一、找规律画图
基本提炼
例1、仔细看一看，最后应该画什么水果？
解释：仔细观察上面画的图形可以知道，图中画的是苹果、梨和香蕉，它们排列的顺序
是2个苹果后面是梨，再后面是香蕉，4个一组，每组排列的规律一样的，因此，最后两
处应画梨和香蕉。
___ ____
例2：观察前几幅图的变化规律，把第（6）和第（7）幅图中缺少的图形画出来。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（6）
（7）
解释：圆圈中的三角形，是白、黑相隔的，白三角形依次是1个，2个，3个，4个；黑
三角形依次是7个，5个，3个1个。因此，第（6）是3个黑的，第（7）是4个白的。
模仿训练
1、仔细观察前面两组图，你看第（3）组图中的空白处应该画什么？
（1）
（2）
（3）
练习2、按下去应该怎样画“花”？
练习3、仔细观察图形，第（4）幅图应怎样画？
（1）
（2）
（4）
（3）
（5）
练习4、根据下面一串黑白珠子白排列规律，看应该把哪些珠子涂黑？第30个珠子是
（ ）颜色。
白
练习5、仔细观察下列图形，应该把第（4）组中哪些三角形涂黑？
（1）
（2）
（3）
（4）
练习6、在下面的五个图形中选一个画在空格中。
二、巧填算式
基础练习;
例1、在下面的□里填上连续的5个数，使它们的和等于40.
+
+
+
+
=40
解释：把5个连续数的和除以连续数的个数5，所得的商就是这几个连续数的中间数，
然后把中间数加1、加2；减1、减2，就可求出其他四个数。
40÷5=8、8＋1=9、8＋2-10；8-1=7、8-2=6
6
7
8
9
10
例2、在□里巧填数，使算式成立。
（1）
+
5
3
9
3
（2）
8
0
5
7
-
解释（1）先考虑加数的个位填几，因为和的个位是3，说明个位的数字相加向十位进
1，现有5+8=13，说明第二个加数的个位上应填8，在加数的十位应填几呢？□+1+3
=9.
解释（2）先考虑被减数的个位，□-0=7，说明□内应填7，再考虑减数的十位，8-□
=5，□内应填3.。
8
5
7
3
模仿练习：
练习1、在下面的□中填上3个连续的数，使等式成立。
＋
＋
=
27
8
9
10
练习2、在□里巧填数，使算式成立。
4
+
8
9
4
6
4
--
7
3
7
3
0
3
练习3、在□里填上5个连续的数，使等式成立。
+
+
+
+
=45
9
8
7
10
11
练习4、填方框。
+
--
5
5
7
6
8
3
3
7
8
2
3
3
练习5、在□里填上合适的数，使算式成立。
3
8
+
9
3
--
9
8
3
--
5
2
+
9
0
5
5
进1
退1
5
5
3
1
9
退1
1
8
进1
3
练习6、三只小白兔手里各拿一张写着数的卡片。
18
19
20
小朋友，要使下面的算式成立，每只小白兔各应站在什么位置呢？
+
-
=
19
20
19
18
三、添括号
基本练习：
例1、把下面的算式添加括号，使等式成立。
81-70-7=18
解释：左边的式子81-70-7=4，现在要让它等于18，就要改变运算顺序了，如果
这样加括号：（81-70）-7，运算顺序没有改变，得数还是4，要让这个算式等于18，
就要把后面的70-7添上括号。
81-（70-7）=18
例2、下面的计算对不对？对的打“√”，把不对的算式加上小括号，变为正确的算式：
（1）75-51-23=1（ ）
（2）75-51-23=47（ ）
（3）75-35+29=18（ ）
（4）75-35+29=76（ ）
解释：通过口算就知道（1）（4）是正确的，（2）（3）是错误的，因为按现在的
算式计算不等于47和18，就要把这两个算式加上小括号，（2）要先算“51-23”，（3）
要先算“35+29”，这两道算式改成：
（2）75-（51-23）=47
（3）75-（35+29）=18
√
√
×
×
模仿练习：
练习1、给下面的算式加上小括号，使算式 成立。
92-95-34=31
84-28-35=21
92-（95-34）=31
对
练习2、小云做了下面的四道题你看对不对？把不对的算式变为正确的算式：
（1）54+（7+35）=96
（2）68-8+30=30
（3）96-48-30=78
（4）73-29-18=26
改为：68-（8+30）=30
改为：96-（48-30）=78
（对）
（错）
（错）
（对）
练习3、下面几道题左边的算式和右边都不相等，你看用什么方法使它们相等：
（1）50-43-28=35
