操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为30度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了．
1米
10米
?
你想知道小明怎样算出的吗？
28.1 锐角三角函数
【知识与技能】
　　1．了解三角函数的概念，理解正弦、余弦、正切的概念；　　2． 掌握在直角三角形之中，锐角三角函数与两边之比的对应关系；　　3．掌握锐角三角函数的概念并会求一个锐角的三角函数值．
重点：
锐角三角函数的概念．
难点：
锐角三角函数概念的形成．
某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°，高为7m，扶梯的长度是多少?
解:这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C=90 °，∠A=30 °，BC=7m，求AB．
∵在直角三角形中， 由于∠A=30 °,
所以
可得AB=2BC=7×2＝14m
所以，扶梯的长度是14m．
在上面的问题中，如果高为10m ，那么需要准备多长的水管？
解:这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C=90 °，∠A=30 °，BC=10m，求AB．
∵在直角三角形中， 由于∠A=30 °,
所以
可得AB=2BC=10×2＝20m
所以,扶梯的长度是20m．
解：因为△ABC是等腰直角三角形， ∠C=90 °，所以∠A=45 °．
由勾股定理得
因此
在Rt△ABC中, ∠C＝90°．
当∠A＝30°时,

当∠A＝45°时,
固定值
固定值
Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3
所以，在Rt△ABC中，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何， ∠A的对边与斜边的比是一个固定值．
观察右图中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，∠A的对边与斜边有什么关系？
直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别叫∠A的对边与邻边，用a、b表示．
┓
C
A
B
斜边
c
邻边
对边
a
b
C
A
B
在Rt△ABC中， ∠C=90 °，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠ A的正弦（sine），记作sinA，即
一个角的正弦表示定值、比值、正值．
正弦
【例1】如图，在Rt△ABC中， ∠C=90 °，求sinA和sinB的值．
A
B
C
A
B
C
┓
┓
6
8
(1)
(2)
A
B
C
┓
6
8
(1)
解:设如图所示,在Rt△ABC中,
因此
A
B
C
┓
(2)
解:设如图所示,在Rt△ABC中,
因此
如图，求sinA和sinB的值．
A
B
C
A
B
C
┓
┓
10
(1)
(2)
26
9
40
Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3
所以　　　＝__________＝__________．
观察右图中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，∠A的邻边与斜边、 ∠A的对边与邻边之间有什么关系？
在Rt△ABC中，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何， ∠A的∠A的邻边与斜边的比、 ∠A的对边与邻边的比都是一个固定值．
在Rt△ABC中，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，
∠A的对边与斜边的比、
∠A的邻边与斜边的比、
∠A的对边与邻边的比都是一个固定值．
在Rt△ABC中， ∠C=90 °，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠ A的余弦（cosine），记作cosA，即
一个角的余弦表示定值、比值、正值．
余弦
在Rt△ABC中， ∠C=90 °，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠ A的正切（tangent），记作tanA，即
一个角的余切表示定值、比值、正值．
正切
在Rt△ABC中， ∠C=90 °，我们把锐角A的邻边与对边的比叫做∠ A的余切，记作cotA，即
一个角的余切表示定值、比值、正值．
余切
tan30°=
?
锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？
可以大于1吗？
tan 45°=
tan 60°=
?
?
锐角三角函数
锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数（trigonometric function of acute angle）
1．sinA、cosA、tanA 、 cotA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)．
2．sinA、 cosA、tanA 、 cotA是一个比值（数值）．
3．sinA、 cosA、 tanA 、 cotA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关．
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
∠A的对边
∠A的邻边
tanA
cosA
∠A的邻边
∠A的对边
斜边
sinA
斜边
斜边
4.
A
B
C
┓
24
A
B
C
┓
24
分别求出下列直角三角形中的锐角的正弦值、余弦值和正切值、余切值．
A
B
C
┓
（1）
A
B
C
┓
5
（2）
25
7
如图,在Rt△ABC中,锐角A的邻边和斜边同时扩大100倍，tanA的值（ ）
A．扩大100倍 B．缩小100倍
C．不变 D．不能确定
C
1
2
sin30°=

