。当弹簧测力计甲的示数变为8N时,弹簧测力计
乙的示数变为12N,这时物块所受的合力为4N。由牛顿第二定律
F=ma得物块的加速度a= =4m/s2,故选项B正确。
【变式训练】1.一辆小车在水平地面上沿直线行驶,在车厢上悬挂的摆球相对小车静止,其悬线与竖直方向成θ角,如图所示。问小车的加速度多大,方向怎样?
【解析】解法一(利用合成法求解)：摆球的受力情况如图甲所示：
由图甲可知,F合=mgtanθ,
所以加速度a= =gtanθ,方向水平向左。
解法二(利用正交分解法求解)：
摆球的受力情况如图乙所示,
由牛顿第二定律得：
Fsinθ=ma　 ①
Fcosθ-mg=0　 ②
由①②得a=gtanθ,方向水平向左。
答案：gtanθ　方向水平向左
2.一个质量m=2kg的木块,放在光滑水平桌面上,受到三个大小均为F=10N、与桌面平行、互成120°角的拉力作用,则木块的加速度多大?若把其中一个力反向,木块的加速度大小又为多少?
【解析】由于同一平面内、大小相等、互成120°角的三个力
的合力等于零,所以木块的加速度a=0。
木块受到三个力作用平衡时,其中任何两个力的合力必与第三
个力等大反向。如果把某一个力反向,则木块所受的合力F合
=2F=20N,所以其加速度为a= m/s2=10m/s2,方向与反向
后的这个力方向相同。
答案：0　10m/s2
【素养升华】
应用牛顿第二定律应注意的三个问题
(1)要注意分析物体的受力情况和运动情况,而加速度是联系受力情况和运动情况的桥梁。
(2)使用公式F=ma时,F、m、a三个物理量的单位必须采用统一的国际单位,否则公式中比例系数k不等于1。
(3)对于多个物体组成的系统,若各个物体加速度相同,则可以看作一个整体来应用牛顿第二定律,否则不能看成一个整体。
【资源平台】备选角度：牛顿第二定律与图像结合问题
【示范题】(多选)如图甲所示,在粗糙水平面上,物块A在水平向右的外力F的作用下做直线运动,其速度—时间图像如图乙所示,下列判断正确的是(　　)
A.在0～1s内,外力F不断增大
B.在1～3s内,外力F的大小恒定
C.在3～4s内,外力F不断减小
D.在3～4s内,外力F的大小恒定
【标准解答】选B、C。在0～1s内,物块做匀加速直线运动,外力F恒定,故A错;在1～3s内,物块做匀速运动,外力F也恒定,B正确;在3～4s内,物块做加速度逐渐增大的减速运动,所以外力F不断减小,C正确,D错。
不同模型瞬时加速度的求法辨析
物体在某时刻的瞬时加速度由合力决定,当物体受力发生变化时,其加速度同时发生变化。这类问题常会遇到轻绳、轻杆、轻弹簧、橡皮条等模型。全面准确地理解它们的特点,可帮助我们灵活正确地分析问题。
(1)它们的共同点：质量忽略不计,都因发生弹性形变产生弹力,同时刻内部弹力处处相等且与运动状态无关。
(2)它们的不同点：
【案例展示】(多选)(2014·大庆高一检测)
如图所示,质量为m的球与弹簧Ⅰ和水平细线
Ⅱ相连,Ⅰ、Ⅱ的另一端分别固定于P、Q。
球静止时,Ⅰ中拉力大小 ,Ⅱ中拉力大小 ,当仅剪断Ⅰ、Ⅱ中的一根的瞬间,球的加速度a应是(　　)
A.若剪断Ⅰ,则a=g,竖直向下
B.若剪断Ⅱ,则a= ,方向水平向左
C.若剪断Ⅰ,则a= ,方向沿Ⅰ的延长线
D.若剪断Ⅱ,则a=g,竖直向上
【精讲精析】选A、B。若剪断Ⅰ时,水平绳Ⅱ的拉力瞬间消失,
小球只受到重力的作用,由牛顿第二定律得小球加速度a=g,方
向竖直向下;若剪断Ⅱ,弹簧的弹力不会马上消失,这时小球受
到重力和弹簧弹力的作用,合力的方向水平向左,大小为 ,由
牛顿第二定律得小球加速度a= ,方向水平向左,故选项A、B
正确。
【易错分析】本题易错选项及错误原因分析如下：
【自我小测】
1.(2014·双鸭山高一检测)如图所示,轻弹簧上端与一质量为m的木块1相连,下端与另一质量为M的木块2相连,整个系统置于水平放置的光滑木板上,并处于静止状态,现将木板沿水平方向突然抽出,设抽出后的瞬间,木块1、2的加速度大小分别为a1、a2,重力加速度大小为g,则有(　　)
A.a1=g,a2=g B.a1=0,a2=g
C.a1=0,a2= D.a1=g,a2=
【解析】选C。将木板沿水平方向突然抽出的瞬间,弹簧还没来
得及发生形变,故木块1所受合力为零,木块1的加速度a1=0;将
木板沿水平方向突然抽出的瞬间,木板对木块2的支持力瞬间消
失,木块2所受的合力为(M+m)g,由牛顿第二定律可得,木块2的
加速度a2= ,故选项C正确。
2.(2014·蒙自高一检测)如图所示,一轻质
弹簧竖直放置在水平地面上,下端固定。弹
簧原长为20cm,劲度系数k=200N/m。现用竖
直向下的力将弹簧压缩到10cm后用细线拴
住,此时在弹簧上端放置质量为1.0kg的物块。在烧断细线的瞬间(g取10m/s2)(　　)
A.物块的速度为零、加速度也为零
B.物块的加速度为10.0m/s2,方向竖直向上、速度为零
C.物块的加速度为零,但速度不为零
D.物块的加速度为30.0m/s2,方向竖直向下
【解析】选B。根据题意对物块进行受力分析可知,物块受重力和弹簧的弹力作用,弹力F=kx=200×0.1N=20N>G=10N,烧断细线的瞬间,物块受到的合外力向上,由牛顿第二定律F合=ma可得加速度a=10m/s2,方向竖直向上;由Δv=aΔt可知,物块要获得速度需要时间,烧断细线的瞬间速度为零。故选项B正确,选项A、C、D错误。
【补偿训练】(2014·温州高一检测)A、B两
球的质量均为m,两球之间用轻弹簧相连,放
在光滑的水平地面上,A球左侧靠墙。用力F向左推B球将弹簧压缩,如图所示。然后突然将力F撤去,在撤去力F的瞬间,A、B两球的加速度分别为(　　)
【解析】选C。在撤去力F的瞬间,A球受力不变,合力为零,加速
度为零;在未撤去力F前,B球水平方向上受两个力,向左的力F和
向右的弹力,由二力平衡可得,弹簧对B球的弹力大小等于F,在
撤去力F的瞬间,弹簧对B球的弹力不变,故合力为F,由牛顿第二
定律得,a= ,故选C。