改为： 50-（43-28）=35
（2）78-（29+28）=87
改为：78-29+28=87
（3）81-94-13=0
改为：81-（94-13）=0
（5）86-36-18=68
改为：86-（36-18）=68
练习4、根据每一道题的得数添上括号：
（1）4+4÷4-4÷4=1
（2）4+4÷4+4-4=2
（3）4+4÷4+4÷4=3
（4）4-4×4+4=4
（5）4×4+4÷4=5
改为：（4+4）÷4-4÷4=1
改为：（4+4）÷4+4-4=2
改为：（4+4)÷4+4÷4=3
改为：（4-4）×4+4=4
改为：（4×4）+4÷4=5
四、规律填数
基础练习：
例1、找出前面几个数的排列规律，在括号里填上适当的数。
（1）1、2、3、5、8、13、（）、（）。
（2）1、50、2、45、3、40、（）、（）。
解释：（1）1+2=3，2+3=5，3+5=8，5+8=13，8+13=21，13+21=34.。
应填：
21
34
（2）规律是第一个数把隔个数1、2、3、4、5…填；第二个数是从50起依
次减5。应填：
4
35
例2、先找规律，再在□处填上数：
21
19
12
10
43
45
23
36
解释：只要仔细观察每组上下的两个数，上格的数都比下格的数多2，第四组要填
上格，23+2=25，第五组要填下格，36-2=34。
应填：
25
34
模仿练习：
练习1、按规律填数：
（1）3、5、10、12、17、（ ）、（ ）。
（2）1、32、2、24、3、16、（ ）、（ ）。
19
24
4
8
练习2、找出规律，再在□处填写适当的数：
（1）
（2）
2
3
8
6
14
2
19
4
17
6
8
10
15
13
11
9
12
15
20
26
练习3、找规律，在空白 里填数：
7
4
5
2
6
4
3
1
4
4
4
4
7
6
8
9
规律是前三幅中间圆的数：7-（5-2）=4，6-（4-1）=3.。反之第四幅是添加2，
7+（8-6）=9，得中间圆中的数。
练习4、找规律填出空缺的数：
（1）6，8，10，11，14，14，（ ），（ ）。
（2）7，14，10，12，14，9，（ ），（ ）。
18
17
19
5
依次加4，依次加3.
依次加3，4，5、依次减3，4，5..
练习5、找出各数的排列规律，在（）内填上适当的数：
1
2
4
3
6
9
4
8
12
16
6
5
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
25
18
24
10
12
15
20
30
36
练习6、根据表中数字排列规律填数：
10
10
10
10
10
10
9
9
9
9
4
5
1
2
3
5
1
2
3
4
五、合理安排
基础训练：
例1、把1、3、5、7、9、11、13七个数填入图中的圆圈内，使每条直线上的三个数和
都 等于21.。
解释：这样想：1+3+5+7+9+11+13=49，21×3=63.
63-49=14，由于计算三条直线上的和时，中间圆圈
里的数多算两次，就多了14，正好7+7=14，说明中
间圆圈内应该填7，21-7=14，把另外六个数组成相
加得数是14的三个算式，分别填在直线的两端即可。
7
1
13
3
11
5
9
例2、把3、4、5、6、7、8、9、10、11这九个数填在方格里，使每一横行，竖行、
斜行的三个数的和都是21.。
解析：这样 想：3+4+5+6+7+8+9+10+11
=63，每行、列、斜行三个数的和是21，
我们知道中间的横行、竖行和两个斜行的
总和是21×4=84，84-63=21，21就是把
正中数多算了三次的得数，21÷3=7，所以
正中数应填7，21-7=14，在这些数中能组
成14算式的两个数，填在直线的两端即可。
7
3
11
4
10
5
9
8
6
模仿练习：
练习1、把1、2、3、5、7、8、9这七数分别填在图中 里，使每条直线上的和
相等。
7
5
3
2
8
1
9
先找出中间数，
然后在这些数中
能配对10的两个
数分别填入直线
的两端即可。
练习2、把5、6、7、8、9、10、11、12、13这九个数分别填入方格，使每行、每列、
斜行的和都 等于27.。
9
6
12
8
10
7
11
5
13
先找出中间的数，然后再用
27-中间的数=18，最后找出
配对18的两个数，分别填入
直线的两端，如果不行的话，
再调整一下位置，即可。
练习3、在圆内填上适当的数，使每边上的三个数相加都得100.
