九年级数学(下)第二章 二次函数
4. 二次函数y=ax2+bx+c的图象(1)
函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+K的图象和性质
你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=3(x-1)2+2的形式吗?
函数y=ax²+bx+c的图象
二次函数y=3x2-6x+5的图象是什么形状?它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系?
由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2,因此我们先作二次函数y=3(x-1)2的图象．
(2)在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象．
⑴完成下表,并比较3x2和3(x-1)2的值,它们之间有什么关系?
观察图象,回答问题
(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
想一想,在同一坐标系中作二次函数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置?
二次函数y=3(x-1)2与y=3x2的
图象形状相同,可以看作是抛
物线y=3x2整体沿x轴向右平移
了1 个单位
(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？
想一想,在同一坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象,它的增减性会是什么样?
真知从实践走来
1.在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象.它与二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
在同一坐标系中作出二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x+1)2的图象．
完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x+1)2的值,它们之间有什么关系?
函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质
二次函数y=3(x+1)2与y=3x2的图象形状
相同,可以看作是抛物线y=3x2整体沿x轴
向左平移了1 个单位.
真知从实践走来
2.x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随
x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？
请总结二次函数y=a(x-h)2的图象和性质.
猜一猜,函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象的位置和形状.
二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象
二次函数y=a(x-h)2的性质
X=h
X=h
二次函数y=a(x-h)2的性质
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
y=a(x-h)2 (a>0)
y=a(x-h)2 (a<0)
（h，0）
（h，0）
直线x=h
直线x=h
在x轴的上方
(除顶点外)
在x轴的下方
( 除顶点外)
向上
向下
二次函数y=a(x-h)2的性质
抛物线
增减性
最值
y=a(x-h)2 (a>0)
y=a(x-h)2 (a<0)
当x=h时,
最小值为0.
当x=h时,
最大值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
我思，我进步
在同一坐标系中作出二次函数y=3x²,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.
二次函数y=3x²,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看．
在同一坐标系中作出函数y=3x²,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.
完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x-1)2+2值,它们之间有何关系?
函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质
二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x²,y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?
X=1
先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?
X=1
二次函数y=3(x-1)2-2的图象与抛物线y=3x2和y=3(x-1)2有何关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
X=1
想一想,二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3x²,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?再作图看一看．
X=1
我思，我进步
在同一坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x²和y=-3(x-1)2的图象
y
X=1
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.
X=-1
二次函数y=a(x-h)²+k与=ax²的关系
一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²+k的图象:y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.
二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
y=a(x-h)2+k
(a>0)
y=a(x-h)2+k
(a<0)
（h，k）
（h，k）
直线x=h
直线x=h
由h和k的
符号确定
由h和k的
符号确定
向上
向下
抛物线
增减性
最值
y=a(x-h)2+k
(a>0)
y=a(x-h)2+k
(a<0)
当x=h时,
最小值为k.
当x=h时,
最大值为k.
在对称轴左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴右侧, y随着x的增大而减小.
悟出真谛,练出本事
1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标:
2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系?
对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢?
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
回味无穷
二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系
2.不同点: 位置不同
(1)顶点不同:分别是(h,k)和(0,0).
(2)对称轴不同:分别是直线x= h和y轴.
(3)最值不同:分别是k和0.
二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系
3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成
y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个
单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平
移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位
(当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得
到的.
二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系
知识的升华
P48 习题2.4 1题.

祝你成功！
P48 习题2.4 1题
1.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.必要时作出草图进行验证.
2.填写下表:
结束寄语
读书要从薄到厚,再从厚到薄.
再见