22.2 用函数观点看一元二次方程（1）
引言
在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题。
　　如：被抛射出去的物体沿抛物线轨道飞行；抛物线形拱桥的跨度、拱高的计算等．
　　利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。
　　本节课，我将和同学们共同研究解决这些问题的方法，探寻其中的奥秘。
1、理解二次函数图像与x轴的交点的个数的情况
学习目标
3.会用一元二次方程解决二次函数图象与x轴的交点问题
2.理解二次函数图像与一元二次方程的根的关系
回顾二次函数
定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数。
图象：是一条抛物线。
图象的特点：（1）有开口方向，开口大小。（2）有对称轴。（3）有顶点（最低点或最高点）。
复习.
1、一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由 确定。
＞ 0
= 0
＜ 0
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
b2- 4ac
活动1
2、在式子h=50-20t2中，如果h=15，那么
50-20t2= ，如果h=20，那50-20t2= ，
如果h=0，那50-20t2= 。如果要想求t的值，那么我
们可以求 的解。
15
20
0
方程
问题1:如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系:h= 20 t – 5 t2
考虑下列问题:
(1)球的飞行高度能否达到 15 m ? 若能,需要多少时间?
(2)球的飞行高度能否达到 20 m ? 若能,需要多少时间?
(3)球的飞行高度能否达到 20.5 m ? 若能,需要多少时间?
(4)球从 飞出到落地 要用多少时间 ?
活动2
h=0
0= 20 t – 5 t2
解：（1）解方程15=20t-5t2 即： t2-4t+3=0
t1=1,t2=3
∴当球飞行1s和3s时，它的高度为15m。
（2）解方程20=20t-5t2 即： t2-4t+4=0
t1=t2=2
∴当球飞行2s时，它的高度为20m。
（3）解方程20.5=20t-5t2 即： t2-4t+4.1=0
因为(-4)2-4×4.1＜0，所以方程无解，
∴球的飞行高度达不到20.5m。
（4）解方程0=20t-5t2 即： t2-4t=0
t1=0,t2=4
∴球的飞行0s和4s时，它的高度为0m。即
飞出到落地用了4s 。
你能结合图形指出为什么在两个时间球的高度为15m吗？
那么为什么只在一个时间求得高度为20m呢？
那么为什么两个时间球的高度为零呢？
那么从上面，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关系如何?
一般地，当y取定值时，二次函数为一元二次方程。
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程。
自由讨论
1、二次函数y = x2+x-2 , y = x2 - 6x +9 , y = x2 – x+ 1的图象如图所示。
问题2
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程? x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2 – x+ 1 =0有根吗?

(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与
一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
答：2个，1个，0个
边观察边思考
分析
b2 – 4ac ＞0
b2 – 4ac =0
b2 – 4ac ＜0
O
X
Y
2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点,则b2-4ac的情况如何。
课堂小结：二次函数与一元二次方程的关系
（1）如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共
点，公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时，函
数值为0，因此x=x0就是方程y=ax2+bx+c的
一个根。
2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
情况如何？（b2-4ac如何）
b2 – 4ac > 0
b2 – 4ac= 0
b2 – 4ac< 0
思考：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2-4ac .
≥0
（1）有两个交点
（2）有一个交点
（方程有两个相等的实数根）
（3）没有交点
（方程没有实数根）
（方程有两个不相等的实数根）
试一试
C
A
练习:看谁算的又快又准。
1.不与x轴相交的抛物线是( )
A y=2x2 – 3 B y= - 2 x2 + 3
C y= - x2 – 2x D y=-2(x+1)2 - 3
2.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相
等的实数根,则m=＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m
与x轴有＿ 个交点.
3.已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上, 则
c= ＿ .
D
1
1
16
4.抛物线y=x2-3x+2 与y轴交于点＿＿,与x轴
交于点＿＿＿ ＿.
(0,2)
1.抛物线y=2x2-3x-5 与y轴交于点＿＿＿＿,与
x轴交于点　　　　　　.
2.一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是
x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10
与x轴的交点坐标是＿＿＿＿＿.
归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0).
(0,-5)
(5/2,0) (-1,0)
(-2,0) (5/3,0)
(3)已知二次函数y=ax +bx+c的图象如图所示,则
一元二次方程ax +bx+c=0的解是 .
(4)若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0
时,图象与x轴交点情况是( )
A 无交点 B 只有一个交点
C 有两个交点 D不能确定
X
Y
0
C
X1=0，x2=5
5
●请你把这节课你学到了东西告诉你的同
桌，然后告诉老师？
二次函数与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的解
讨
论
这节课应有以下内容：
走近中考
1.已知函数 的图象如图所示，那么关于 x 的方程 的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等实根
C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根
D
2.抛物线 与轴只有一个公共点，则m的值为 ．
8
体会两种思想：
数形结合思想
弄清一种关系------二次函数与一元二次方程的关系
分类讨论思想
结束寄语
时间是一个常数,但对勤奋者来说,是一个“变数”.
用“分”来计算时间的人比用“小时”来计算时间的人时间多59倍.