36
25
63
1
12
52
练习4、把55个苹果放入下图中的10个格子中，要求每格放入的苹果数各不相同，并
且使每边上的苹果总数都等于20，应该怎样放呢？
【解析】：根据题意，也就是在上图10个格子里添上10个不同的数，这10个数的和是55，且每条边上几个数的和都为20。
第一步：找出是哪10个数字，这是解决本题的关键。因为是10个不同的数字，我们可以从最小的1开始加（每格的苹果数不为0），很容易试1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
所以这10个数是：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。
第二步，找出表中左右两端的数字。
因为，上下两行的和是：20+20=40，总和是55，所以，左右两个数的和是15。在上面10个数中和为15的两个数组合有三组： 10和5；9和6；8和7。
第三步，根据上面三组三种情况，综合考虑四个角上四个数的和25（即重复计算的和：20×4-55=25），试算出答案。
①左右两个数为9和6，则剩下八个数为：1、2、3、4、5、7、8、10。其中，10+8+4+3=25，以10、8、4、3为四个角上的数得答案：
②左右两个数为7和8，则剩下八个数为：1、2、3、4、5、6、9、10。其中，10+9+4+2=25，以10、9、4、2为四个角上的数得答案：
10
3
8
4
6
9
10
8
2
4
7
9
6
3
1
5

7
1
2
5
六、数线段和画线段
基础训练：
例1、数一数，下面有几条线段？
解析：数线段要做到有条理，不重复，不遗漏，就能数准确了。
因为线段是直的线，还要有两个端点，上面的图，两点之间的线段，我们叫它为基本
线段，还有两条、三条、四条……组成的线段，我们用分类的方法来数，最后再来求一共
有多少条线段。
基本线段有4条，两条基本线段组成3条，三条基本线段组成2条，四条基本线段组成1条。
注：也可以在端点处标上序号的方法来计算，也许方便些。
共有线段数：4+3+2+1=10（条）
1
0
2
3
4
例2、右面给出五个点，在每两点之间画线段，一共可以多少条？
解析：两点之间可以画一条线段，图上有五个点，每一点都可以向其他四画线段，这样就可以画20条线段（5×4=20），但两点之间都算了两条线段，重复了，所以只能画10条线段（20÷2=10）.。
·
·
·
·
·
模仿训练
练习1、数一数、算一算下图一共有多少条线段？
数线段的关键是做到不遗漏不重复，而有条理地数线段，是不遗漏不重复的重要保证。
解析：
首先要让孩子学会有条理地数线段。
数时用图示法比较好
依次从
C
、
D
、
E
、
F
、
G
出发，可以数出四条、三条、二条、一条线段：
依次从
C
、
D
、
E
、
F
、
G
出发，可以数出四条、三条、二条、一条线段：
依次从
C
、
D
、
E
、
F
、
G
出发，可以数出四条、三条、二条、一条线段：
同理，依次从
C
、
D
、
E
、
F
、
G
出发，可以数出四条、三条、二条、一条线段：（
CD
、
CE
、
CF
、
CG
）、（
DE
、
DF
、
DG
）、（
EF
、
EG
）、
FG
。
所以，图中线段共有：
6+5+4+3+2+1=21
（条）
可以在线段上标上序号，便于我们数数。一段一段地数有六条；二段二段地数有
五条，三段三段地数有四条，四段四段地数有三条，五段五段地数有二条，六段六段
地数有一条。
0
1
2
3
4
5
6
然后，我们把这些加在一起就是线段的总数了。
所以图中线段共有：6+5+4+3+2+1=21（条）
练习2、把下面哪些点连起来，使所成的形状就是我们的队旗？
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
先打好队旗的轮廓，在左内的中间连上小五角星即可。
练习3、下面是学校运动场的平面图，场内有一个足球场，这张平面图中有多少条线段？
解析：外面由两条弧线和两条线段组成，里面是四条线段组成的。
共有6条线段。
练习3、一个正方形是4条线段围成的，剪 去一个角后所成的图形是几条线段组成的？
解析：一个正方形是4条线段围成的，剪 去一个角后所成的图形可能成为：
1
2
1、3条线段。2、5条线段。3、4条线段。
练习4、数一数，下面的每个图形是用火柴棒组成的？
（ ）根
（ ）根
（ ）根
（ ）根
……
…
（ ）根
8个下方形
｛ ｝
4
7
10
13
25
4n-(n-1)=4×8-(8-1)=32-7=25
七、图形版式
基本训练：
例1、已知○+○+○=6，△+△+△+△=12，求○+△=（ ）。
解析：要知道○+△=？，就先知道○=？，△=？。
○是几呢？，可由“○+○+○=6”来推算，这个式子可以看作“把6平均分成3份”，1个
“○”代表其中的一份，因此，1个“○”就是：6÷3=2.
