第二章 数 列
§2.2 等差数列
得到数列 1，2，3，4， … ，100
问题情景一
高斯是德国数学家，也是天文学家和物理学家，他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大， 可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。
得到数列：
6000，6500，7000，7500，
8000，8500，9000
问题情景二
匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm）
问题情景三
，23，
，24，
25，
，26，
，26
姚明罚球个数的数列：
　6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000
观察：以上数列有什么共同特点？
从第 2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。
高斯计算的数列：
1，2，3，4， … ，100
观察归纳
，23，
，24，
25，
，26
运动鞋尺码的数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
等差数列定义
②6000，6500，7000，7500，8000，8500,9000
公差d=1
公差d=500
①1，2，3,…,100；
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
等差数列定义
数学语言：
an-an-1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
或an+1－ an = d
（ d是常数, n∈N*）
2、常数列a，a，a，…是否为等差数列?若是，则公差是多少?若不是，说明理由。
想一想
公差是0
3、数列0，1，0，1，0，1是否为等差数列?若是，则公差是多 少?若不是，说明理由。
不是
1、数列6，4，2，0,-2,-4…是否为等差数列？若是，则公差是多少?若不是，说明理由。
公差是-2
想一想
小结：
1、判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断an+1-an 是不是同一个常数。

2、公差d是每一项（从第2项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0。
练习： 已知等差数列的首项为12，公差为－5，
试写出这个数列的第2项到第5项．
解:
由于
，因此
概念强化
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：
（1）2 ，( ) ， 4 （2）-12，( ) ，0
3
-6
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。
思 考
问题情景四
观察数列：1，3，5，7，…
思 考：
在数列中a100=？我们该如何求解呢？
设一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则有：
a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…
所以有：
a2=a1+d,
a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d
a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d
……
an=a1+(n-1)d
问an=?
通过观察：a2， a3，a4都可以用a1与d 表示出来；an与d的系数有什么特点？
当n=1时，上式也成立。
归纳：
等差数列的通项公式：首项为a1 ,公差为d的等差数列
｛an｝的通项公式:
an = a1 + (n－1)d
a1 、an、n、d知三求一
an=am +(n-m)d(n,m∈N*)
变形
等差数列通 项 公 式 的 归纳
例1（1）求等差数列8，5，2，…的第20项；
（2）判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
分析：
（1）由给出的等差数列前三项，先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式，就可以求出第20项a20。
解：(1)由题意得：a1=8,d=5-8=-3,n=20
∴这个数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d=-3n+11
∴a20=11-3×20=-49
例1（1）求等差数列8，5，2，…的第20项；
（2）判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
分析：
（2）要想判断-401是否为这个数列中的项，关键是要求出通项公式，看是否存在正整数n,使得an=-401。
(2)由题意得： a1=-5,d=-9-(-5)=-4
∴这个数列的通项公式是：
an=-5+ (n - 1) × (-4)=-4n-1
令-401=-4n-1,得 n=100
∴-401是这个数列的第100项。
解：由题意可得
∴ d = 2 ，a1 =2
∴ an = 2+(n-1) ×2 = 2n
例2 、在等差数列{an}中 ，已知a6=12 ，a18=36 ,
求通项公式an
求基本量a1和d ：根据已知条件列方程，由此解出a1和d ，再代入通项公式。
像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称方程思想。


这是数学中的常用思想方法之一。
题后点评
求通项公式的关键步骤：
例2 、在等差数列{an}中 ，已知a6=12 ，a18=36 ,
求通项公式an
思考：你还能想到解决该问题的其它解法吗？
解法二：∵ a6=12 ，a18=36 ，a18=a6+(18-6)d
∴36=12+12d
∴d=2
∴ an=a6+(n-6)d
=12+(n-6) ×2
=2n
等差数列与一次函数的关系
探究：
等差数列的图象1
（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…
●
●
●
●
●
●
●
等差数列的图象2
（2）数列：7，4，1，-2，…
●
●
●
●
等差数列的图象3
（3）数列：4，4，4，4，4，4，4，…
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
直线的一般形式：
等差数列的通项公式为：
等差数列的图象为相应直线上的点。
等差数列的有关性质
探究：