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    人教版初中数学九年级上册 - 22.2 二次函数与一元二次方程

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  • 时间:  2017-08

22.2 二次函数与一元二次方程 教学设计2

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22.2 二次函数与一元二次方程
教学目标
知识与技能
1.总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.
2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
过程与方法
经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.
情感态度价值观[来源:Zxxk.Com]
通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步体会数形结合思想.
教学重点和难点
重点:方程与函数之间的联系,会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
难点:二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.
教学过程设计
(一)问题的提出与解决
问题 如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系
h=20t—5t2
考虑以下问题
(1)球的飞行高度能否达到15m?如能,需要多少飞行时间?
(2)球的飞行高度能否达到20m?如能,需要多少飞行时间?
(3)球的飞行高度能否达到20.5m?为什么?
(4)球从飞出到落地要用多少时间?

分析:由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数
h=20t-5t2.
所以可以将问题中h的值代入函数解析式,得到关于t的一元二次方程,如果方程有合乎实际的解,则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值:否则,说明球的飞行高度不能达到问题中h的值.
解:(1)解方程 15=20t—5t2. t2—4t+3=0. t1=1,t2=3.
当球飞行1s和3s时,它的高度为15m.
(2)解方程 20=20t-5t2. t2-4t+4=0. t1=t2=2.
当球飞行2s时,它的高度为20m.
(3)解方程 20.5=20t-5t2. t2-4t+4.1=0
因为(-4)2-4×4.1<0.所以方程无解.球的飞行高度达不到20.5m.
(4)解方程 0=20t-5t2. t2-4t=0. t1=0,t2=4.
当球飞行0s和4s时,它的高度为0m,即0s时球从地面飞出.4s时球落回地面
播放课件:函数的图像,画出二次函数h=20t-5t2的图象,观察图象,体会以上问题的答案.[来源:Z+xx+k.Com][来源:学|科|网Z|X|X|K]
从上面可以看出.二次函数与一元二次方程关系密切.
由学生小组讨论,总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系?
例如:已知二次函数y=-x2+4x的值为3.求自变量x的值.可以解一元二次方程-x2+4x=3(即x2-4x+3=0) .反过来,解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2-4+3的值为0,求自变量x的值.
一般地,我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0.
(二)问题的讨论
二次函数(1)y=x2+x-2;
(2) y=x2-6x+9;
(3) y=x2-x+0.
的图象如图26.2-2所示.

(1)以上二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?
(2)当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?由此,你能得出相应的一元二次方程的根吗?
先画出以上二次函数的图象,由图像学生展开讨论,在老师的引导下回答以上的问题.
可播放课件:函数的图像,输入a,b,c的值,划出对应的函数的图像,观察图像,说出函数对应方程的解.
可以看出:
(1)抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点,它们的横坐标是-2,1.当x取公共点的横坐标时,函数的值是0.由此得出方程x2+x-2=0的根是-2,1.[来源:Z+xx+k.Com]
(2)抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点,这点的横坐标是3.当x=3时,函数的值是0.由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3.
(3)抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点, 由此可知,方程x2-x+1=0没有实数根.
总结:一般地,如果二次函数y=的图像与x轴相交,那么交点的横坐标就是一元二次方程=0的根.
(三)归纳
一般地,从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知,
(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函数的值是0,因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根.
(2)二次函数的图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点.这对应着一元二次方程根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根.
由上面的结论,我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差,由图象求得的根,一般是近似的.
(四)例题
例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1).
解:作y=x2-2x-2的图象(图26.2-3),它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7.
所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7,x2≈2.7.[来源:学_科_网Z_X_X_K]

播放课件:函数的图象与求解一元二次方程的解,前一个课件用来画图,可根据图像估计出方程x2-2x-2=0实数根的近似解,后一个课件可以准确的求出方程的解,体会其中的差异.
(五)小结
总结本节的知识点.
(六)作业:
(七)板书设计
二次函数与一元二次方程
抛物线y=ax2+bx+c与方程ax2+bx+c=0的解之间的关系
例题