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第二章 二次函数
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想一想
函数y=ax²+bx +c的图象
二次函数 y=3(x-1)2+2 的图象是什么形状?它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系?
在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象。
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比较二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象。
⑴完成下表,并比较3x2和3(x-1)2的值,它们之间有什么关系?
27
48
0
3
12
3
12
27
48
27
0
3
12
3
12
27
(2)在同一坐标系中作出二次函数 y=3x2和
y=3(x-1)2的图象．
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(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？
y=3(x-1)2
y=3x2
观察图象，回答问题
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图象是轴对称图形,
对称轴是平行于
y轴的直线:x=1.
顶点坐标
是点(1,0).
(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
二次项系数
相同a>0,
开口都向上.
想一想,在同一坐标系中作二次函数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置?
y=3x2
二次函数y=3(x-1)2
与y=3x2的图象形状
相同,可以看作是抛
物线y=3x2整体沿x轴
向右平移了1 个单位.
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在对称轴(直线x=1)左侧
(即x<1时),函数y=3(x-1)2
的值随x的增大而减少.
顶点是最低点,函数
有最小值.当x=1时,
最小值是0。
(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？
在对称轴(直线x=1)右侧
(即x>1时),函数y=3(x-1)2
的值随x的增大而增大,.
想一想,在同一坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象,它的增减性会是什么样?
二次函数y=3(x-1)2
与y=3x2的增减性类似.
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1.在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象.它与二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
2. x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大?
x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？
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在同一坐标系中作出二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和
y=3(x+1)2的图象．
完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x+1)2的值,
它们之间有什么关系?
函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质
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图象是轴对称图形,
对称轴是平行于
y轴的直线:x= -1.
顶点坐标
是点(-1,0).
1.函数y=3(x+1)2的图象与y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
二次项系数相同
a>0,开口都向上.
想一想,二次函数y=3(x+1)2的图象的增减性会怎样?
二次函数y=3(x+1)2
与y=3x2的图象形状
相同,可以看作是抛
物线y=3x2整体沿x轴向左平移了1 个单位.
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在对称轴(直线x=-1)左侧
(即x<-1时),函数y=3(x+1)2
的值随x的增大而减少.
顶点是最低点,函数
有最小值.当x=-1时,
最小值是0.
2. x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？
在对称轴(直线x=-1)
右侧(即x>-1时),
函数y=3(x+1)2的值
随x的增大而增大.
猜一猜:函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2
和y=-3x2的图象的位置和形状.
请你总结二次函数y=a(x-h)2的图象和性质.
二次函数y=3(x+1)2
与y=3x2的增减性类似.
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2.抛物线y=-3(x-1)2和y=-3(x+1)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
3.抛物线y=-3(x-1)2在对称轴(直线x=1)的左侧(即当x<1时), y随着x的增大而增大;在对称轴(直线x=1)右侧(即当x>1时), y随着x的增大而减小;当x=1时,函数y的值最大(是0).抛物线y=-3(x+1)2在对称轴(直线x=-1)的左侧(即当x<-1时), y随着x的增大而增大;在对称轴(直线x=-1)右侧(即当x>-1时), y随着x的增大而减小;当x=-1时,函数y的值最大(是0).
二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象
4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平移了1个单位.
x=-1
x=1
1.抛物线y=-3(x-1)2的顶点是(1,0);对称轴是直线x=1;抛物线y=-3(x+1)2的顶点是(-1,0);对称轴是直线x=-1.
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二次函数y=a(x-h)2的性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=a(x-h)2 (a>0)
y=a(x-h)2 (a<0)
（h，0）
（h，0）
直线x=h
直线x=h
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
向上
向下
当x=h时,最小值为0.
当x=h时,最大值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
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我思，我进步
在同一坐标系中作出二次函数y=3x²,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.
做一做
二次函数y=3x²,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系?它们的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看．
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对称轴仍是平行于y轴的直
线x=1;增减性与y=3x2类似.
顶点是(1,2).
二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x²,
y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
开口向上,当
x=1时有最小
值,且最小值为2.
x=1
二次函数y=3(x-1)2+2的图象可以看作是抛物线y=3x2先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线x=1向上平移2个单位后得到的.
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二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系
一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数
y=a(x-h)²+k的图象:y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.
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二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k）
（h，k）
直线x=h
直线x=h
由h和k的符号确定
由h和k的符号确定
向上
向下
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
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悟出真谛,练出本事
1.指出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标:
2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系?
(3)对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢?
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2.不同点: 只是位置不同(1)顶点不同:分别是(h,k)和(0,0).
(2)对称轴不同:分别是直线x= h和y轴.
(3)最值不同:分别是k和0.
3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
1.相同点: (1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系
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知识的升华
P48 习题2.4 1题.

祝你成功！