增长(下降)率问题
22.3 一元二次方程的应用
传染病
一传十,
十传百,
百传千千万
有一个人患了流感,经过两轮传染后有121人患了
流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
探究1
分析:设每轮传染中平均一个人传染了x人
开始有一人患了流感,
第一轮:他传染了x人,第一轮后共有______人患了流感.
第一轮的传染源
第一轮后共有________人患了流感.
第二轮的传染源
第二轮:这些人中的每个人都又传染了x人,
第二轮后共有____________________人患了流感.
x+1
x+1
1+x+x(x+1)=(x+1)2
列方程得
1+x+x(x+1)=121
x=10;x=-12
注意:1,此类问题是传播问题.
2,计算结果要符合问题的实际意义.

思考:如果按照这样的传播速度,三轮后有多少人患流感?
2003年我国政府工作报告指出:为解决农民负担过重问题,在近两年的税费政策改革中,我国政府采取了一系列政策措施,2001年中央财政用于支持这项改革试点的资金约为180亿元,预计到2003年将到达304.2亿元,求2001年到2003年中央财政每年投入支持这项改革资金的平均增长率?
例
解:这两年的平均增长率为x,依题有
（以下大家完成）
180
分析:设这两年的平均增长率为x,
2001年 2002 年 2003年
180(1+x)
类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是A,则它们的数量关系可表示为
其中增长取“+”,降低取“－”
归纳
试一试
1.某乡无公害蔬菜的产量在两年内从20吨增加到35吨.设这两年无公害蔬菜产量的年平均增长率为x,根据题意,列出方程为 __________________ .
3.某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元,第一季度总产值175亿元,设二月、三月平均每月增长的百分率为x,根据题意得方程为( )
2．某电视机厂1999年生产一种彩色电视机,每台成本 3000元,由于该厂不断进行技术革新,连续两年降低成本, 至2001年这种彩电每台成本仅为1920元,设平均每年降低成本的百分数为x,可列方程_____________.
分析:显然乙种药品成本的年平均下降额较大,是 否它的年平均下降率也较大?请大家计算看看.
两年前生产一吨甲种药品的成本是5000 元,生产一吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现代生产一吨甲种药品的成本是3000元,生产一吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?
思考:经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗?
应该怎样全面地比较几个对象的变化状况?
探究2
分析:甲种药品成本的年平均下降额________
乙种药品成本的年平均下降额________
显然,_______种药品成本的年平均下降额较大.
但:年平均下降额(元)不等于年平均下降率(百分比)
第二课时:面积问题
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?
分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为9:7
解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm
依题意得
解得
故上下边衬的宽度为:
左右边衬的宽度为:
探究3:
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?
分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:7
解法二:设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm依题意得
解方程得
故上下边衬的宽度为: 1.8 CM
左右边衬的宽度为:1.4 CM
例1、如图甲，有一张长40cm，宽25cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图乙所示的无盖纸盒。若纸盒的底面积是450cm2，那么纸盒的高是多少？
解:设高为xcm,可列方程为
（40－2x)(25 -2x)=450
解得x1=5, x2=27.5
经检验：x=27.5不符合实际，舍去。
答：纸盒的高为5cm。
在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个长方形框的边宽。
解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得
30×20–(30–2x)(20–2x)=400
整理得 x2– 25x+100=0
得 x1=20, x2=5
当x=20时,20-2x= -20(舍去);当x=5时,20-2x=10
答:这个长方形框的边宽为5cm
变式
分析:
本题关键是如何用x的代数式表示这个长方形框的面积
取一张长与宽之比为5：2的长方形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形，并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒。要使包装盒的容积为200cm3（纸板的厚度略去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少cm？
试一试
设长为5x，宽为2x，得：
5（5x-10）（2x-10）=200
例2、某中学为美化校园，准备在长32m，宽20m的长方形场地上，修筑若干条笔直等宽道路，余下部分作草坪，下面请同学们共同参与图纸设计，要求草坪面积为540m2，求出设计方案中道路的宽分别为多少米？
答：道路宽为1米。
1、若设计方案图纸为如图，草坪总面积540m2
长方形面积=长×宽
分析：利用“图形经过平移”，它的面积大小不会改变的道理，把纵横两条路平移一下
2、设计方案图纸为如图，草坪总面积540m2
答：道路宽为2米。
32
20
3、设计方案图纸为如图，草坪总面积540m2
32
20
探究4
一辆汽车以 的速度行驶，司机发现前方有情况，紧急刹车后又滑行了 后停车。
（1）从刹车到停车用了多次时间？
（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少?
(3)刹车后汽车滑行到15米时约用了多少时间？（精确到0.1S）
分析：汽车滑行到停止的过程可视为匀减速直线运动，受摩擦力的影响
如图4所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.
探究5
解　因为∠C＝90°，所以AB＝＝＝10（cm）.
（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以 AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.
根据题意，(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.
（2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.
探究6:读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
解　设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3.
则根据题意，得x2＝10(x－3)+x，即x2-11x+30＝0，
解这个方程，得x＝5或x＝6.
当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；
当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.
答　周瑜去世的年龄为36岁.
探究7
　一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.
（1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？
（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？
（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？
解　依题意，梯子的顶端距墙角＝8（m）.
（1）若梯子顶端下滑1m，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.
则根据勾股定理，列方程72+(6+x)2＝102，整理，得x2+12x－15＝0，
解这个方程，得x1≈1.14，x2≈－13.14（舍去），
所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.
（2）当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动xm.
则根据勾股定理，列方程(8－x)2+(6+1)2＝100.整理，得x2－16x+13＝0.
解这个方程，得x1≈0.86，x2≈15.14（舍去）.
所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m.
（3）设梯子顶端向下滑动xm时，底端向外也滑动xm.
则根据勾股定理，列方程 (8－x)2+(6+x)2＝102，整理，得2x2－4x＝0，
解这个方程，得x1＝0（舍去），x2＝2.
所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.
说明　求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.
如图,已知A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=16㎝,AD=6㎝,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3㎝/s的速度向点B移动,一直到点B为止,点Q以2㎝/s的速度向点D移动.
问:P、Q两点从出发开始几秒时,四边形PBCQ的面积是33c㎡
例
问(1)P、Q两点从出发开始几秒时,四边形PBCQ的面积是33c㎡
分析:四边形PBCQ的形状是梯形,上下底,高各是多少?
.如图，ΔABC中，∠B=90º，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
（1）如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经过几秒钟，ΔPBQ的面积等于8cm2？
（2）如果点P、Q分别从点A、B同时出发，并且点P到点B后又继续在BC边上前进，点Q到点C后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，ΔPCQ的面积等于12.6cm2？
2.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm.点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）.那么当t为何值时，ΔQAP的面积等于8cm2？