余弦定理
复习回顾
正弦定理：
可以解决两类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。 AAS
（2）已知两边和一边的对角。SSA
千岛湖
3.4km
6km
120°
）
情景问题
?
千岛湖
千岛湖
情景问题
3.4km
6km
120°
）
?
3.4km
6km
120°
A
B
C
在△ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km，∠B=120o，求 AC
用正弦定理能否直接求出 AC？
）
余弦定理
C
B
A
a
b
c
c2 ＞ a2+b2
c2 ＜ a2+b2
看一看想一想
直角三角形中的边a、 b不变，角C进行变动
勾股定理仍成立吗？
c2 = a2+b2
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是寻找解题思路的最佳途径
c=
?
c2=
=
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?
?
算一算试试！
联想
C
B
A
c
a
b
﹚
﹚
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
BC=a,CA=b,求AB 边 c.
C
B
A
c
a
b
﹚
余弦定理
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
BC=a,CA=b,求AB 边 c.
对余弦定理，还有其他证明方法吗?
证明：以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：
解析法
证明
当角C为锐角时
几何法
当角C为钝角时
余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。
证明
证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,  作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA
当然，对于钝角三角形来说，证明类似，课后 自己完成。
余弦定理
a2=b2+c2-2bc·cosA
b2=c2+a2-2ca·cosB
c2=a2+b2-2ab·cosC
你能用文字说明吗？
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
归纳
变一变乐在其中
a2=b2+c2-2bc·cosA
b2=c2+a2-2ca·cosB
c2=a2+b2-2ab·cosC
变形
归纳
想一想：
余弦定理在直角三角 形中是否仍然成立？
a2+b2=c2
问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？
勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.
问题2：公式的结构特征怎样？
（1）轮换对称，简洁优美;
剖 析 定 理
（2）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一.（方程思想）
剖析
思考：
已知两边及一边的对角时，我们知道可用正弦定理来解三角形，想一想能不能用余弦定理来解这个三角形？
如：已知b=4,c= ,C=60°求边a.
（3）已知a、b、c（三边），可以求什么？
剖 析 定 理
剖析
在△ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km，
∠B=120o，求 AC
解决实际问题
解：由余弦定理得
答：岛屿A与岛屿C的距离为8.24 km.
剖 析 定 理
分析：
剖析
（1）已知三边
求三个角 SSS
问题3：余弦定理在解三角形中的作用是什么？
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. SAS
剖 析 定 理
剖析
例题解析
例题解析
课堂提高
练习1.
C
课堂提高
练习2.
课堂提高
练习3.

C
会用才是真的掌握了
余弦定理在解三角形 中能解决哪些问题？
角边角
角角边
边边角
边角边
边边边
正弦定理
余弦定理
运用

2、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6，判断△ABC的形状.
A
D
C
B
)300
)450
3、如图所示，已知BD=3，DC=5，∠B=300，∠ADC=450，求AC的长。
例题讲解
1、在△ABC中,若a＝10，b＝12，c＝9，解这个三角形。
练一练：
变一变：
再练：
2、已知△ABC中AB=2、AC=3、A= ，求BC的长。
3、以2、3、X为三条边，构成一个锐角三角形，
求X的范围。
继续练
思考：
（1）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,判定三角形ABC的形状
分析：三角形ABC的形状是由大边b所对的大角B决定的。
（2）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,求三角形ABC的面积
2.余弦定理
3.由余弦定理知
1.证明定理:
课堂小结
向量法、解析法、几何法
课后作业：
1. 在△ABC中, 已知b＝4, c＝10, B＝30o,
解这个三角形。
2. 设x、x＋1、x＋2是钝角三角形的三边
长，求实数x的取值范围.
3. 在△ABC中, A＝60o, a＝1, b＋c＝2, 判
断△ABC的形状.
4. 三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所
夹的角的余弦为方程5x2－7x－6＝0的根，
求这个三角形的面积.