cos30°=

tan30°=

cot30°=
┓
1
1
sin45 ° =

cos45°=

tan45°=

cot45°=
1
1
┓
1
2
sin60°=

cos60°=

tan60°=

cot60°=
┓
特殊角的三角函数值表
自变量α的取值范围是：
各因变量的取值范围是：
0°＜α＜ 90°
正弦 0＜ sinα＜1
余弦 0＜ cosα＜1
正切 tanα>0
余切 cotα>0
根据上面表格，思考以下问题：
当两角互余时，这两角的正弦和余弦有怎样的关系？正切和余切呢？
sinα= cos（90°－α）
cosα= sin（90°－α）
tanα= cot（90°－α）
cotα= tan（90°－α）
sin2α+cos2α=1
【例3】求下列各式的值：
解：
(1)sin60°+cos45°;
(2) sin230°+cos245°+tan60°．
解: (1)sin30°+cos45°
(2) sin260°+cos260°-cot45°
如果知道一个角的三角函数的数值，你能求出这个角是多少度吗？
(1)已知 ，则∠A＝________;
30°
60°
60°
30°
由锐角的三角函数值反求锐角
【例4】 如图:一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边摆动的角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m)．
∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m．
解:如图,根据题意可知,
∴AC=2.5-2.165≈0.34(m)．
如图，在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A，∠B ，∠C的对边分别是a，b，c．
求证:sin2A+cos2A=1．
证明：
如图,当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m．已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=17°，那么缆车垂直上升的距离是多少?
解：在Rt△ABC中,∠C=90°,
BC=ABsin17° ．
你知道sin17°等于多少吗?
用科学计算器求锐角的三角函数值：
sin
cos
tan
用计算器求sin18°，cos53°， tan72°, cot65°和sin72° 38′25″的三角函数．
sin
1
8
°′″
0.309 016 994
cos
5
3
°′″
0.601 815 023
tan
7
2
°′″
3.732 050 808
sin
7
2
°′″
3
8
°′″
2
5
°′″
0.954 450 312
=
=
=
=
cot
6
2
°′″
=
0.531 709 432
用计算器求三角函数值时,结果一般有10个数位．本书约定,如无特别声明,计算结果一般精确到万分位．
所以我们可以用计算器求得缆车上升的垂直距离： BC=ABsin17°≈200×0.2924≈58.48（m）．
如图，为了方便行人，市政府在10m高的天桥．两端修建了40m长的斜道．这条斜道的倾斜角是多少?
如图，在Rt△ABC中,
∠A是多少度?
已知三角函数值求角度,要用到三个键, 和第二功能键 和 ．
shift
sin-1
0
．
sin-1=0.9816
=78.99184039
shift
cos-1
0
．
cos-1=0.8607
=30.60473007
shift
tan-1
0
．
tan-1=0.1890
=10.70265749
shift
tan-1
5
6
．
7
8
tan-1=56.78
=88.99102049
9
8
1
=
sin-1
cos-1
tan-1
shift
8
1
6
=
6
0
7
=
8
9
0
=
dms
根据下列条件计算器求∠θ的大小:
(1)tanθ=2.9888;
(2)sinθ=0.3957;
(3)cosθ=0.7850;
(4)tanθ=0.8972．
71.5°
23.3°
38.3°
41.9°
1．锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切函数，统称为 锐角∠A的三角函数．
2．30°、45°、60°角的三角函数值．
3．锐角α的三角函数值的取值范围 ．
4．三角函数的增减性：
正弦 0＜ sinα＜1 正切 tanα>0
余弦 0＜ cosα＜1 余切 cotα>0
sinα、tanα随着自变量α的增大而增大
cosα、cotα随着自变量α的增大而减小
tanα•cot（90°-α） =1
sin2 α +cos2 （90°-α） =1
sinα= cos（90°-α）
cosα= sin（90°-α）
tanα= cot（90°-α）
cotα = tan（90°-α）
5．三角函数的几个重要关系式
1．当∠A为锐角，且tanA的值大于
时，∠A（ ）
A．小于30° B．大于30°
C．小于60° D．大于60°
D
2．当∠A为锐角，且cotA的值小于 时，
∠A（ ）
A．小于30° B．大于30°
C．小于60° D．大于60°
D
A．0°＜∠A≤ 30 ° B ．30°＜∠A≤45°
C．45°＜∠A≤ 60 ° D．60°＜∠A≤ 90 °
D
4．当锐角A>45°时，sinA的值（ ）
A．小于 B．大于
C．小于 D．大于
B
A．小于 B．大于
C．小于 D．大于
5．当锐角A>30°时，cotA的值（ ）
C
6．计算：
(1) 2sin30°+3cos30°+cot45°
(2) cos230°+ tan60°sin30°
0
∴ 3cosA =
7．已知3tanA — = 0 ,求锐角A的度数 ．
解：3tanA－ = 0
∴cosA=
∴∠A= 60°
8．求出如图所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函数值．
解：∵
∴ sinA =
cosA =
tanA =
cotA =
（1）y =4
（2）sina=
同学们，再见！