△又是几呢？，可由“△+△+△+△=12”来推算，这个式子表示“把12平均分成4份”，
1个“△”代表其中一份，1个“△”就是：12÷4=3.
因此， ○+△=2+3=5.
例2、已知□+ □+ □=12，△+ △+□=14，求△- □=？
解析：要求△- □=？，就要先知道△=？， □=？，由□+ □+ □=12，可知3个
□等于12，一个□就是：12÷3=4。.
由于△+ △+□=14，也就是△+ △+4=14，两个△的和加上4等于14，也就是14-4
就等于两个△，一个△就是：（14-4）÷2=10÷2=5.。
因此△- □ =5-4=1。
模仿训练：
练习1、已知：□+ □+ □+ □+ □=25， □×△=45。求： □+△=（ ）。
解析：要知道□+△=？，就要知道□=？。
□是几呢？可由“□+ □+ □+ □+ □=25”来推算，这个式子可以看作“把25平均
分成5份”，1个“□”代表其中一份， 1个“□”就是：25÷5=5。
△又是几呢？，可由“□×△=45”来推算：5 ×△=45， △=45÷5=9。
因此：□+△=5+9=13。
练习2、在（）里填数。
★
▲
▲
+
▲
▲
★
★
×
（ ）
解析：已知第一加数等于和的相反数，肯定加数的十位的数数要比个位上的数字
要少1。我们就从最大的自然数开始，9+9=18，写8向前进1，十位上的数字比9少1，
就是8，8加上进过来的1，就是9了，也就符合题意了。
★=8
▲=9
★
×
▲
=8×9=72
72
练习3、想一想：括号里填几？
○
△
×
=
12
○
○
○
△
△
△
=
=
=
+
-
÷
8
（ ）
（ ）
解析：从题意中获知：两数相乘得12，两数相加得8，只有2和6，符合题意了，
又考虑到两相除和相减的话，必须大数在前，小数在后。
○=6
△=2
应该填：
4
6-2=
6÷2=
3
4
3
练习4、已知：
□
○
△
□
□
+
○
○
△
○
求
＋
○
＋
=
（ ）
解析：从题意中可推算出，和的百位上数字肯定是1，也就是○=1，□肯定是最大
的自然数9，它们 的和才能得到三位数。
因此，
□=9
○=1
□+○+△=9+1+0=10
10
△=0
练习5、下面的每一个图形各表示一个数字，想一想，各表示几？
（1）
□×□=□+□
□=（ ）
（2）△×○×□=△+○+□
△=（ ） ○=（ ） □=（ ）
（3）△×○=24
△×△=16
△+○=（ ）
解析：两数的积等于两数的和的只有2。
2
解析：三个数相乘的积等于三个数相加的和的
只有1、2、3。
1
2
3
解析：3×8、4×6，在小学二年级所学的只有两对了。
在以上的条件中符合题意的只有4×6。
因此， △=4， ○=6
△+○=4+6=10
练习6、已知：■+■=●+●+●
■+■=▲+▲+▲+▲+●
求：■+●+▲=（ ）
解析：观察等号两边的图形，2个 ■的和等于3个●的和，这道题的答案有无数种。
举例如下：■=3时，●=2，3+3=2+2+2； 3+3=1+1+1+1+2.
