22.2二次函数与一元二次方程
（第二课时）
与x轴有两个不
同的交点
（x1，0）
（x2，0）
有两个不同的解x=x1，x=x2
b2-4ac＞0
与x轴有唯一个
交点
有两个相等的解
x1=x2=
b2-4ac=0
与x轴没有
交点
没有实数根
b2-4ac＜0
复习
由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根．由于作图或观察可能存在误差，由图象将得的根，一般是近似的．
例 利用函数图象求方程x2－2x－2=0 的实数根．
解：作y = x2－2x－2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约 　　
是－0.7，2.7.
所以方程x2－2x－2＝0的实数根为
x1≈－0.7，x2≈2.7
y = x2－2x－2
( 2.7, 0 )
(－0.7, 0 )
【例】你能利用二次函数的图象估计一元二次方程
的两根吗？其基本步骤是什么？
解：1、画出函数的图象。
2、由图象可知方程有两个根，一个根在－5和－4之间，一个在2和3之间。
3、探求其解的十分位。
∴ 方程的两个近似根为x1≈－4.3，x2≈2.3。
基本步骤：
1、画出函数的图象；
2、根据图象确定抛物线
与x轴的交点分别在哪两
个相邻的整数之间；
3、利用计算器探索其解
的十分位数字，从而确定
方程的近似根。
1. 汽车刹车后的距离S（单位：m）与行驶时间t（单位为：s）的函数关系式S=15t－6t2，汽车刹车后停下来行驶5米，求汽车刹车后停下来的时间是多少？
解：由函数关系可得：
5 =15t－6t2
解方程得
x1≈0.98
x2≈28.75（不符合实际舍去）
所以汽车刹车后停下来的时间为0.98s．
练习
2. 一个滑雪者从85m长的山坡滑下，滑行的距离为S（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是S=1.8t+0.064t2，他通过这段山坡需要多长时间？
解：由函数关系可得：
85 =1.8t+0.064t2
解方程得
t1=25
t2 = －53.125（不符合实际舍去）
他通过这段山坡需要25秒的时间
向上
向下
同号
<
=
异号
>
复习
问题1. 如何由二次函数
y=ax2 +bx+c的图象确定a、b、c及△的符号？
(1)a的符号由抛物线___________确定；
(2)c的符号由抛物线___________确定；
(3)b的符号由抛物线___________确定；
(4)b2 -4ac的符号由抛物线______确定.
知识点一 二次函数y=ax2+bx+c与字母系数之间的关系
C
D
D
知识点一 二次函数y=ax2+bx+c与字母系数之间的关系
B
知识点一 二次函数y=ax2+bx+c与字母系数之间的关系
例1：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（ 　　）
A. ac＜0 B. a﹣b+c＞0
C. b=﹣4a
D.关于x的方程ax2+bx+c=0的
根是x1=﹣1，x2=5
解析：
B
解析：
由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然后根据抛物线与x轴交点及x=1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
A.该二次函数开口向下，则a＜0；抛物线交y轴于正半轴，则c＞0；所以ac＜0，正确；；
解：
B.由于抛物线过(﹣1,0)，则有:a﹣b+c=0，错误；
C.由图象知:抛物线的对称轴为x=2,即b=﹣4a,正确;
D.抛物线与x轴的交点为(﹣1,0),(5,0);故方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=5，正确；故选B.
例2：抛物线y=ax2+bx+c在x轴的下方，则所要满足的条件是（　 　）
A、a＜0，b2﹣4ac＜0 B、a＜0，b2﹣4ac＞0
C、a＞0，b2﹣4ac＜0 D、a＞0，b2﹣4ac＞0
解析：
抛物线在x轴下方，即可知开口向下，a＜0，且与x轴没有交点，△＜0．
解：
∵抛物线y=ax2+bx+c在x轴的下方，
∴由二次函数图象与系数关系知a＜0,且与x轴没有交点，
即所对应二次方程没有解，
∴△=b2﹣4ac＜0，
故选A．
A
例3：如图所示,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(﹣1,2),且与x轴交点的横坐标分别为x1,
x2,其中﹣2＜x1＜﹣1,0＜x2＜1,下列结论：
①abc＞0； ②4a﹣2b+c＜0；
③2a﹣b＜0； ④b2+8a＞4ac．
其中正确的有（　　）
解析：
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：
②当x＝－2时，y＝4a－2b+c＜0，正确；
D
④∵y原点＞2,a＜0,∴4ac﹣b2＜8a,即b2+8a＞4ac,正确.选D。
例4：根据下列表格的对应值：
解析：
根据表格知道8＜x＜12，y随x的增大而增大，而﹣0.38＜0＜1.2，由此即可推出方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围.
解：
依题意得当8＜x＜12，y随x的增大而增大，
判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（　 　）
A、8＜x＜9 B、9＜x＜10
C、10＜x＜11 D、11＜x＜12
而﹣0.38＜0＜1.2，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是10＜x＜11．故选C．
C
C
答案不唯一如：y=-x2+5等.
解：
（1）c=1.
（2）由图象过（0，1），A（1，0），得a+b+1=0,
故b=-a-1，由b2-4ac＞0，
得（-a-1）2-4a＞0即（a-1）2＞0，
故a≠1又a＞0所以a的取值范围是a＞0且a≠1.
二次函数y=ax2 +bx+c的图象与字母系数a,b,c之间的关系：
1.当a>0时开口向上，当a<0时开口向下.
2.若对称轴在y轴的左边，则a,b同号.
若对称轴在y轴的右边，则a,b异号.
3.若抛物线与y轴的正半轴相交，则c>0,若抛物线与y轴的负半轴相交，则c<0,若抛物线经过原点则c=0 .
再见