当▲=1时： ■+●+▲=3+2+1=6
当■=6，●=4，▲=2时： ■+●+▲=6+4+2=12
……
八、统计与可能性
基本训练：
例1、用■表示统计的结果。
解析：观察图中有西瓜3个，苹果5个，桃子5个。用■
表示1个水果，就可
以统计出如右图：
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
练习1、在□里涂上颜色，表示结果。
模仿练习
○
○
○
○
○
■
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
练习2、用“一定”、“可能”、“来可能”填空。
在二（1）班男生24人，女生26人中，安排16个同学去植树，（ ）有男生；
安排30个同学练习集体操，（ ）有男生；安排10个人去打扫卫生，（ ）
有老师。
一定
可能
不可能
练习3、三只猫一起去钓鱼。
如果用一个□代表5条鱼。请你在下面表格中画出统计图。
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
练习4、把圆转盘上各种奖项出现的可能性按从大到小排列。
三等奖
四等奖
二等奖
一等奖
特等奖
解析：从图中可知：面积最大
的是四等奖，大的是三等奖，中的
是二等奖，小的是一等奖，最小的
是特等奖。按从大到 小排列是：
四等奖＞三等奖＞二等奖＞
一等奖＞特等奖。
练习五、在下面的口袋里画△或□或○。
摸一个，一定是△。
摸二个，不可能是○。
摸二个，可能是□。
都是△
都不是○
□多，△少
练习六、一付扑克牌除了大王，小王， 、 、 、 每种花色都有13张。
任意拿出13张牌（ ）有 。
任意拿出13张牌（ ）有 。
任意拿出（ ）张牌，就一定有2张同花色。
可能
5
可能
九 、余数的妙用
例1、按照规律继续画下去，第二十五图应该画什么？
基本训练：
□
○
△
□
○
△
___、____、_____、_____……
解析：我们可以这样想，一开始画的三个图依次是 、 、 第四个起又是 、
、 次序往下画了，也就是每三个图重复一次，现在要你画第二十五个图，我们看
如果把25个图都画出来，每3个重复一次，第二十五个是第几次的第几个图呢？用除法
去计算：
□
○
△
△
○
□
25÷3=8……1
重复了8次，第二十五个图是第9次的第1个，按照三个图的排列顺序，第二十五图
应该画□。
模仿练习：
练习1、国庆节快到了，南京第三长江大桥上挂彩灯，按“红、黄、
蓝、粉红、绿、紫”的顺序挂，一共挂了56只灯，其中红、黄、蓝、
粉红、绿、紫各有多少只？
解：56÷6=9（只）……2（只）
按红、黄、蓝、粉红、绿、紫六种颜色一组，可以分9个整组，
第十组从红、黄顺序排列，应该是：
答：红、黄各有10只，蓝、粉红、绿、紫各有9只。
练习2、小白兔从山上采回一蓝蘑菇，比20朵多，比40朵少，
如果5朵5朵来数，则少1朵；如果按3朵3朵来数，则余1朵，小白
兔一共采了多少朵蘑菇？
解：按5朵数少1，总数应是：4，9，14，19，25，29，34，
39；按3朵数则余1，总数应是：4，7，10，13，16，19，22，
25，28，31，34，37，40.。
由于总数比20多，比40少，只有34符合要求，所以小白兔一
共采了34朵蘑菇。
练习3、2005年10月12日，我国载2人航天飞行的“神舟”六号
载人航天飞船发射成功，这一天是星期三，你还能推算出2005年
12月31日是星期几？
解：根据 题意：10月13日到 12月31日，一共有多少天。
19+30+31=80（天）
80÷7=11（个）……3（天）
3+3=6
即星期六。
十、最大能填几
练习1、二（1）班学生练团体操，李教师让他们平均排成8行，每行5人，还余下学生
不能参加，你知道二（1）班的学生数最多是多少人？最少是多少人？
5×8=40（人），不能参加的学生数，肯定是比5少了，
二（1）班的学生数最多是44人，最少是41人。
练习2、有17块巧克力，最少拿出（）块后可以正好平均分给8个小朋友，每人最多
分（）块。
解析：最少拿出7块后，才能平均分。
（47-7）÷8=5（块）
最少拿出7块，